控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型微分方程的建立數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)行為特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式。是對(duì)實(shí)際物理系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)抽象?？刂葡到y(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型—R+-Ci1．RC電路微分方程中只能留下輸入、輸出變量及系統(tǒng)的一些常數(shù)。(一階常系數(shù)線性微分方程)輸入量輸出量2、RLC電路L+-CRi輸入量輸出量根據(jù)基爾霍夫定律(二階常系數(shù)線性微分方程)微分方程的建立彈簧系數(shù)km阻尼系數(shù)cf(t)y(t)3、彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)mky(t)f(t)(二階常系數(shù)線性微分方程)輸入量f(t)

輸出量y(t)微分方程的建立推廣到一般情況，系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型——微分方程其中,(i=0,1,2,…,n;j=0,1,2,…,m)均為實(shí)數(shù)，是由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)所決定。不考慮初始值，對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉氏變換，可得：(n>=m)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù):零初始條件下，系統(tǒng)輸出與輸入拉氏變換之比.輸入輸出R(S)C(S)r(t)c(t)系統(tǒng)G(S)將微分方程拉氏變換便可求得傳遞函數(shù),表示為：微分方程的建立4、電樞控制式直流電機(jī):電樞兩端電壓；:電機(jī)軸的角速度;:電樞繞組的電阻；:電樞繞組電感；:電樞繞組電流；:電機(jī)的反電勢(shì)；:電機(jī)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩；:電機(jī)軸的角位移;:電機(jī)和負(fù)載折合到電機(jī)轉(zhuǎn)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；:電機(jī)和負(fù)載折合到電機(jī)轉(zhuǎn)軸上的粘性摩擦系數(shù)。根據(jù)基爾霍夫定律及力矩平衡,有TfiJD忽略忽略忽略忽略建立系統(tǒng)微分方程的步驟：(1)將系統(tǒng)劃分環(huán)節(jié),確定各環(huán)節(jié)的輸入及輸出信號(hào).(2)根據(jù)物理定律或?qū)嶒?yàn)等方法列寫各環(huán)節(jié)的原始微分方程，并進(jìn)行簡(jiǎn)化或線性化。(3)將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量，最后得到只含輸入、輸出變量及參量的系統(tǒng)微分方程。(4)標(biāo)準(zhǔn)化（輸出有關(guān)項(xiàng)在等式左邊，輸入有關(guān)項(xiàng)在等式右邊，兩邊按降冪排列）RLC電路傳遞函數(shù)及微分方程的簡(jiǎn)化列寫微分方程的建立R+-Ci+-RLCi對(duì)角相乘后進(jìn)行拉氏反變換得微分方程+-RLSR+--Δ∞++-Δ∞++5、有源電路網(wǎng)絡(luò)對(duì)角相乘后進(jìn)行拉氏反變換得微分方程:微分方程的建立非線性系統(tǒng)微分方程模型的線性化1、幾種常見的非線性

偏微法：（小偏差法，切線法，增量線性化法）2、線性化的方法基于被控環(huán)節(jié)輸入輸出量只在平衡點(diǎn)附近作微小變化的假設(shè)。設(shè)A(x0,y0)為平衡點(diǎn)，函數(shù)在平衡點(diǎn)處連續(xù)可微，可將函數(shù)在平衡點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)。0xy飽和（放大器）y0x0y=f(x)A(x0,y0)忽略二次以上各項(xiàng)，可得：其中:非線性元件的線性化數(shù)學(xué)模型微分方程的建立傳遞函數(shù)及典型環(huán)節(jié)如果系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型微分方程為：其中,ai,bj(i=0,1,2,…,n;j=0,1,2,…,m)是由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)所決定的實(shí)數(shù)。不考慮初始值，對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉氏變換，可得：

(n>=m)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù):零初始條件下，系統(tǒng)輸出與輸入拉氏變換之比.輸入輸出R(S)C(S)r(t)c(t)系統(tǒng)G(S)將微分方程拉氏變換便可求得傳遞函數(shù),表示為：將傳遞函數(shù)中的分子與分母多項(xiàng)式分別用因式連乘的形式來(lái)表示，即極點(diǎn)零點(diǎn)傳遞函數(shù)性質(zhì)：(1)傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。(2)傳遞函數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外加信號(hào)的大小和形式無(wú)關(guān)。(3)傳遞函數(shù)為復(fù)變量S的有理分式。(4)傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。傳遞函數(shù)及典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其動(dòng)態(tài)響應(yīng)

不同的物理系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)差別很大。但若從系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)看，一般可將自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型看作由若干個(gè)典型環(huán)節(jié)所組成。研究和掌握這些典型環(huán)節(jié)的特性將有助于對(duì)系統(tǒng)性能的了解。輸入輸出R(S)C(S)r(t)c(t)系統(tǒng)G(S)微分方程：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)及典型環(huán)節(jié)1、比例環(huán)節(jié)微分方程:傳遞函數(shù):KR(S)C(S)方框圖：

