核心素養(yǎng)專題古代問題中的勾股定理

核心素養(yǎng)專題：古代問題中的勾股定理eq\a\vs4\al(◆)類型一勾股定理應(yīng)用中的實(shí)際問題1．【“引葭赴岸”問題】如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長(zhǎng)10尺，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是()A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺第1題圖第2題圖2．(2022·西城區(qū)期末)《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有戶不知高廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出，問戶斜幾何．注：橫放，竿比門寬長(zhǎng)出四尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出二尺，斜放恰好能出去．解決下列問題：(1)示意圖中，線段CE的長(zhǎng)為________尺，線段DF的長(zhǎng)為________尺；(2)設(shè)戶斜長(zhǎng)x，則可列方程為________________．3．《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長(zhǎng)？”根據(jù)題意，可得秋千的繩索長(zhǎng)為________尺．(2022·東營(yíng)中考)我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長(zhǎng)幾何？”題意是：如圖，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長(zhǎng)為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處，則問題中葛藤的最短長(zhǎng)度為________尺．eq\a\vs4\al(◆)類型二勾股定理的證明問題5．(2022·麗水中考)我國(guó)三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖①所示．在圖②中，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為14，正方形IJKL的邊長(zhǎng)為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長(zhǎng)為________．6．中國(guó)古代對(duì)勾股定理有深刻的認(rèn)識(shí)．(1)三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽第一次對(duì)勾股定理加以證明：用四個(gè)全等的圖①所示的直角三角形拼成一個(gè)如圖②所示的大正方形，中間空白部分是一個(gè)小正方形．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a，b，求(a＋b)2的值；(2)清朝的康熙皇帝對(duì)勾股定理也很有研究，他著有《積求勾股法》，用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言描述就是：若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5的整數(shù)倍，設(shè)其面積為S，則求其邊長(zhǎng)的方法：第一步eq\f(S,6)＝m；第二步：eq\r(,m)＝k；第三步：分別用3，4，5乘以k，得三邊長(zhǎng)．當(dāng)面積S＝150時(shí)，請(qǐng)用“積求勾股法”求出這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)．

參考答案與解析1．D2.(1)42(2)(x－4)2＋(x－2)2＝x23.14.54．25解析：將圓柱側(cè)面展開，如圖，AC＝3尺，CD＝eq\f(20,5)＝4(尺)，∴AD＝eq\r(,32＋42)＝5(尺)，∴葛藤的最短長(zhǎng)度為5×5＝25(尺)．5．106．解：(1)根據(jù)勾股定理可得a2＋b2＝13，四個(gè)直角三角形的面積是eq\f(1,2)ab×4＝13－1＝12，即2ab＝12，則(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝25，即(a＋b)2＝25.(2)當(dāng)S＝150時(shí)，k＝eq\r(m)＝eq\r(\f(S,6))＝