-新教材高中數(shù)學(xué)課時練習(xí)19利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)有關(guān)的問題含解析新人教A版選擇性必修

PAGEPAGE12利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)有關(guān)的問題(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)1．函數(shù)f(x)＝aex－sinx在x＝0處有極值，則a的值為()A．－1B．0C．1D．e【解析】選C.f′(x)＝aex－cosx，若函數(shù)f(x)＝aex－sinx在x＝0處有極值，則f′(0)＝a－1＝0，解得a＝1，經(jīng)檢驗a＝1符合題意．2．某汽車啟動階段的路程函數(shù)為s(t)＝2t3－5t2(t表示時間)，則t＝2時，汽車的加速度是()A．14B．4C．10D．6【解析】選A.速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t.所以加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，當(dāng)t＝2時，a(t)＝14，即t＝2時汽車的加速度為14.3．函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致圖象如圖所示，則xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))等于()A.eq\f(8,9)B．eq\f(10,9)C．eq\f(16,9)D．eq\f(28,9)【解析】選C.函數(shù)f(x)的圖象過原點，所以d＝0.又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，所以函數(shù)f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2，由題意知x1，x2是函數(shù)的極值點，所以x1，x2是f′(x)＝0的兩個根，所以x1＋x2＝eq\f(2,3)，x1x2＝－eq\f(2,3)，所以xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\f(4,9)＋eq\f(4,3)＝eq\f(16,9).4.已知，直線a∥b，a處有一面高墻，點P處站一人，P到直線a的距離PA＝10m，P到直線b的距離PB＝2m.在夜晚如果一光源S從B點向左運動，速率為5m/s(沿直線b運動)，那么P點處的人投在墻a上影子Q的運動速率為()A．10m/sB．15m/sC．20m/sD．25m/s【解析】選D.設(shè)光源S運動路程為l，運動時間為t，則BS＝l＝5t，此時影子Q運動路程為x＝AQ.因為△APQ∽△BPS，所以eq\f(SB,AQ)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，所以eq\f(5t,x)＝eq\f(1,5)，所以x＝25t，從而影子Q的運動速率為v＝x′＝25m/s.5．用邊長為120cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接成水箱，則水箱最大容積為()A．120000cm3 B．128000cm3C．150000cm3 D．158000cm3【解析】選B.設(shè)水箱底邊長為xcm，則水箱高h(yuǎn)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(60－\f(x,2)))cm.水箱容積V＝V(x)＝x2h＝60x2－eq\f(x3,2)(0<x<120).V′(x)＝120x－eq\f(3,2)x2.令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.可判斷當(dāng)x＝80cm時，V取最大值為128000cm3.6．(多選題)已知函數(shù)f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在區(qū)間[k，2]上的最大值為28，則實數(shù)k的可能取值為()A．－3B．－4C．3D．4【解析】選AB.由題意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)隨x的變化情況如表：又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在區(qū)間[k，2]上的最大值為28，所以k≤－3.二、填空題(每小題5分，共10分)7．若函數(shù)f(x)＝x3－3ax在區(qū)間(－1，2)上僅有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為________．【解析】因為f′(x)＝3(x2－a)，所以當(dāng)a≤0時，f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)沒有極值點，不符合題意；當(dāng)a>0時，令f′(x)＝0得x＝±eq\r(a)，當(dāng)x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如表所示：因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1，2)上僅有一個極值點，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(a)<2，,－\r(a)≤－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(a)>－1，,2≤\r(a)，))解得1≤a<4.答案：[1，4)8．已知f(x)＝2ax－eq\f(1,x2)，x∈(0，1].若f(x)在(0，1]上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．【解析】f′(x)＝2a＋eq\f(2,x3)，因為f(x)在(0，1]上是增函數(shù)，所以在(0，1]上，f′(x)＞0，即a＞－eq\f(1,x3).因為g(x)＝－eq\f(1,x3)在(0，1]上是增函數(shù)，且g(x)的最大值為g(1)＝－1，所以a＞－1.