單位階躍響應(yīng)：r(t)t0c(t)r(t)c(t)-∞++R1R2例:運(yùn)算放大器ur(t)uc(t)ur(t)uc(t)例:電位器

齒輪傳動(dòng)R1R2r(t)c(t)iK=i傳遞函數(shù)及典型環(huán)節(jié)2、慣性環(huán)節(jié)微分方程:傳遞函數(shù):R(S)C(S)方框圖：

單位階躍響應(yīng)：r(t)t0c(t)例:運(yùn)算放大器ur(t)uc(t)例:RC電路-∞++R2R1CR+-Ci傳遞函數(shù)及典型環(huán)節(jié)3、微分環(huán)節(jié)理想微分方程:傳遞函數(shù):R(S)C(S)方框圖：

單位階躍響應(yīng)：例:運(yùn)算放大器構(gòu)成的微分環(huán)節(jié)ur(t)uc(t)r(t)t0c(t)r(t)c(t)-Δ∞++RC微分時(shí)間常數(shù)

理想微分環(huán)節(jié)實(shí)際中是難以實(shí)現(xiàn)的，實(shí)際中常用含有慣性的實(shí)用微分環(huán)節(jié)。RCi+-+-RC電路構(gòu)成的實(shí)用微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù):單位階躍響應(yīng):r(t)t0c(t)傳遞函數(shù)及典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù):單位階躍響應(yīng):由于微分環(huán)節(jié)的輸出只能反映輸入信號(hào)的變化率，不能反映輸入量本身的大小，故常采用比例微分環(huán)節(jié)。采用運(yùn)算放大器構(gòu)成的比例微分環(huán)節(jié)：R1C1R2-Δ∞++r(t)t0c(t)1傳遞函數(shù)及典型環(huán)節(jié)4、積分環(huán)節(jié)微分方程:傳遞函數(shù):R(S)C(S)方框圖：

單位階躍響應(yīng)：例:運(yùn)算放大器ur(t)uc(t)時(shí)間常數(shù)r(t)t0c(t)1Tc(t)r(t)-∞++RC例:直流伺服電機(jī)+-M反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)傳遞函數(shù)及典型環(huán)節(jié)5、二階振蕩環(huán)節(jié)微分方程:傳遞函數(shù):單位階躍響應(yīng)：時(shí)間常數(shù)方框圖：

阻尼比無(wú)阻尼自由振蕩頻率R(S)C(S)ζ

單位階躍響應(yīng)曲線1r(t)r(t)t0c(t)c(t)ζ振蕩環(huán)節(jié)實(shí)例:彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)彈簧系數(shù)km阻尼系數(shù)cf(t)y(t)振蕩環(huán)節(jié)實(shí)例:電樞控制直流電機(jī)

TfiJD振蕩環(huán)節(jié)實(shí)例:RLC電路L+-CRi輸入量輸出量（1）不同物理性質(zhì)的系統(tǒng)，可以有相同形式的傳遞函數(shù)。（2）同一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)選取不同的輸入量、輸出量時(shí)，就可能得到不同形式的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)及典型環(huán)節(jié)6、延時(shí)環(huán)節(jié)微分方程:傳遞函數(shù):R(S)C(S)方框圖：

作近似處理得1G(s)=1+τs+2!2s2+···

τ11+τs1r(t)t0c(t)1c(t)r(t)τ控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換

動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的另一種形式，它表示出系統(tǒng)中各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系及信號(hào)的傳遞過(guò)程。控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換一、建立動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的一般方法二、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換與化簡(jiǎn)

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換一、建立動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的一般方法R+-Ci(t)初始微分方程組

取拉氏變換--以電流作為輸出：

系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖可以將系統(tǒng)各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系用結(jié)構(gòu)圖的形式表示出來(lái)，將結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化后，可方便地求出任意兩變量之間的傳遞函數(shù)。

比較點(diǎn)信號(hào)線

方框

-引出點(diǎn)

繪制動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的一般步驟:

（1）確定系統(tǒng)中各元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。（2）繪出各環(huán)節(jié)的方框，方框中標(biāo)出其傳遞函數(shù)、輸入量和輸出量。（3）根據(jù)信號(hào)在系統(tǒng)中的流向，依次將各方框連接起來(lái)。控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換例:轉(zhuǎn)動(dòng)慣量-彈簧-阻尼系統(tǒng)D列微分方程組-+-+-+-+-+-++-+-例：低通濾波網(wǎng)絡(luò)-+-+-+-+-+-+控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換例：低通濾波網(wǎng)絡(luò)-+++++例：電樞控制式直流電機(jī)TfiJD-+控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換與化簡(jiǎn)

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖直觀地反映了系統(tǒng)內(nèi)部各變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。將復(fù)雜的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行化簡(jiǎn)可求出傳遞函數(shù)。1、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換等效變換：被變換部分的輸入量和輸出量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，在變換前后保持不變。(1)串聯(lián)R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)ni=1G(s)=ΠGi(s)n個(gè)環(huán)節(jié)的并聯(lián)

