離散數(shù)學(xué)重點(diǎn)筆記2121

實(shí)用文檔第一章，0命題邏輯素?cái)?shù)=質(zhì)數(shù)，合數(shù)有因子和或假必真同為真(p→q)∧(q←→r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)等都是合式公式，而pq→r，（p→(r→q)等不是合式公式。若公式A是單個(gè)的命題變項(xiàng)，則稱(chēng)A為0層合式(┐p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分別為3層和4層公式【例】求下列公式的真值表，并求成真賦值和成假賦值。(┐p∧q)→┐r公式(1)的成假賦值為011，其余7個(gè)賦值都是成真賦值第二章，命題邏輯等值演算（1）雙重否定律AA（2）等冪律A∧AA；A∨AA（3）交換律A∧BB∧A；A∨BB∨A（4）結(jié)合律（A∧B）∧CA∧（B∧C）；（A∨B）∨CA∨（B∨C）（5）分配律（A∧B）∨C（A∨C）∧（B∨C）；（A∨B）∧C（A∧C）∨（B∧C）（6）德·摩根律（A∨B）A∧B；（A∧B）A∨B（7）吸收律A∨（A∧B）A；A∧（A∨B）A（8）零一律A∨11；A∧00（9）同一律A∨0A；A∧1A（10）排中律A∨A1（11）矛盾律A∧A0（12）蘊(yùn)涵等值式A→BA∨B（13）假言易位A→BB→A（14）等價(jià)等值式AB（A→B）∧（B→A）文案大全實(shí)用文檔ABA（15）等價(jià)否定等值式ABB（16）歸繆式（A→B）∧（A→B）AA(i=1,2,…,s)為簡(jiǎn)單合取式，則A=A∨A∨…∨A為析取范式(p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨pA=A∧A∧…∧A為合取范式(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r12si12s一個(gè)析取范式是矛盾式當(dāng)且僅當(dāng)它的每個(gè)簡(jiǎn)單合取式都是矛盾式一個(gè)合取范式是重言式當(dāng)且僅當(dāng)它的每個(gè)簡(jiǎn)單析取式都是重言式主范式【∧小真，∨大假】∧成真小寫(xiě)【例】(p→q)→(┐q→┐p)=┐(┐p∨q)∨(q∨┐p)(消去→)=(p∧┐q)∨┐p∨q(┐內(nèi)移)(已為析取范式)=(p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q)（*）=m2∨m0∨m1∨m1∨m3=m0∨m1∨m2∨m3(冪等律、排序)(*)由┐p及q派生的極小項(xiàng)的過(guò)程如下：┐p=┐p∧(┐q∨q)=┐p∧┐q)∨(┐p∧q)q=(┐p∨p)∧q=(┐p∧q)∨(p∧q)熟練之后，以上過(guò)程可不寫(xiě)在演算過(guò)程中。該公式中含n=2個(gè)命題變項(xiàng)，它的主析取范式中含了22=4個(gè)極小項(xiàng)，故它為重言式，00，01，10，11全為成真賦值。文案大全實(shí)用文檔【例】(p→q)∧┐p=(┐p∨q)∧┐p(消去→)=┐p∨(┐p∧q)(分配律、冪等律)已為析取范式=(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)=m0∨m1【例】(p∧┐q)∨(┐p∧q)=(p∨┐p)∧(p∨q)∧(┐q∨┐p)∧(┐q∨q)=(p∨q)∧┐(p∧q)重言蘊(yùn)涵式【例】用附加前提證明法證明下面推理。前提：P→（Q→R），S∨P，Q結(jié)論：S→R證明：（1）S∨P前提引入規(guī)則（2）S附加前提引入規(guī)則（3）P（4）P→（Q→R）前提引入規(guī)則（5）Q→R（3）（4）假言推理規(guī)則（6）Q前提引入規(guī)則（7）R（1）（2）析取三段論規(guī)則（5）（6）假言推理規(guī)則【例】用歸繆法證明。