第48煉 多變量表達(dá)式范圍數(shù)形結(jié)合

第六章

第48煉多變量表達(dá)的范圍——數(shù)形結(jié)合第48煉多

不等式一、基礎(chǔ)知識：1、數(shù)形結(jié)合的適用范圍：（）目條件含有多個不等關(guān)系，經(jīng)過分析后可得到關(guān)于兩個變量的不等式組（）求的表式具備一定的幾何意義（截距，斜率，距離等）2、如果滿足以上情況，則可以考慮利用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行解決3、高中知識中的“線性規(guī)劃”即為數(shù)形結(jié)合求多變量表達(dá)式范圍的一種特殊情形，其條件與所求為雙變量的一次表達(dá)式4、有些利用數(shù)形結(jié)合解決的題目也可以使用放縮消元的方式進(jìn)行處理，這要看所給的不等條件（尤其是不等號方向）是否有利于進(jìn)行放縮。二、典型例題例1函

f

32

d

上是減函數(shù)

的取值范圍是（）A.

152

B.

152

152

思路：先由減函數(shù)的條件得到b,關(guān)系，

f

'

2

bx，以x

時，f

'

恒成立過次函數(shù)圖像可知2

2b4b12

關(guān)于

bc的不等式組可想到利用線性規(guī)劃求得

b

的取值范圍，通過作圖可得

b

152答案：例2：設(shè)

f上的增函數(shù)，且對于任意的x都f

恒成立，如果實數(shù)

,n

滿足不等式組

f

2

，那么

m2

的取值范圍是（）A.

B.

思路：首先考慮變形

f

，若想得到

mn

的關(guān)系，那么需要利用函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)變?yōu)槔ㄌ杻?nèi)式子的大小

f

22222222222

第48煉多變量表達(dá)的范圍——數(shù)形結(jié)合

不等式可得：

f

，所以

f

中心對稱，即

，所以：f

2

m23

2

2

m

2

n

2

n

利

f

x

得m

2

m232

2

n

4

所mn

滿足的條件為

①，所求

m2

可視為點

到原點距離的平方，考慮數(shù)形結(jié)合。將①作出可行域，為以

C

為圓心，半徑為2的的右邊部分（內(nèi)部圖可得該右半距離原點的距離范圍是

所

2

2

答案：例3已知函數(shù)

f

是

R

上的減函數(shù)函數(shù)

f

的圖像關(guān)于點實數(shù)xy滿足不等式

f

1

，則

yx

的取值范圍是_____思路從所求出發(fā)可聯(lián)想到

連線的斜率先分析已知條件，由

f

對稱性可知

f

為奇函數(shù)，再結(jié)合單調(diào)遞減的性質(zhì)可將所解不等式進(jìn)行變形：f

2

2

2

2

2y

，即

2

，所以有

。再結(jié)合

1x

可作出可行域（如圖數(shù)形結(jié)可知

yx

的范圍是

答案：

,14,12,22ab,14,14,12,22ab,14a2

第48煉多變量表達(dá)的范圍——數(shù)形結(jié)合

不等式例4：已知是三次函數(shù)

f

1x32

2

bxR

的兩個極值點，且

，則

ba

的取值范圍是（）A.

B.

思路：由極值點可想到程

f'

的根，

f'

，依題意可得：xax

的兩根分別在

中，由二次函數(shù)圖像可：'f

，且所求

ba

可視為

連線的斜率，所以想到線性規(guī)劃，通過作出可行域，數(shù)形結(jié)合可知

ba

的范圍是

答案：例：已知實系數(shù)方程

x2

的三個根可以作為一橢圓，一雙曲線，一拋物線的離心率，則

ba

的取值范圍是_________思路：以拋物線離心率為突破口可得x是程的根，設(shè)

f

3

2

bx

，則f

，從而

而因式分解可知

x

以橢圓與雙曲線的離心率滿足方程

2

設(shè)

則由橢圓與雙曲線離心率的范圍可知

一根在

以

2

，由不等式組想到利用線性規(guī)劃求b作圖即可得到b答案：a

ba

的范圍，即可行域中的點與原點連線斜率的范圍。通過

,32,3P第六章,32,3P

第48煉多變量表達(dá)的范圍——數(shù)形結(jié)合

不等式例6：已知三個正實數(shù)

b,c滿足aa

a，則的值范圍是b思路：考慮將條件向與

ab

a有關(guān)的式子進(jìn)行變形，從而找到關(guān)于的條件：b

b1a2abb

ac現(xiàn)等式組只與相設(shè)bb

acx,b

，則不等式組轉(zhuǎn)化為：

2xy即

y2

，所求恰好為

的范圍，作出可行域即可得到

的范圍為

答案：

例7：是等式組

x0,yxy

表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點，向量

m

，

xyn

，若

OP

，則

的最大值為（）A．．．D．思路：本題的變量較多，首先要確定核心的變量。題目所求為

的表達(dá)式。所以可視其為核心變量要得最值件要關(guān)于不等式組。所以考慮利用y與關(guān)將原先關(guān)于

y

的不等式組替換為關(guān)于

的等式組即可解：設(shè)

,

OP

,y

xy

，代入到約束條件中可得，出可行域即可解出

的最

2

2223第六章2223

第48煉多變量表達(dá)的范圍——數(shù)形結(jié)合

不等式大值為

答案：例8：若實數(shù)x

滿足條件

x2y

，則

1xx

的取值范圍是_________思路：考慮所求式子中

1x2

x可變?yōu)?，所以原式變?yōu)椋簒2x

2

y2yyxxx

y，可視為關(guān)于的次函數(shù)，設(shè)t，幾何含義為x由曲線性質(zhì)可知該斜率的絕對值小于漸近線的斜率，即t答案：

2

t小煉有話說：本題也可以考慮利用三角換元。x

1

,

，從而原式轉(zhuǎn)化為cos

2

2

2sin

可知的范圍為例9，津六?？迹┮阎獙崝?shù)

,,

滿足

22,

，則

ba

的取值范圍是思路：由

2c，建立直角坐標(biāo)系，建圓模型：

，則圓上的點為

可想到斜率，即

k

bac

可視為

兩點連線的斜率。數(shù)形結(jié)合可得：過

的直線l與有公共點率的取值范圍，l:ykc

，即

O

k

3，解得：k,答案：3例10江已正數(shù)

a,滿：cb4c,clnc

則

ba

的取值范圍是_______思路：可先將所給不等式進(jìn)行變形：

5a

aacc

，

ccclnlnbcl第六章ccclnlnbcl

第48煉多變量表達(dá)的范圍——數(shù)形結(jié)合

不等式clnblncln

baln，而將所給不等式轉(zhuǎn)化關(guān)于的系，cc為了視覺效果可設(shè)

ax,ycc

yyx，則已知條件為：x

，而所求為yc

即可行域中的點

合可得到斜率的范圍是

其中

yx

為A

y與原點連線的斜率，為過原點且與曲線x

y

相切的切線斜率答案：

小煉有話說：本題也可以用放縮的方法求得最值，