Σni=1G

(s)=Gi(s)(2)并聯(lián)G1(s)+G2(s)R(s)C(s)++G2(s)R(s)C(s)G1(s)E(s)=R(s)B(s)+–=R(s)E(s)G(s)H(s)+–1±G(s)H(s)R(s)E(s)=（3）反饋G(s)1±G(s)H(s)C(s)R(s)反饋環(huán)節(jié)的連接等效變換：

根據(jù)框圖得：等效R(s)C(s)1±G(s)H(s)G(s)=C

(s)=E(s)G(s)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換G(s)C(s)H(s)R(s)E(s)B(s)±+控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換(4)比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動(dòng)1)

相鄰比較點(diǎn)之間的位置交換不改變數(shù)學(xué)關(guān)系cb±aa±b±c±bca±c±b±a±2）比較點(diǎn)的移動(dòng)R(s)C(s)G(s)±F(s)前移F(s)G(s)C(s)±1G(s)R(s)C(s)=R(s)G(s)±F(s)

后移F(s)R(s)G(s)C(s)±C(s)=[R(s)±F(s)]G(s)

R(s)G(s)C(s)F(s)±G(s)3)引出點(diǎn)相對(duì)方框的移動(dòng)C(s)R(s)C(s)G(s)前移G(s)C(s)R(s)C(s)G(s)R(s)R(s)C(s)G(s)后移R(s)C(s)G(s)R(s)G(s)1比較點(diǎn)與引出點(diǎn)之間盡量不要交換，容易出錯(cuò)！控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換前移a例化簡(jiǎn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，求傳遞函數(shù)

先移動(dòng)引出點(diǎn)和比較點(diǎn)，消除交叉連接，再進(jìn)行等效變換，最后求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：G1(s)G2(s)G3(s)G2(S)H(s)_-+R(s)C(s)aG1(s)G2(s)G3(s)H(s)__+R(s)C(s)a比較點(diǎn)與引出點(diǎn)之間盡量不要交換，容易出錯(cuò)！交換比較點(diǎn)G1(s)G2(s)G3(s)G2(S)H(s)_-+R(s)C(s)a等效變換后系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖G1G2+G311+G2H-R(s)C(s)例化簡(jiǎn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，求傳遞函數(shù)

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換解：前移引出點(diǎn)aG1G2G3H1H3H2_-C(s)R(s)-G4aG1G2G3H1H3H2_-C(s)R(s)-G41/G41、只有一條前向通道傳遞。2、反饋環(huán)節(jié)的回路通道間有公共交叉部分。系統(tǒng)傳遞函數(shù)=前向通道傳遞函數(shù)之積1+各反饋回路開環(huán)傳遞函數(shù)之和例化簡(jiǎn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，求傳遞函數(shù)

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換解：1）前移引出點(diǎn)a-+-+-+a-+-+-+ab2）引出點(diǎn)b前移至引出點(diǎn)a點(diǎn)前-+-+ab+++---R11R12)s(C1C2s1C1s所有三三互不接觸回路的傳遞函數(shù)乘積之和。

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換梅遜公式:回路傳遞函數(shù):回路內(nèi)前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)的乘積。△—特征式第k條前向通道的傳遞函數(shù)。將△中與第k條前向通道相接觸的回路所在項(xiàng)去掉之后的剩余部分，稱為余子式。各回路傳遞函數(shù)之和。兩兩互不接觸回路的傳遞函數(shù)乘積之和。G1G2G3H1G4H2___C(s)+R(s)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換例：求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解：系統(tǒng)有5個(gè)回路，各回路的傳遞函數(shù)分別為L(zhǎng)1L2L3L4L5L1=–G1G2H1L2=–G2G3H2L3=–G1G2G3L4=–G1G4L5=–G4H2P1=G1G2G3P2=G1G4Δ1=1Δ2=1-+-+-+控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換例：求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)L1L2L3解：系統(tǒng)有3個(gè)回路，各回路的傳遞函數(shù)分別為Δ1=1控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換例：求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)L1L2L3L4C(s)G1G2G3H1G4G5-+H2G7G6-++++R(s)解:系統(tǒng)有三條前向通道,4個(gè)回路,各回路的傳遞函數(shù)分別為L(zhǎng)1L2L3H1_+++G1+C(s)R(s)G3G2例求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解:

L1=G3H1L2=–G1H1L3=–G1G2P1=G1G2Δ1=1–

G3H1Δ=1+G1G2+G1H1–G3H1R(s)C(s)1+G1G2+G1H1–G3H1G1G2(1–

G3H1)=控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一、系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)二、系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)三、系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一、系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)_H(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)+D(s)閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)

開環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)反饋量與偏差信號(hào)的比值E(s)B(s)Gk(s)=E(s)B(s)