2023年高考數(shù)學一輪復習重難點專題突破匯總

專題01玩轉(zhuǎn)指對塞比較大小

【方法技巧與總結(jié)】

（1）利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導數(shù)研究其單調(diào)性或極值，從而確定a,b,

C的大小.

（2）指、對、黑大小比較的常用方法：

①底數(shù)相同,指數(shù)不同時,如儼和源,利用指數(shù)函數(shù)y=ax的單調(diào)性：

②指數(shù)相同，底數(shù)不同，如x：和甘利用塞函數(shù)丁=/單調(diào)性比較大??；

③底數(shù)相同，真數(shù)不同，如［。外巧和1。/應利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大?。?/p>

④底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0,1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助

中間量進行大小關(guān)系的判定.

（3）轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標

（4）特殊值法

（5）估算法

（6）放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

【題型歸納目錄】

題型一：直接利用單調(diào)性

題型二：引入媒介值

題型三：含變量問題

題型四：構(gòu)造函數(shù)

題型五：數(shù)形結(jié)合

題型六：特殊值法、估算法

題型七：放縮法

題型八：不定方程

【典例例題】

題型一：直接利用單調(diào)性

1

例1.（2022?江西?二模（文））已知a=/og^2,b=sin^,c=Q）5,則0h'。的大小關(guān)系

是（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.a>c>bD.b>c>a

【答案】C

【解析】

【分析】

利用對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、幕函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

【詳解】

a=log^2>log^6=1,

因為y=sin%在xe0,§是單調(diào)遞增函數(shù)，所以0cb=sin^<sin.=g,

因為y=￡在xe0,+8）是單調(diào)遞增函數(shù)，所以i>c=>gy=1

所以Q>c>b,

故選：C.

例2.（2022?陜西西安?一模（理））已知Q=big,b=In（lg2）,c=，g（伉2）則a,b,c的

大小關(guān)系是（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)比較大小

【詳解】

先比較a,b,易知，g2<g,故5（Zg2）<Zn1,即bVQ

又e<10,故x>1時>Igx,OVxVl時"xv/gx

故，mg,而bi2>g故1g（勿2）>Lgg>仇5有c>a

故選：A

例3.（2022?河南?許昌高中高三開學考試（文））已知a=/og33b=log^+1（3-2V2）,

,O54

c=-2t則a，b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<hD.b<a<c

【答案】D

【解析】

【分析】

利用對數(shù)的運算可知b=—2,c=-今再利用對數(shù)函數(shù)y=/。93%的單調(diào)性可比較大小，進

而得解.

【詳解】

2

b=，。9互+1(3-2V2)=log無+1(V2-l)=2log^+1(V2-1)=2log4、嵩=-2,,

。=_2咽=2叫=_三，

2

又y=的3%為定義域上的增函數(shù)，，-2=log3^<a=log3^<log3-^=--|

所以6<a<c.

故選：D

題型二：引入媒介值

例4.（2022■全國■高三專題練習）若a=k）g23,b=log34,c=log45,則a、b、c的大

小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

【答案】D

【解析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得a>1力>1,c>1,然后利用對數(shù)的運算化為同底并結(jié)合對數(shù)函

數(shù)的單調(diào)性，可比較出a,c的大小關(guān)系，a,b分別與中間值|比較，得出a>g>b>l,b,c

分別與中間值［比較，得出b>：>c,綜合即可選出答案.

44

【詳解】

解：由題意，log23>log22=1,log34>log33=1,log45>log44=1,

即Q>1力>1,c>1,

vc=log45=log225=5=log?55=log?V5?

而〃=log23>log2y/5,所以a>c>1,

33

:a=log23>Iog22^2二—而b=log34<log3373=

2

5

又???(=log,3=log3用，b=log34=log3正，

而44),則噫">噫療，即b>%

同理，?.??=log444=log4〃^，c=log45=log4V?>

而45>53則Iog4*>k)g4療，即3>C,

綜上得：a>；>b>2>c>l,

24

所以c<b<a.

故選：D.