前提：P∨Q，P→R，Q→S結(jié)論：S∨R證明（1）（S∨R）附加前提引入規(guī)則（2）S∧R（1）置換規(guī)則（3）S（2）化簡(jiǎn)規(guī)則（4）R（2）化簡(jiǎn)規(guī)則（5）Q→S前提引入規(guī)則（6）Q∨S（5）置換規(guī)則文案大全實(shí)用文檔（7）Q（3）（6）析取三段論（8）P∨Q前提引入規(guī)則（9）P（7）（8）析取三段論規(guī)則（10）P→R前提引入規(guī)則（11）P∨R（10）置換規(guī)則（12）R（9）（11）析取三段論規(guī)則（13）R∧R（4）（12）合取引入規(guī)則全稱(chēng)量詞""對(duì)"∨"無(wú)分配律。同樣的，存在量詞""對(duì)"∧"無(wú)分配律文案大全實(shí)用文檔(3)xyF(x,y)x(F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c))(F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c))∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c))∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))謂詞邏輯的等價(jià)公式定理1設(shè)A（x）是謂詞公式，有關(guān)量詞否定的兩個(gè)等價(jià)公式：xA（x）x﹁A（x）（1）﹁（2）﹁xA（x）x﹁A（x）定理2設(shè)A（x）是任意的含自由出現(xiàn)個(gè)體變項(xiàng)x的公式，B是不含x出現(xiàn)的公式，則有（1）x（A（x）∨B）xA（x）∨B（2）x（A（x）∧B）xA（x）∧B（3）x（A（x）→B）xA（x）→B（4）x（B→A（x））B→xA（x）（5）x（A（x）∨B）xA（x）∨B（6）x（A（x）∧B）xA（x）∧B（7）x（A（x）→B）xA（x）→B（8）x（B→A（x））B→xA（x）定理3設(shè)A（x）、B（x）是任意包含自由出現(xiàn)個(gè)體變?cè)獂的公式,則有：（1）x（A（x）∧B（x））xA（x）∧xB（x）（2）x（A（x）∨B（x））xA（x）∨xB（x）定理4下列蘊(yùn)涵式成立（1）xA（x）∨xB（x）x（A（x）∨B（x））（2）x（A（x）∧B（x））xA（x）∧xB（x）（3）x（A（x）→B（x））xA（x）→xB（x）（4）x（A（x）→B（x））xA（x）→xB（x）（5）xA（x）→xB（x）x（A（x）→B（x））文案大全實(shí)用文檔【例】【例】文案大全實(shí)用文檔【例】文案大全實(shí)用文檔【例】文案大全實(shí)用文檔【例】在一階邏輯自然推理系統(tǒng)F中構(gòu)造下面推理的證明（1）所有的人或者是吃素的或者是吃葷的，吃素的常吃豆制品，因而不吃豆制品的人是吃葷的。（個(gè)體域?yàn)槿说募希?。?）每個(gè)喜歡步行的人都不喜歡騎自行車(chē)，每個(gè)人或者是喜歡騎自行車(chē)或者喜歡乘汽車(chē)，有的人不喜歡乘汽車(chē)，所以有的人不喜歡步行。（集合）。個(gè)體域?yàn)槿说奈陌复笕珜?shí)用文檔【例】符號(hào)化下面的命題“所有的有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，所有的無(wú)理數(shù)也是實(shí)數(shù)，任何虛數(shù)都不是實(shí)數(shù)，所以任何虛數(shù)既不是有理數(shù)也不是無(wú)理數(shù)”，并推證其結(jié)論。證明設(shè)：P（x）：x是有理數(shù)。Q（x）：x是無(wú)理數(shù)。