大物上屆講課01-3圓周運(yùn)動(dòng)新

圓周運(yùn)動(dòng)在人類社會(huì)活動(dòng)里工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)實(shí)踐中、科學(xué)研究乃至于在人們?nèi)粘Ｉ顚?shí)際中，物體沿曲線運(yùn)行（或圓周運(yùn)動(dòng)）的情況往往要比物體作直線運(yùn)動(dòng)來(lái)得廣泛和普遍。小到分子原子繞核運(yùn)動(dòng)，大至宇宙天體中星球的運(yùn)轉(zhuǎn)，無(wú)所不及，無(wú)處不在。.·oω··曲線運(yùn)動(dòng)的特殊情況：圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)變速圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)（正確理解為勻速率）變速圓周運(yùn)動(dòng)在研究圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)采用的坐標(biāo)參考系是平面極坐標(biāo)系。因?yàn)樽鲌A周運(yùn)動(dòng)的物體其運(yùn)動(dòng)速度的量值可以保持不變，但是物體的運(yùn)動(dòng)方向時(shí)刻在變。作圓周運(yùn)動(dòng)的物體其運(yùn)動(dòng)速度的量值和運(yùn)動(dòng)方向時(shí)刻在變。0xyωA作圓周運(yùn)動(dòng)小球A的位置由矢徑r和矢徑r與x坐標(biāo)的夾角θ確定。（極坐標(biāo)）二維笛卡爾坐標(biāo)和平面極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系：ωωx=cossintty=rrrθ§1-3

圓周運(yùn)動(dòng)1.

角位置、角位移（角量）：2.

角速度ω:(rad/s)平均角速度：瞬時(shí)角速度：一、圓周運(yùn)動(dòng)中的幾個(gè)重要物理量：θ

角位置角位移θ△：：θAtrBθ△t△＋t0x.ωt△θ=ω△θ=ddtt△θ=ω△lim△t03.

速度和角速度的關(guān)系（線量和角量）：△rSθ△=t△S=v△lim△t0t△θ△lim△t0r=rω量值的關(guān)系rω=v二、勻速（勻速率）圓周運(yùn)動(dòng)：定義：作圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)速度的大小不變但是它的運(yùn)動(dòng)速度的方向在不斷的變化。3.

速度和角速度的關(guān)系（線量和角量）：△rSθ△=t△S=v△lim△t0t△θ△lim△t0r=rω量值的關(guān)系=×rv方向的關(guān)系ω=×rvωωω·0rv注意：物體轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)向不等于角速度矢量的方向體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)速度的方向變化的物理量：向心加速度an嚴(yán)格地說(shuō)：勻速率圓周運(yùn)動(dòng)是一種變速曲線運(yùn)動(dòng)，描述運(yùn)動(dòng)速度的方向變化的物理量：向心加速度an，始終指向圓心，它只改變質(zhì)點(diǎn)的速度方向，而不改變速度的大小。0·vωAan向心加速度an量值的推導(dǎo)：a=△vt=△lim△t0dvtdvA0r·AωvB△θvBvA△v局部放大圖當(dāng)△t0

時(shí)（即△θ0（

則△v趨于和vA垂直，在極限的情況下，點(diǎn)A的加速度a

垂直于vA而且指向圓心0，此加速度稱向心加速度用an表示。a=dvtd所組成的三角形，又有∵△A0B

≌由

△

vA、

vB、v

vA＝

vB＝

v∴△v＝vABr兩邊除以△t得：根據(jù)相似三角形的比例關(guān)系：vA0r·AωvB△θvBvA△v局部放大圖B△θ△v＝vABr△t△t···a=△vt△lim△t0=lim△t0vABr△t···當(dāng)△t0

時(shí)（即△θ0（AB＝AB△tAB=lim△t0vr···=lim△t0vABr△t=vr2=vr2an=rω2三.