例5.（2022?河南省杞縣高中模擬預測（理））已知實數(shù)a,b,。滿足。=6；，b=1°978+

/0況649,7。+24b=25。，則。，田。的大小關(guān)系是（）

A.b>a>cB.c>b>a

C.b>c>aD.c>a>b

【答案】C

【解析】

【分析】

分別求出a,b,c的大致范圍，即可比較a,b,c的大小.

【詳解】

由題意得，a=65>6°=1-故2>a>l；

2

b=log78+103^49=log756-1+2log5f）7=/o,g756+-1,

77

因，。9756>，。。749=2,根據(jù)對勾函數(shù)得，。9756+正羨>2+萬=3,因此6>3—1=2；

由勾股數(shù)可知72+242=252,又因7b+24%=25c且b>2,故b>c>2；

因此b>c>a.

故選：C.

例6.（2022?廣東茂名?模擬預測）已知a=sin2/=Zn2,c=2T，貝U0，b,c的大小關(guān)系

是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

【答案】D

【解析】

【分析】

判斷sin2和sing的大小，比較a與:、b與：、c與*的大小可判斷a與b大小關(guān)系及b與c

大小關(guān)系，判斷a與立、c與它的大小可判斷“與c大小關(guān)系，從而可判斷a、b、c大小關(guān)

22

系.

【詳解】

.°、.2“遮、3

a=smz>sin--=—>

34333

（句=/>24=3>2=lne7=q>ln2，即??a>b;

16

64

a>c>b.

故選：D.

【點睛】

本題關(guān)鍵是利用正弦函數(shù)的值域求出sin2的范圍，以:和包兩個值作為中間值，比較“、6、

42

C與中間值的大小即可判斷。、b、。的大小.

例7.（2022,全國?高三專題練習）已知a=3'W，b-log2425,c-log2s26,則a,b,c

的大小關(guān)系為

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.b>c>a

【答案】D

【解析】

先由題，易知a=3嗎<1，而b=log2425>1,c=log2526>1,再將b,c作商，利用對

數(shù)的運算以及基本不等式，求得比值與1作比較即可得出答案.

【詳解】

因為）故a=3嗎<1

b=log2425>l,c=log2526>1

f=鬻噗=1092526log2s24<（—26產(chǎn)24）2=/物5（25+1）（25-I）］2<1

所以c<b,即b>c>a

故選D

【點睛】

本題考查了對數(shù)的運算以及基本不等式的綜合，解題的關(guān)鍵是在于運算的技巧以及性質(zhì)，屬

于中檔偏上題型.

例8.（2022?北京通州?模擬預測）已知a=log3；,b-Inn,c-ba,則a,b,c的大小關(guān)

系（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；

【詳解】

解：因為-l=log3g<log3；<log31=0，即

又比n>Ine=1,即b>l,

所以0V〃V=1,即0VCV1,

綜上可得b>c>a,

故選：A

題型三：含變量問題

例9.(2022?全國?高三專題練習)已知。€(0年)，a=嗤穿茅，6=靄言?，c=

管霍小，則abc的大小關(guān)系為()

A.b<c<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知構(gòu)造函數(shù)/0)=黑孝，可得/(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.再求導，運用導函數(shù)

的正負研究函數(shù)的單調(diào)性，最后由角的范圍得出三角函數(shù)的范圍可得選項.

【詳解】

由題可設(shè)f(無)=邛書，因為/(2-幻=/(%),所以/(工)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.

因為/''(￥)=幺號爭兇,當xe(1,2)時，0<(X—1)2<1,所以行(X-1)2<0,1-ln(x-

1)2>0,0—1)3>0,所以所以/(%)在(1,2)上單調(diào)遞增，

由對稱性可知"X)在(0,1)上單調(diào)遞減.因為ee(O*),所以0<sineVg<FVcoseVI,

所以c=f(sinB)>f(cosd)=b；

又2cos2。>|>1,0<sind<^<1,由對稱性可知f(2cos28)=/(2-2cos28),且0v

2-2cos20<I，因為2—2cos20—sin0=2sin2Q—sin6=sind(2sin0-1)<0,所以

0<2—2cos28<sin0<7,

又/1(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,所以c=/(sin0)</'(2-2cos2e)=/(2cos20)=a,所以

b<c<a,

故選：A.

【點睛】

關(guān)鍵點睛：本題考查比較大小，關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的函數(shù)，并運用導函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性

和對稱性得以解決.