當(dāng)a＝－1時，f′(x)＝－2＋eq\f(2,x3)在x∈(0，1)上也有f′(x)＞0，且只有當(dāng)x＝1時，f′(x)＝0，所以a≥－1.答案：a≥－1三、解答題(每小題10分，共20分)9．設(shè)函數(shù)f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)討論f(x)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x∈[0，1]時，求f(x)取得最大值和最小值時x的值．【解析】(1)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令f′(x)＝0，得x1＝eq\f(－1－\r(,4＋3a),3)，x2＝eq\f(－1＋\r(,4＋3a),3)，x1<x2.所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2).當(dāng)x<x1或x>x2時，f′(x)<0；當(dāng)x1<x<x2時，f′(x)>0.故f(x)在區(qū)間(－∞，x1)和(x2，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(x1，x2)內(nèi)單調(diào)遞增，即f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(－1－\r(,4＋3a),3)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(,4＋3a),3)，＋∞))內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1－\r(,4＋3a),3)，\f(－1＋\r(,4＋3a),3)))內(nèi)單調(diào)遞增．(2)因為a>0，所以x1<0，x2>0.①當(dāng)a≥4時，x2≥1.由(1)知，f(x)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增．所以f(x)在x＝0和x＝1處分別取得最小值和最大值．②當(dāng)0<a<4時，x2<1.由(1)知，f(x)在區(qū)間[0，x2]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[x2，1]上單調(diào)遞減．所以f(x)在x＝x2＝eq\f(－1＋\r(,4＋3a),3)處取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以當(dāng)0<a<1時，f(x)在x＝1處取得最小值；當(dāng)a＝1時，f(x)在x＝0處和x＝1處同時取得最小值；當(dāng)1<a<4時，f(x)在x＝0處取得最小值．10．已知函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(a,x).(1)當(dāng)a>0時，判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性；(2)若f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為eq\f(3,2)，求a的值；(3)設(shè)g(x)＝lnx－a，若g(x)<x2在區(qū)間(0，e]上恒成立，求a的取值范圍．【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(a,x2)＝eq\f(x＋a,x2).因為a>0，x>0，所以f′(x)>0，因此f(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)．(2)由(1)知f′(x)＝eq\f(x＋a,x2).①若a≥－1，則x＋a≥0，從而f′(x)≥0(只有當(dāng)a＝－1，x＝1時，f′(x)＝0)，即f′(x)≥0在區(qū)間[1，e]上恒成立，此時f(x)在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)．所以f(x)的最小值為f(1)＝－a＝eq\f(3,2)，即a＝－eq\f(3,2)，不符合題意，舍去．②若a≤－e，則x＋a≤0，從而f′(x)≤0(只有當(dāng)a＝－e，x＝e時，f′(x)＝0)，即f′(x)≤0在區(qū)間[1，e]上恒成立，此時f(x)在區(qū)間[1，e]上為減函數(shù)．所以f(x)的最小值為f(e)＝1－eq\f(a,e)＝eq\f(3,2)，即a＝－eq\f(e,2)，不符合題意，舍去．③若－e<a<－1，由f′(x)＝0，得x＝－a，當(dāng)1<x<－a時，f′(x)<0，即f(x)在區(qū)間(1，－a)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)－a<x<e時，f′(x)>0，即f(x)在區(qū)間(－a，e)內(nèi)為增函數(shù)，所以x＝－a是函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，e)內(nèi)的極小值點，也就是它的最小值點，因此f(x)的最小值為f(－a)＝ln(－a)＋1＝eq\f(3,2)，即a＝－eq\r(,e).綜上，a＝－eq\r(,e).(3)g(x)<x2即lnx－a<x2，所以a>lnx－x2，故g(x)<x2在區(qū)間(0，e]上恒成立，也就是a>lnx－x2在(0，e]上恒成立．令h(x)＝lnx－x2，則h′(x)＝eq\f(1,x)－2x＝eq\f(1－2x2,x)，由h′(x)＝0及0<x≤e，得x＝eq\f(\r(,2),2).當(dāng)0<x<eq\f(\r(,2),2)時，h′(x)>0；當(dāng)eq\f(\r(,2),2)<x≤e時，h′(x)<0，即h(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(,2),2)))內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(,2),2)，e))上為減函數(shù)，所以當(dāng)x＝eq\f(\r(,2),2)時，h(x)取得最大值為heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(,2),2)))＝lneq\f(\r(,2),2)－eq\f(1,2).