-新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測(cè)34幾種函數(shù)增長(zhǎng)快慢的比較含解析湘教版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE6幾種函數(shù)增長(zhǎng)快慢的比較[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．某學(xué)校開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，某同學(xué)獲得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對(duì)于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)C．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)解析：選D法一：相鄰的自變量之差從左到右依次大約為1，相鄰的函數(shù)值之差大約為2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐漸增加的，拋物線擬合程度最好，故選D.法二：可以采用特殊值代入法，取某個(gè)x的值代入，再比較函數(shù)值是否與表中數(shù)據(jù)相符．可取x＝4，經(jīng)檢驗(yàn)易知選D.2．有甲、乙、丙、丁四種不同品牌的自駕車(chē)，其跑車(chē)時(shí)間均為x小時(shí)，跑過(guò)的路程分別滿足關(guān)系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，則5個(gè)小時(shí)以后跑在最前面的為()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：選D法一：分別作出四個(gè)函數(shù)的圖象(圖略)，利用數(shù)形結(jié)合，知5個(gè)小時(shí)后丁車(chē)在最前面．法二：由于4個(gè)函數(shù)均為增函數(shù)，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5個(gè)小時(shí)后丁車(chē)在最前面，故選D.3．(2021·安徽省級(jí)示范高中高一期中)若x∈(0，1)，則下列結(jié)論正確的是()A．2x>xeq\s\up6(\f(1,2))>lgx B．2x>lgx>xeq\s\up6(\f(1,2))C．xeq\s\up6(\f(1,2))>2x>lgx D．lgx>xeq\s\up6(\f(1,2))>2x解析：選A如圖所示，結(jié)合y＝2x，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))及y＝lgx的圖象易知，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，2x>xeq\s\up6(\f(1,2))>lgx，故選A.4．某校甲、乙兩食堂某年1月份的營(yíng)業(yè)額相等，甲食堂的營(yíng)業(yè)額逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的營(yíng)業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份兩食堂的營(yíng)業(yè)額又相等，則本年5月份()A．甲食堂的營(yíng)業(yè)額較高B．乙食堂的營(yíng)業(yè)額較高C．甲、乙兩食堂的營(yíng)業(yè)額相同D．不能確定甲、乙哪個(gè)食堂的營(yíng)業(yè)額較高解析：選A設(shè)甲、乙兩食堂1月份的營(yíng)業(yè)額均為m，甲食堂的營(yíng)業(yè)額每月增加a(a>0)，乙食堂的營(yíng)業(yè)額每月增加的百分率為x，由題意可知，m＋8a＝m×(1＋x)8，則5月份甲食堂的營(yíng)業(yè)額y1＝m＋4a，乙食堂的營(yíng)業(yè)額y2＝m×(1＋x)4＝eq\r(m（m＋8a）).因?yàn)閥eq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2.故本年5月份甲食堂的營(yíng)業(yè)額較高．5．某企業(yè)的一個(gè)車(chē)間有8名工人，以往每人年薪為1萬(wàn)元．從今年起，計(jì)劃每人的年薪比上一年增加10%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪為8千元，第二年起與老工人的年薪相同．若以今年為第一年，那么第x年企業(yè)付給工人的工資總額y(萬(wàn)元)表示成x的函數(shù)，其表達(dá)式為()A．y＝(3x＋5)1.1x＋2.4B．y＝8×1.1x＋2.4xC．y＝(3x＋8)1.1x＋2.4D．y＝(3x＋5)1.1x－1＋2.4解析：選A第一年企業(yè)付給工人的工資總額為8×1.1＋3×0.8(萬(wàn)元)，第二年企業(yè)付給工人的工資總額為(8＋3)×1.12＋3×0.8(萬(wàn)元)，…，以此類推，第x年企業(yè)付給工人的工資總額應(yīng)為y＝[8＋3(x－1)]×1.1x＋2.4＝(3x＋5)1.1x＋2.4(萬(wàn)元)．6．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(1，＋∞)上增長(zhǎng)較快的一個(gè)是________．解析：當(dāng)x變大時(shí)，x比lnx增長(zhǎng)要快，∴x2要比xlnx增長(zhǎng)的要快．答案：y＝x27．一種專門(mén)侵占內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，開(kāi)機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB，然后每3分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來(lái)的2倍，那么開(kāi)機(jī)后經(jīng)過(guò)________分鐘，該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存(1MB＝210KB)．解析：設(shè)開(kāi)機(jī)后經(jīng)過(guò)n個(gè)3分鐘后，該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存，則2×2n＝64×210＝216，∴n＝15，故時(shí)間為15×3＝45(分)．答案：458．生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，當(dāng)水注入容器(設(shè)單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)水量相同)時(shí)，水的高度隨著時(shí)間的變化而變化，在下圖中請(qǐng)選擇與容器相匹配的圖象，A對(duì)應(yīng)______；B對(duì)應(yīng)_____；C對(duì)應(yīng)______；D對(duì)應(yīng)______．