例10.(2022?江西宜春?模擬預測(文))己知實數(shù)x,y,ZER,且滿足華=斗=一9,y>1,

Jexey肝

則x,y,z大小關(guān)系為()

A.y>x>zB.x>z>yC.y>z>xD.x>y>z

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件，可得x>l,z<0,構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性比較大小即得.

【詳解】

因"=W=-J，y>1>則/x>o,-z>o,即x>i,z<o,

exeye"/

令/CO=x->1,則/(x)=1-:>0,函數(shù)/(x)在(1,*?)上單調(diào)遞增，有/(x)>

/'⑴=1>0,

即inx<x,從而當x>Ly>i時，￡=中</，令g(t)=?/>i，g'⑷=錄<°，g(t)在

(i,”)上單調(diào)遞減，

則由x>1/>1,g<※得y>X>1,

所以y>x>z.

故選：A

【點睛】

思路點睛：涉及不同變量結(jié)構(gòu)相似的式子相等，細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)，分析

并運用函數(shù)的單調(diào)性求解作答.

例11.(2022?天津?高三專題練習)已知xe(e-1,l),記a=\nx,b=?7=elnx-則a,b,c

的大小關(guān)系是()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)xe(eT,l),利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】

解：因為尤&(e-1,l)?

所以a=Inx丘(-1,0),d=(畀“、G(l,2),c=elnxegi),

所以a<c<b,

故選：A

例12.(2022?安徽哈肥一中高三階段練習(文))若則ew,me,的大小關(guān)系為

()

A.cm>mnt>meB.me>em>mmC.me>mm>cmD.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用塞指函數(shù)的單調(diào)性可得>nf",me>mm,構(gòu)造函數(shù)g(x)=%-e，nx(x>2),可得

em>me,從而得到結(jié)果.

【詳解】

當2<zn<e時，em>m'n,me>mm,

下面比較即與me的大小，即比較m與e/nm的大小，

考察函數(shù)g(x)=x-eInx(x>2),"g'(x)=1-1

當2<x<e時，g'(x)<0,.遭⑶在(2,e)上單調(diào)遞減，

因為2cm<e,

g(m)>gQe)—0,即m—ehim>0=m>ebi?n,

所以e01>me,

綜上：當2<m<e時，em>me>mm.

故選：D

例13.(2022?江蘇?揚州中學高三階段練習)已知0<a</?</則下列大小關(guān)系中正確的

是()

A.(sina)c°sa>(sina)C0S^

B.logsinaCOSa>logsinaCOS^

sin

C.(cosa)sina>(COS^)^

D.(cosa)sM。<(Sina)。。，。

【答案】c

【解析】

【分析】

A.構(gòu)造函數(shù)y=(s譏a)x,利用其單調(diào)性比較大??；

B.構(gòu)造函數(shù)y=logsinax,利用其單調(diào)性比較大?。?/p>

C.構(gòu)造函數(shù)y=(cosa)，及函數(shù)y=/叫利用其單調(diào)性比較大?。?/p>

D.將(cosa)sE夕<(sina)c°s夕轉(zhuǎn)化為tan/?>logcosasina,判斷tcmQ,/。。叱。sina的大小關(guān)系

即可.

【詳解】

0<a<^<^,則0<sina<cosa<1,P.cosa>cosp,sina<sinP

A.因為函數(shù)y=(sina尸在尺上單調(diào)遞減,故sina’osa<sin0cos6,A錯誤；

B.因為函數(shù)丫=logs加a》在(0,+8)上單調(diào)遞減,^Llogsinacosa<logsinacosp,B錯誤;

C.因為函數(shù)y=(cosa)x在R上單調(diào)遞減，函數(shù)y=%5加0在(0,+8)上單調(diào)遞增，

(cosa)sina>(cosa)sin^>(cos^)sin^,C正確;

D.(cosa)sm"<(sina)c°s"=sinpIn^cosa)<cosp仇(sina)

sinpZn(sina)

0宙〉師麗0ttm6>logcosaSina

：?0<￡<；,；.0<tanp<1

又logcosasina>logmsacosa=1,■■tan。<log,.osasina,D錯誤；

故選：C.