所以當(dāng)g(x)<x2在區(qū)間(0，e]上恒成立時，a>lneq\f(\r(2),2)－eq\f(1,2).(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．設(shè)函數(shù)g(x)＝x(x2－1)，則g(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為()A．－1B．0C．－eq\f(2\r(3),9)D．eq\f(\r(3),3)【解析】選C.g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝eq\f(\r(3),3)，x2＝－eq\f(\r(3),3)(舍去).當(dāng)x變化時，g′(x)與g(x)的變化情況如下表：所以當(dāng)x＝eq\f(\r(3),3)時，g(x)有最小值geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝－eq\f(2\r(3),9).2．如圖所示，設(shè)有定圓C和定點O，當(dāng)l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角度不超過90°)時，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時間t的函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是()【解析】選D.由于是勻速旋轉(zhuǎn)，所以陰影部分的面積在開始和最后時段緩慢增加，而中間時段相對增速較快．選項A表示面積的增速是常數(shù)，與實際不符；選項B表示最后時段面積的增速較快，與實際不符；選項C表示開始時段和最后時段面積的增速比中間時段面積的增速快，也與實際不符；選項D表示開始和最后時段面積的增速緩慢，中間時段增速較快，符合實際．3．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，,90090，x>390，))則當(dāng)總利潤最大時，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是()A．150B．200C．250D．300【解析】選D.由題意得，總利潤P(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，,70090－100x，x>390，))①當(dāng)0≤x≤390時，令P′(x)＝0，得x＝300.當(dāng)x＝300時，P(x)＝40000，②70090－100×390＝70090－39000＝31090＜40000，且P(x)＝70090－100x在x＞390上單調(diào)遞減，所以當(dāng)總利潤最大時，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是300.4．用長為30m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架(即12條棱長總和為30m)，要求長方體的長與寬之比為3∶2，則該長方體最大體積是()A．24m3B．15m3C．【解析】選B.設(shè)該長方體的寬是xm，由題意知，其長是eq\f(3x,2)m，高是eq\f(30－10x,4)＝eq\f(15－5x,2)m(0<x<3)，則該長方體的體積V(x)＝x·eq\f(3x,2)·eq\f(15－5x,2)＝－eq\f(15,4)x3＋eq\f(45,4)x2，V′(x)＝－eq\f(45,4)x2＋eq\f(90,4)x，由V′(x)＝0，得到x＝2(x＝0舍去)，且當(dāng)0<x<2時，V′(x)>0；當(dāng)2<x<3時，V′(x)<0，即函數(shù)V(x)在x＝2處取得極大值V(2)＝15，也是函數(shù)V(x)在定義域上的最大值．所以該長方體體積的最大值是15m3二、填空題(每小題5分，共20分)5．電動自行車的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x＞0)，為使耗電量最小，則其速度應(yīng)定為________．【解析】由題設(shè)知y′＝x2－39x－40，令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，故函數(shù)y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上遞增，在(0，40]上遞減．所以當(dāng)x＝40時，y取得最小值．由此得為使耗電量最小，則其速度應(yīng)定為40.答案：406．函數(shù)f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的極大值是正數(shù)，極小值是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是________．【解析】f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，當(dāng)－a<x<a時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>a或x<－a時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)的極大值為f(－a)，極小值為f(a).所以f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0.解得a>eq\f(\r(2),2).所以a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))7．已知函數(shù)f(x)＝ax－lnx，當(dāng)x∈(0，e](e為自然對數(shù)的底數(shù))時，函數(shù)f(x)的最小值為3，則a的值為________.【解析】當(dāng)a≤0時，不符合題意，所以a＞0，由f′(x)＝a－eq\f(1,x)＝eq\f(ax－1,x)＝0，得x＝eq\f(1,a)，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝eq\f(1,a)時取得最小值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝1－lneq\f(1,a).