解析：A容器下粗上細(xì)，水高度的變化先慢后快，故與(4)對(duì)應(yīng)；B容器為球形，水高度變化為快—慢—快，應(yīng)與(1)對(duì)應(yīng)；C，D容器都是柱形的，水高度的變化速度都應(yīng)是直線型，但C容器細(xì)，D容器粗，故水高度的變化為：C容器水高度變化快，與(3)對(duì)應(yīng)，D容器水高度變化慢，與(2)對(duì)應(yīng)．答案：(4)(1)(3)(2)9．畫(huà)出函數(shù)f(x)＝eq\r(x)與函數(shù)g(x)＝eq\f(1,4)x2－2的圖象，并比較兩者在[0，＋∞)上的大小關(guān)系．解：函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖所示．根據(jù)圖象易得：當(dāng)0≤x＜4時(shí)，f(x)＞g(x)；當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)＝g(x)；當(dāng)x＞4時(shí)，f(x)＜g(x)．10．每年的3月12日是植樹(shù)節(jié)，全國(guó)各地在這一天都會(huì)開(kāi)展各種形式、各種規(guī)模的義務(wù)植樹(shù)活動(dòng)，某市現(xiàn)有樹(shù)木面積10萬(wàn)平方米，計(jì)劃今后5年內(nèi)擴(kuò)大樹(shù)木面積，有兩種方案如下：方案一：每年植樹(shù)1萬(wàn)平方米；方案二：每年樹(shù)木面積比上一年增加9%.你覺(jué)得哪種方案較好．(參考數(shù)據(jù)：(1＋9%)5≈1.5386)解：方案一：5年后樹(shù)木面積是10＋1×5＝15(萬(wàn)平方米)．方案二：5年后樹(shù)木面積是10×(1＋9%)5≈15.386(萬(wàn)平方米)．∵15.386>15，∴方案二較好．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)＝x2，g(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))，h(x)＝x－2的大小關(guān)系是()A．h(x)<g(x)<f(x) B．h(x)<f(x)<g(x)C．g(x)<h(x)<f(x) D．f(x)<g(x)<h(x)解析：選D在同一坐標(biāo)下作出函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))，h(x)＝x－2的圖象．由圖象知，D正確．12．某地發(fā)生地震后，地震專家對(duì)該地區(qū)發(fā)生的余震進(jìn)行了監(jiān)測(cè)，記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：地震強(qiáng)度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級(jí)(里氏)5.05.25.35.4地震強(qiáng)度x(×1019)和震級(jí)y的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y＝algx＋b(其中a，b為常數(shù))．利用散點(diǎn)圖可得a＝________，b＝________．(取lg2＝0.3進(jìn)行計(jì)算)解析：由模擬函數(shù)及散點(diǎn)圖得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(alg1.6＋b＝5，alg3.2＋b＝5.2，))兩式相減得a(lg3.2－lg1.6)＝0.2，所以alg2＝0.2，解得a＝eq\f(2,3)，所以b＝5－eq\f(2,3)lg1.6＝5－eq\f(2,3)(4lg2－1)＝5－eq\f(2,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(73,15).答案：eq\f(2,3)eq\f(73,15)13．某人對(duì)東北一種松樹(shù)的生長(zhǎng)進(jìn)行了研究，收集了其高度h(米)與生長(zhǎng)時(shí)間t(年)的相關(guān)數(shù)據(jù)，選擇h＝mt＋b與h＝loga(t＋1)來(lái)擬合h與t的關(guān)系，你認(rèn)為哪個(gè)符合？并預(yù)測(cè)第8年的松樹(shù)高度．t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7解：在坐標(biāo)軸上標(biāo)出t(年)與h(米)之間的關(guān)系如圖所示．由圖象可以看出增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢，用一次函數(shù)模型擬合不合適，則選用對(duì)數(shù)函數(shù)模型比較合理．不妨將(2，1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.故可用函數(shù)h＝log3(t＋1)來(lái)擬合這個(gè)實(shí)際問(wèn)題．當(dāng)t＝8時(shí)，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可預(yù)測(cè)第8年松樹(shù)的高度為2米．[C級(jí)拓展探究]14．假設(shè)有一套住房的房?jī)r(jià)從2011年的20萬(wàn)元上漲到2021年的40萬(wàn)元．下表給出了兩種價(jià)格增長(zhǎng)方式，其中P1是按直線上升的房?jī)r(jià)，P2是按指數(shù)增長(zhǎng)的房?jī)r(jià)，t是2011年以來(lái)經(jīng)過(guò)的年數(shù).t05101520P1/萬(wàn)元2040P2/萬(wàn)元2040(1)求函數(shù)P1＝f(t)的解析式；(2)求函數(shù)P2＝g(t)的解析式；(3)完成上表空格中的數(shù)據(jù)，并在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，然后比較兩種價(jià)格增長(zhǎng)方式的差異．解：(1)設(shè)f(t)＝kt＋b(k≠0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝20，,10k＋b＝40))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝20，,k＝2.))∴P1＝f(t)＝2t＋20.(2)設(shè)g(t)＝mat(a>0，且a≠1)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝20，,ma10＝40))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝20，,a＝\r(10,2)