例14.(2022,全國?高三專題練習)已知a>6>0"6=1,若％=￡,y=log2(a+h),z=a+

則10gx(3x),，ogy(3y),，ogz(3z)的大小關(guān)系為()

A.logx(3x)>logy(3y)>logz(3z)B.logy(3y)>logx(3x)>logz(3z)

C.logx(3x)>logz(3z)>logy(3y)D.logy(3y)>logz(3z)>logx(3x)

【答案】D

【解析】

【分析】

先化簡log,(3x)=?(3〃=]+-J—,iOg,.(3y)=1+-^―slog;(3z)=1+——,

log3xlog3xlog3ylog3z

再根據(jù)x,y,z的大小關(guān)系，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到其大小關(guān)系.

【詳解】

因為k)g*(3x)=乎(3、)=[+-^―,log,,(3y)=l+-^―；log.(3z)=1+——,

log,xlog,xlog,ylog,z

函數(shù)V=S一在(0,1)和(1,+劃上均單調(diào)遞減，

lOg3X

a

又a>b>O,ab=1,所以Q>1,0VbV1.而％=晟,y=log2(+b),z=a4-

所以0cxV>l,z>2,即y>x,z>x,可知Ilog》(3x)最小.

由于夕=log2(a+Z>)=log2[aJ),z=2a=log22"=log24,所以比較真數(shù)

a+1與4。的大小關(guān)系.當a>l時，a4—<4",所以z>y>l,

aa

即1+-^—>1+"一.綜上,log.(3y)>10gr(3z)>log,.(3x).

log.,ylog.,Z

故選：D.

（多選題）例15.（2022?山東威海?三模）若a>b>1,0<m<1,貝1J（）

A.am<bmB.ma<mb

C.log,,,a<log,,,D.10gli機<log/"

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據(jù)黑函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別可判斷A、B、C,結(jié)合C和對數(shù)換底公式

即可判斷D.

【詳解】

對于A,:豚函數(shù)尸x"'(O<m<l)在(0,+8)單調(diào)遞增，.?.根據(jù)a>b>l可知￡1巾>加>,

故A錯誤；

對于B,?.,指數(shù)函數(shù)產(chǎn)znx(O<m<1)在R上單調(diào)遞減，.?.根據(jù)a>b>1可知<m",

故B正確：

對于C,,對數(shù)函數(shù)尸logmX(0<m<1)在(0,+8)上單調(diào)遞減，.?.根據(jù)a>b>1可

知log,,,a<10gBib,故C正確；

對于D,由C可知log,,,a<log,?b<0,：.丁」一>1,即log“加〉log,,m,故D錯誤.

log,”alog,,,h

故選：BC.

(多選題)例16.(2022?廣東佛山?三模)已知0<6<“<1,則下列不等式成立的是()

A.Iog(,b<log4aB.logab>lC.alnb<blnaD.alna>bInb

【答案】BC

【解析】

【分析】

作差法判斷選項A；利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷選項B；利用幕函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)

性去判斷選項C；舉反例排除選項D.

【詳解】

選項A：幽-幽=短"運=處變U則

IgalgIgalgbIgolgb

ll]0<Z?<a<l,可得ZgbVZgaCO,

貝ijlgblga>0,Igb-Iga<0,Igb+Iga<0

[川I”。Jga)(，gb+/ga)〉0

則Log。b>loga.判斷錯誤;

'Igalgbb

選項B:由可得y=/oga%為(0,+8)上減函數(shù),

乂0<6<a,則log”b>log”a=1.判斷正確：

選項C：由可知y=謨?yōu)镽上減函數(shù)，又b〈a,則成>a。

由Q>0,可知y=%。為(0,+8)上增函數(shù)，又力<Q,則/VQ。，則/>b。

又y=Lnx為(0,+8)上增函數(shù)，則ma。>lnba,則alnb<bma.判斷正確;

選項D：令Q=Lb=3,則0vb<a<l,

eec

alna=-In-=-bbib==—芻

eee

則aIna—bInb=--4-4=~~r<0,5PaIna<b仇/?.判斷錯誤.

e所所

故選：BC

題型四：構(gòu)造函數(shù)

