例析導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義

本文格式為Word版，下載可任意編輯——例析導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義導(dǎo)數(shù)生活中在實(shí)際

在實(shí)際生活中,經(jīng)常遇到這樣一類問題：在確定條件下,“利潤最大”、“用料最省”、“效率最高”、“面積最大”、“容積最大”、“強(qiáng)度最大”、“本金最低”等問題,往往歸結(jié)為求函數(shù)的最值問題,從而可利用導(dǎo)數(shù)來解決。

某企業(yè)擬建立如下圖的容器(不計(jì)厚度,長度單位：米),其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為80?π?3立方米,且l≥2r.假設(shè)該容器的建立費(fèi)用僅與其外觀積有關(guān).已知圓柱形片面每平方米建立費(fèi)用為3千元,半球形片面每平方米建立費(fèi)用為c(c>3)千元．

設(shè)該容器的建立費(fèi)用為?y千?元．

(1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式,并求該函數(shù)的定義域；

(2)求該容器的建立費(fèi)用最小時(shí)的r．

分析此題以生活中常見的圓柱、球?yàn)楸尘?同學(xué)們并不目生。利用體積相等建立方程,得到l與r之間的關(guān)系,根據(jù)已知l≥2r,求出函數(shù)定義域。難點(diǎn)在于用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值時(shí)需要分類議論。

解(1)由題意可知?π?r?2l+43?π?r?3=803?π?(?l≥2r?),所以l=803r?2-43r≥2r,得03,所以c-2>0.令y′=0,得?r=?320c-2．

令r=320c-2=2,即c=4.5,

①當(dāng)34.5時(shí),320c-2320c-2時(shí),?y′>?0,y為增函數(shù),所以當(dāng)r=320c-2時(shí),y有最小值．

綜上所述,當(dāng)34.5時(shí),建立費(fèi)用最少時(shí)r=320c-2．

某商場銷售某種商品的閱歷說明,該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)得志關(guān)系式y(tǒng)=ax-3+10(x-6)?2,其中30),假定該霓虹燈整體的“心悅效果”y是全體燈“心悅效果”的和．

(1)試將y表示為x的函數(shù)；

(2)試確定當(dāng)x取何值時(shí),該霓虹燈整體的“心悅效果”最正確？

分析此題具有鮮明的時(shí)代背景,特別別致。難點(diǎn)在于用x表示DE、DF的長,突破難點(diǎn)的關(guān)鍵看能否想到：把DE、DF轉(zhuǎn)化到三角形中。

解(1)由于∠EOA=∠FOB=2x,所以弧EF、AE、BF的長分別為?π?-4x,2x,2x．

連接OD,那么OD=OE=OF=1,∠FOD=∠EOD=2x+?π?2．

在△DOE中,由余弦定理得

DE?2=OE?2+OD?2-2OEOD?cos?∠DOE

=1+1-2?cos?2x+?π?2=2+2?sin?2x，

所以DE=2+2?sin?2x=2(?sin?x+?cos?x)?2=2(?sin?x+?cos?x)．

同理,DF=2(?sin?x+?cos?x)．

所以該霓虹燈整體的“心悅效果”

y=2k［22(?sin?x+?cos?x)+?π?-4x］+k(22+4x)

=2k［22(?sin?x+?cos?x)-2x+2+?π?］

00,函數(shù)y在0,?π?12上單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈?π?12,?π?4時(shí),y′(2)由(1)知,f′(x)=-24x?2+16ax,

令f′(x)=0,那么x=0(舍)或x=2a3．

當(dāng)00,f(x)為增函數(shù)；

當(dāng)x>2a3時(shí),f(x)′0,T(x)單調(diào)遞增．

所以當(dāng)x=12時(shí),T???min??=154+35=8720,此時(shí)CD=3．

即在距漁站3?km?處登岸可使抵達(dá)漁站的時(shí)間最省．

解法二：在?Rt?△ABD中,令∠DAB=θ045時(shí),T′(θ)>0,T(θ)單調(diào)遞增．

所以當(dāng)?sin?θ=45時(shí),T???min??=8720,此時(shí)?co