當(dāng)0＜eq\f(1,a)≤e時，由1－lneq\f(1,a)＝3，得a＝e2，符合題意，當(dāng)eq\f(1,a)＞e時，由ae－lne＝3，得a＝eq\f(4,e)，舍去．答案：e28．已知氣球的體積V(單位：L)與半徑r(單位：dm)，將半徑r表示為體積V的函數(shù)，有r(V)＝eq\r(3,\f(3V,4π))，則當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率為________.【解析】因為r(V1)－r(V2)＝eq\r(3,\f(3V1,4π))－eq\r(3,\f(3V2,4π))＝eq\f(\f(3,4π)（V1－V2）,\r(3,\f(9Veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),16π2))＋\r(3,\f(9V1V2,16π2))＋\r(3,\f(9Veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),16π2))).所以平均膨脹率為：eq\f(r（V1）－r（V2）,V1－V2)＝eq\f(3\r(3,16π2),4π（\r(3,9Veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＋\r(3,9V1V2)＋\r(3,9Veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))）).答案：eq\f(3\r(3,16π2),4π（\r(3,9Veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＋\r(3,9V1V2)＋\r(3,9Veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))）)三、解答題(每小題10分，共30分)9．某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋eq\r(x))x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元．(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最小？【解析】(1)設(shè)需新建n個橋墩，則(n＋1)x＝m，即n＝eq\f(m,x)－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)－1))＋eq\f(m,x)(2＋eq\r(x))x＝eq\f(256m,x)＋meq\r(x)＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mx－eq\f(1,2)＝eq\f(m,2x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(3,2)－512)).令f′(x)＝0，得xeq\f(3,2)＝512，所以x＝64.當(dāng)0<x<64時，f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(0，64)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64<x<640時，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(64，640)內(nèi)為增函數(shù)，所以f(x)在x＝64處取得最小值．此時n＝eq\f(m,x)－1＝eq\f(640,64)－1＝9.故需新建9個橋墩才能使y最小．10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)－1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)m>0，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[m，2m]上的最大值．【解析】(1)因為函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（x）>0，,x>0))得0<x<e；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（x）<0，,x>0，))得x>e.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，＋∞).(2)①當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m≤e，,m>0，))即0<m≤eq\f(e,2)時，[m，2m]?(0，e]，函數(shù)f(x)在區(qū)間[m，2m]上單調(diào)遞增，所以f(x)max＝f(2m)＝eq\f(ln2m,2m)－1；②當(dāng)m<e<2m，即eq\f(e,2)<m<e時，[m，e)?(0，e)，(e，2m]?(e，＋∞)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[m，e)上單調(diào)遞增，在(e，2m]上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(e)＝eq\f(lne,e)－1＝eq\f(1,e)－1；③當(dāng)m≥e時，[m，2m]?[e，＋∞)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[m，2m]上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(m)＝eq\f(lnm,m)－1.綜上所述，當(dāng)0<m≤eq\f(e,2)時，f(x)max＝eq\f(ln2m,2m)－1；當(dāng)eq\f(e,2)<m<e時，f(x)max＝eq\f(1,e)－1；當(dāng)m≥e時，f(x)max＝eq\f(lnm,m)－1.11．已知函數(shù)f(x)＝alnx＋eq\f(1,x)(a>0).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在[1，e]上的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．【解析】由題意，知函數(shù)的定義域為{x|x>0}