例17.(2022?遼寧實驗中學模擬預測)若a=sin1+tan1,b-2,c-/n4+貝ija,h,

c的大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù)f(x)=2伍x+：-x,利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷b>c,再構(gòu)造函數(shù)

g(x-)=sinx+tanx-2x,xG(0,g,利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷。>b,即可

得解；

【詳解】

解：令則/(0=：+/一1=二竽二=與丫30,則/3)在定義

域(0,+8)上單調(diào)遞減，所以/(2)</(1)=0,即2/2+(-2<0,所以bi4+g<2,即

b>c,令g(x)=sinx+tanx-2x,x6(0,*則g'(x)=cosx+——2=

因為％E(蛇)所以cos%6(0,1),令九(%)=%3—2x24-1,%G(0,1),則九(x)=3x2—4%=

x(3x-4)<0,即九(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以h(x)>/i(l)=0,所以g'(》)>0,即g(%)

在(0,3上單調(diào)遞增，所以g(l)>g(0)=0,即sinl+tan1—2>0,即sinl+tan1>2,

即。>力，綜上可得a>b>c；

故選：A

例18.(2022?全國?高三專題練習)已知a=mb=胃,c=sin0.1,則a,b,c的大小關(guān)

系正確的是()

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】

【分析】

作差法比較出。>6,構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較出c>a,從而得出c>a>b.

【詳解】

?0.30.90.3TT—0.90.3x3-0.9■匚c/17〃、?

a—b=——-^7=-->—乒—=0n,所以Q—b>0,故a>6,X/(%)=nsin%—o3x,

則f(%)=ncosx_3在xE(0，B上單調(diào)遞減，又f(0)=7T—3>0,f(?)=與一3V0，

所以存在%0e(0,)使得f(%)=o,且在xe(0口0)時,f'(%)>o,在x€卜05)時，/(%)<0,

即/(%)=nsinx一3%在不€(0,x())上單調(diào)遞增，在；rW(均勻單調(diào)遞減，且/佶)=

曳心兀一3>0,所以孫>g又因為/(0)=0,所以當工€(0曲)時，/(%)=7TS譏x—3%>0,

其中因為《<所以七七(。式0)，所以/(5)=7Tsin0.1—0.3>0,t^sin0.1>即c>

a>b.

故選：B

例19.(2022?河南洛陽?三模(理))已知a=81°,b=99,c=108,則a,b,c的大小關(guān)

系為()

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù)/(x)=(18—久)mx,%>8,求其單調(diào)性，從而判斷a,b,c的大小關(guān)系.

【詳解】

構(gòu)造/'(x)=(18—x)x>8,

f(x)=—Inx+—1,

f(x)=—inx+——1在8,+8)時為減函數(shù)，且/(8)=—伍8+3—1=^—/n8<—

~5

Ine2=—2<0.

4

所以/''(￥)=—Inx+y-1<0在8,+8)恒成立，

故/(x)=(18-x)在8,+8)上單調(diào)遞減，

所以f(8)>f(9)>f(10),

BP10/n8>9Zn9>8ZnlO,所以8］。>9s>>1()8,即a>b>c.

故選：D

【點睛】

對于指數(shù)式，對數(shù)式比較大小問題，通常方法是結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及中間值比較大小，稍復雜

的可能需要構(gòu)造函數(shù)進行比較大小，要結(jié)合題目特征，構(gòu)造合適的函數(shù)，通過導函數(shù)研究其

單調(diào)性，比較出大小.

例20.(2022?河南?模擬預測(理))若a=e°，2,b=Vh2>c-ln3.2,則a,h,c的大小

關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù)/(x)=ex-x-l(x>0),利用導數(shù)可得a=e02>1.2>b,進而可得e「2>3.2.

可得a>c,再利用函數(shù)g(x)詈，可得m3.2>1.1,即得.

【詳解】

令f(x)=ex-x—1(%>0),則f(%)=ex-1>0?