R（x）：x是實(shí)數(shù)。S（x）：x是虛數(shù)。本題符號(hào)化為：x（P（x）→R（x）），x（Q（x）→R（x）），x（S（x）→﹁R（x））x（S（x）→﹁P（x）﹁R（x））（1）x（S（x）→﹁R（x））P（2）S（y）→﹁R（y）US（1）（3）x（P（x）→R（x））P（4）P（y）→R（y）US（3）（5）﹁R（y）→﹁P（y）T（4）E（6）x（Q（x）→R（x））P（7）Q（y）→R（y）US（6）（8）﹁R（y）→﹁Q（y）T（7）E（9）S（y）→﹁P（y）T（2）（5）I（10）S（y）→﹁Q（y）T（2）（8）I（11）（S（y）→﹁P（y））∧（S（y）→﹁Q（y）T（9）（10）I（12）（﹁S（y）∨﹁P（y））∧（S（y）∨﹁Q（y））T（11）E文案大全實(shí)用文檔（13）﹁S（y）∨（﹁P（y）∧﹁Q（y））T（12）Ey））T（13）E（14）（14）S（y）→（﹁P（y）∧﹁Q（（15）x（S（x）→﹁P（x）∧﹁R（x））UG第六章，集合代數(shù)自然數(shù)集合N(在離散數(shù)學(xué)中認(rèn)為0也是自然數(shù))，整數(shù)集合Z，有理數(shù)集合Q，實(shí)數(shù)集合R，復(fù)數(shù)集合C全集U，空集是一切集合的子集（1）冪等律：A∩A＝AA∪A＝A（2）同一律：A∩U＝A（3）零律：A∩＝A∪E＝E（4）結(jié)合律：(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)（5）交換律：A∩B＝B∩AA∪B＝B∪A(6)分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）吸收律A∪（A∩B）＝AA∩（A∪B）＝A同一律A∪＝AA∩E＝AA-B稱(chēng)為集合B關(guān)于A的補(bǔ)集Ａ-B＝｛x|xＡ且xB｝補(bǔ)集記作~A~（A∪B）＝~A∩~B~（A∩B）＝~A∪~B（1）雙重否定律：~（~A）＝A（2）摩根律：~＝U~U＝A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C)～(B∪C)=～B∩～C～(B∩C)=～B∪～C＝（4）矛盾律：A∩（~A）（5）排中律：A∪（~A）＝U集合A和B的對(duì)稱(chēng)差記作AB，它是一個(gè)集合，其元素或?qū)儆贏，或?qū)儆贐，但不能既屬于A又屬于B。AB＝(A∪B)-(A∩B)文案大全實(shí)用文檔（1）AA＝（2）A＝A（3）AＵ＝~Ａ（4）AB＝BAC＝A（BC）（5）（AB）（6）AB＝(A-B)∪(B-A)第七章，二元關(guān)系A(chǔ)×B={<x，y>x∈A∧y∈B}A×B={a，b}×{c，d}={<a，c>，<a，d>，<b，c>，<b，d>}自反性和反自反性文案大全實(shí)用文檔定義4.10設(shè)R是集合A上的二元關(guān)系，如果對(duì)于每個(gè)xA，都有<x，x>R，則稱(chēng)二元關(guān)系R是自反的。R在A上是自反的x（xA<x，x>R）<x，x>R，則稱(chēng)二元關(guān)系R是反定義4.11設(shè)R是集合A上的二元關(guān)系，如果對(duì)于每個(gè)xA，都有自反的。A上是反自反的x（xA<x，R在x>R）4.4.2對(duì)稱(chēng)性和反對(duì)稱(chēng)性y>R，就有<y，x>R，則定義4.12設(shè)R是集合A上的二元關(guān)系，如果對(duì)于每個(gè)x，yA，當(dāng)<x，稱(chēng)二元關(guān)系R是對(duì)稱(chēng)的。R在A上是對(duì)稱(chēng)的xy（xA∧yA∧<x，y>R<y，x>R）定義4.13設(shè)R是集合A上的二元關(guān)系，如果對(duì)于每