???/■(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

***a=e02>0.2+1=1.2>V1.2=b，

a=e02>1.2=Ine12,c=ln3.2,

V(e12)5=e6>(2.7)6?387.4,(3.2)5w335.5,

Ae1,2>3.2,故Q>c,

設(shè)g(x)=/則g'(x)=

/x+l八)X(x+1)2x(x+l)2

所以函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

由g(l)=0,所以％>1時，g{x)>0,即"久>箋/，

.,O1H、2(2-1).2(1.6-1)[5—5-

..Zn3o.2o=in24-tn1,6>--------------------=1—>1—=1.1,

24-11.6+13950

又1V1.2V1.21,1<b=V12<1.1，

，c>1.1>b,

故a>c>b.

故選：B.

【點睛】

本題解題關(guān)鍵是構(gòu)造了兩個不等式e、>x+l（x>0）與mx>筌。>1）進行放縮，需要

學生對一些重要不等式的積累.

2?

例21.（2022?新疆?模擬預測（理））實數(shù)》,丫,2分別滿足log2ix=-,2iy=22,20z=21,

20

則x,y,z的大小關(guān)系為（）

A.x>y>zB.x>z>yC.z>x>yD.y>x>z

【答案】B

【解析】

【分析】

22

由題意得％=（4產(chǎn)，y=10。2122,z=log2o21,然后y與z作差結(jié)合基本不等式比較大

小,構(gòu)造函數(shù)/(r)=竽可判斷其在(e,+⑼上單調(diào)遞減,則f(21)<“2。),化簡可得21<

20急則為>,。92()21=z,則可比較出z與y的大小即可

【詳解】

22

由題意得X=(￡1)21,y=log2122,z=log2o21,則

1

z-y=log2021-log2122=^-^=-^^^,

Jyzuyzilg2oIg21lg204g21

22

因為匈20022<*(，g20+?22)]=g^440),

所以〃21“02、22匈221_&g440)2_(/g214旬440)(/g21，g440)

-lg2Qlg21-lg20lg21---20⑨21

所以Z>y,

設(shè)/(%)=?，則/(x)=W°，當xw(e,+8)時，/1(X)<0,所以/(%)在(e,+8)上單調(diào)

遞減，所以"21)<f(20),即譬〈鬻，所以20)21<21仇20,

所以?！磎2021,所以2件。<2021,所以21<20急所以分>Zog?。21=z,

22

因為x=O五>看所以x>z，

所以x>z>y,

故選：B

±z11x651

貝H

b2(+cos)c仇ab

,=武=---u

例22.(2022?四川雅安?二模)設(shè)a/nxSIin755,

50100o

c的大小關(guān)系正確的是()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】

【分析】

002

由于a=Ine^=/ne>^=/&譏擊+cos擊=仇偌了，所以只要比較％=6。嗎丫=

2

(s/n_l_+cos_l_)=1+sin±=i+sin0.02,z=(Vy的大小即可，然后分別構(gòu)造函數(shù)

/(X)=ex-(1+smx)(x>0),g(x)=(1+x)1,2-ex,判斷出其單調(diào)性，利用其單調(diào)性比

較大小即可

【詳解】

因為a=In威=Ine。%b="卜譏擊+cos擊下,?=/n(|滬

002

所以只要比較％=e,y=(sin擊+cos擊)=1+sin5=1+sinO.02tz=偌1=(1+

0.02尸2的大小即可，

令/'(x)=e*-(1+sinx)(x>0),則/'(x)=e*-cos%>0,所以/(x)在(0,+8)上遞增，

所以f(x)>/(0),所以ex>l+sinx,

所以e°，°2>1+sin0.02,即x>y>l,

令g(x)=(1+x)，2—e，貝ijg'(x)=1.2(1+x)°，2—eLg\x)=0.24(1+x)-0-8—ex

因為g"(x)在9+°°)上為減函數(shù)，目.g"(o)=0.24-1<o,

所以當x>0時，g\x)<0,

所以g'(x)在(0.+8)上為減函數(shù)，

因為g'(0)=1.2-1>0,5(0.2)=1.2x1.202-e02=1.212-e02,

要比較1.2L2與e0-2的大小，只要比較，nl.212=1.2/n1.2與Ine02=0.2的大小，

令/i(x)=(1+x)in(1+x)-x(x>0)>則/i'(x)=/n(l+x)+l—l=Zn(l+x)>0>

所以秋x)在上遞增,所以九(乃>/1(0)=0,

所以當x€(0,+8)時，(1+x)Zn(1+x)>%,所以1.2lnl.2>0.2,

所以>e02,所以g.(0.2)=1.2x1.202-e02=1.21-2-e02>0,

所以當xe(0,0.2)時，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,0.2)上遞增,

所以g(x)>g(0)=0,所以(l+x)L2>ex,

所以(1+0.02)12>e0Q2,所以z>x,所以z>x>y,

所以c>a>b,

故選：D

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：此題考查導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵是對已知的數(shù)變形,

然后合理構(gòu)造函數(shù)，通過導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，考查數(shù)轉(zhuǎn)化思

想和計算能力，屬于難題

例23.(2022?浙江?高三專題練習)a="臀力=-,c=拶，則a,h,c的大小順序為()

e”e3

A.a<c<bB.c<a<h

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】A

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù)/(x)=等，應用導數(shù)研究其單調(diào)性，進而比較a=〃J),b=f(e),c=f(3)的

大小，若t=W有兩個解則1<%<e<z,te(0,1),構(gòu)造g(x)=Inx->i),

利用導數(shù)確定g(x)>0,進而得到即可判斷八c的大小，即可知正確選

%2~X1X2-rX\

項.

【詳解】

令/(工)=竽則a=f(9)=字，b=f(e)=等，c=〃3)=等，

而f'(x)=號3且x>0,即0<x<e時/'(%)單調(diào)增,x>e時f(x)單調(diào)減,又l<J<e<3,

".b>c,b>a.

若t=W有兩個解X1X2,則1<再<6<々，te(oj),

X2-X11乙t

令g(x)=bix-g產(chǎn)(x>1),則g1(x)=：：：；；；>。,即g(x)在(L+8)上遞增，

Ag(x)>g(l)=0,即在(1,+8)上，/華12,若%=于即嶼*1>=一,故t>#L,

x

x+1ix2-xiX2+X1InxiX2

有/

22

...當X2=3時，e>Xi>y，故f(：)<f(Xi)=f(3),

綜上：b>c>a.

故選：A

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導數(shù)研究其單調(diào)性或極值，從而確定

a,b,c的大小.

題型五：數(shù)形結(jié)合（交點問題）

（多選題）例24.（2022?河北邯鄲?一模）下列大小關(guān)系正確的是（）

A.1.92<21-9B.22-9<2.92

oln21版

C麗二<西D.log74<log127

【答案】ABD

【解析】

【分析】

A、B選項畫出y=2*和y=/的圖象，數(shù)形結(jié)合進行比較，C選項構(gòu)造函數(shù)/*（x）=恚,

借助單調(diào)性進行判斷，D選項作減法，借助對數(shù)運算及基本不等式進行比較.

【詳解】

作出y=2,和y=x2的圖象，如圖所示，由圖象可得，當xe(0,2)時，2X>x2,

當xe(2,4)時，*2>2%,1.92<21-9,229<2.92,故A,B正確.

令八%)=系，則/0)=1+六，f(x)在(。,+8)上單調(diào)遞減，所以高>羿,故C

L—14—1―17*^_I

錯誤.

log]4+log?12T]

log741og712-l2

log74-log127=log74--~-

log712log712log712

所以log]4(log/,故D正確.

故選：ABD.

例25.(2022?廣東茂名?一模)已知x,y,z均為大于0的實數(shù)，且2'=3y=蟲z,則x,y,z

大小關(guān)系正確的是()

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2「y=3\y=，。毒久與直線V=t>1的交點的橫坐標的

關(guān)系，再作出圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.

【詳解】

解：因為x,y,z均為大于0的實數(shù)，

所以2*=3y=logsz=t>1,

進而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y-2x,y=3x,y=Zogsx與直線y=t>l的交點的橫坐標的關(guān)系,

故作出函數(shù)圖像，如圖，

由圖可知z>x>y

例26.(2022?全國?高三專題練習)已知函數(shù)f(x)=2，+%一1,g(x)=log2x+x-l,

〃(x)=d+x-l的零點分別為a,b,c,則a,b,c的大小為()

A.c>b>aB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b

【答案】B

【解析】

【分析】

函數(shù)f(x)，g(x)的零點直接求解即可，函數(shù)〃(尤)的零點利用零點存在性定理求解即可，從而

可得答案

【詳解】

解：令/(x)=0,則2才+%-1=0,得久=0,即a=0,

令g(x)=0,則Nog2x+x-1=0，得x=1,即b=l,

因為函數(shù)〃(x)=x3+x-l在R上為增函數(shù)，且僅0)=-1<0,/!⑴=1>0,所以力(x)在區(qū)間

(0,1)存在唯一零點c,且ce(0,l),

綜上，b>c>a,

故選：B

例27.(2022?全國凍北師大附中模擬預測(理))已知a為函數(shù)/(x)=log2%-：的零點，b=

C=訴,則a、b、C的大小關(guān)系正確的是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】

【分析】

對氏c,同時進行6次方運算，利用y=%6的單調(diào)性比較大?。?/p>

先利用零點存在定理判斷出：|<a<|.

對a、c,同時進行3次方運算，利用y=爐的單調(diào)性比較大??；

對a、b,同時進行平方運算，利用y=/的單調(diào)性比較大小.

【詳解】

因為b=c=訴，

6362

所以a=（7e）=e>（I'=153，c=（折>=TT2<（3.2）=10.24,

所以心>c6.

因為y=%6在9+8）上單增，所以b>c.

因為a為函數(shù)/（%）=/。勿%-:的零點，所以f（Q）=log2a4=。

因為y=!og2%為增函數(shù)，歹=-1為增函數(shù)，所以/（》）=/。比工一上為增函數(shù)，所以/（%）=

Xx

log2x-:有且僅有一個零點a.

又死）=/。92=因為|=［（/,=（韻B=所以六2：所以

=1。。26）-也因翟=［（凱：43%=32、所以。2,，所以

='092（5-《>0；由零點存在定理,可得：1<a<1

所以修）3<〃<伊，〃=（訴尸=71,所以>（|）3=y=3,375>n=C3.

因為y=爐在（o,+8）上單調(diào)遞增，所以Q>C.

因為m<Q<《，所以/<（§2=256，而力2=°=2.71828,所以〃>層

因為y=/在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以b>a.

所以b>a>c.

故選：B

例28.（2022,全國?高三專題練習）已知a+2。=2力+3）=2,則blga與algb的大小關(guān)系

是（）

A.blga<algbB.blga=algb

C.blga>algbD.不確定

【答案】C

【解析】

【分析】

令/(x)=x+2￡,g(x)=x+3L結(jié)合題意可知0<6<a<l,進而有盧>朋〉〃，再利用對

數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和運算性質(zhì)即可求解

【詳解】

令/(x)=x+2*,g(x)=%+3X,

則當x>0時，g(x)>/(x),當x<0時，g(x)<f(x)；

由a+2a=2力+3b=2,得/(a)=2,g(b)=2

考慮到f(a)=g(b)=2得

:.ab>bb>ba

由a”>b。,得Ig(a")>Zg(b。)，

即biga>algb

故選：C

題型六：特殊值法、估算法

例29.(2022?全國?高三專題練習)已知，貝！Ia,b,c,d的大小關(guān)

系為()

A.b>a>d>cB.b>c>a>dC.b>a>c>dD.a>b>d>c

【答案】C

【解析】

【分析】

對給定的幕或?qū)?shù)變形，借助幕函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性并結(jié)合“媒介”數(shù)即可判斷作答.

【詳解】

依題意，a=2X=(2&f，函數(shù)y=C在［0,+8)上單調(diào)遞增，而*<2a<3,于是得g<

II3

(272)5<3笳即b>a>：，

函數(shù)y=log4xTt(O,+8)單調(diào)遞增,并且有l(wèi)o的3>0,log45>0,

則

2=log416>logA15=log43+［?！?=

于是得Io%?x［0045V1,即/。。45<=，。①牝則c>d,

又函數(shù)y=Io/%在(0,+8)單調(diào)遞增，且4<3B，則有Log?4Vlog33g=5

所以b>a>^>c>d.

故選：C

例30.（2022?全國?高三專題練習）已知b=c=log?e，則a，b,c的大小

關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】B

【解析】

【分析】

結(jié)合已知條件，比較/和/的