變速圓周運(yùn)動(dòng)：作圓周運(yùn)動(dòng)的物體其運(yùn)動(dòng)速度的量值和運(yùn)動(dòng)方向時(shí)刻在變。vA0r·AωvB△θBvBvA△v局部放大圖△θ假設(shè)：＞vBvA在vB上截取vA的長(zhǎng)度：△vn△vt△v＋＝△vn△vta=△vt=△lim△t0△t0lim△t＋△vn△vt=△vt+△lim△t0△t0lim△t△vtna＋=anat勻變速圓周運(yùn)動(dòng)總加速度的矢量式an法向加速度at切向加速度a＋=anat勻變速圓周運(yùn)動(dòng)總加速度的矢量式結(jié)論在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，任意時(shí)刻的瞬時(shí)加速度可用法向加速度an

和切向加速度at

來(lái)表示。en和et分別表示法向基本單位矢量、切向基本單位矢量法向加速度Rvne2a=nRv2a=n表述速度方向改變快慢的物理量方向指向圓心切向加速度vda=ttedtvda=tdt表述速度大小改變快慢的物理量沿切線方向a＋=anatRvne2=vd＋tedt勻變速圓周運(yùn)動(dòng)總加速度的量值aanat=22+=Rv22＋vddt2勻變速圓周運(yùn)動(dòng)總加速度的方向=aarctgatana·0anPataωθ·0anPataωa與an的夾角=θarctganata與at的夾角即a與v的夾角。歸納由于速度v量值的變化所引起的。1.切向加速度的產(chǎn)生是vda=ttedt由于速度v方向的變化所引起的。2.法向加速度的產(chǎn)生是Rvne2a=n3.物體在勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中速度大小不變，Rv2只有速度方向的改變，所以加速度為a＋=anatRvne2=vd＋tedt4.一般來(lái)說(shuō)總加速度a的方向并不指向圓周運(yùn)動(dòng)的圓心。4.一般來(lái)說(shuō)總加速度a的方向并不指向圓周運(yùn)動(dòng)的圓心。taθvanaaaω總加速度a與

v成鈍角tdd0物體作減速運(yùn)動(dòng)v＜則at與v的方向相反總加速度a與

v成銳角tdd0物體作加速運(yùn)動(dòng)v＞則at與v的方向相同taθvnaaaω5.對(duì)于物體作任意曲線運(yùn)動(dòng)：vωρ05.對(duì)于物體作任意曲線運(yùn)動(dòng)：vωρ0naataa=anatv2=vddtρ曲率半徑曲率半徑例如：地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的情況：地球太陽(yáng)vvvvvvvv近日點(diǎn)遠(yuǎn)日點(diǎn)aaaaaaaaθθ＜90°加速區(qū)θθ＞90°減速區(qū)四.

角加速度、勻變角加速度:角加速度的符號(hào)：α

單位：rad/s2平均角加速度：瞬時(shí)角加速度：t△ω=α△dωt△ω=α△=lim△t0dt=dθdt22v=ω△rv=ωr△αt△v=a△=lim△t0t△ω=△lim△t0rrdωdt=rt變速圓周運(yùn)動(dòng)中加速度的角量和線量的關(guān)系:at=ara2=vnr=rω()2r=rω2a2=vnr=rω2圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程勻變速圓周運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)t＝ωω0+a＝θ0θ+ω0t+12ta2＝ωω0+222a－θ0θ(）v=v0+atxt1=v0+at2x0+2v=v0+ax222(－x0）勻速圓周運(yùn)動(dòng)θ0tωθ0－＝這些規(guī)律公式都非常重要必須牢記，以便應(yīng)用！例題：在半徑為R的圓周上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其速率與時(shí)間關(guān)系v=ct

（式中c為常數(shù)），則從t=0到t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)走過(guò)的路程：

S（t）=__________t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的切向加速度：at=___________t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的法向加速度：an=___________練習(xí)冊(cè)P29填充題1提示：用運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類方法求解：v=dSdtv=dSdt兩邊積分可求得S（t）at=dvdt用可求得atan=vR用可求an22ct31ct3ctR422(1)質(zhì)點(diǎn)在

t時(shí)刻的速率(2)

質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度的(3)當(dāng)t為何值時(shí)，切向加速度和法向加速度相等例題：一質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，其路程與時(shí)間的關(guān)系為,12b20vttS=－v0

和b

都是正的常數(shù)求：大小為多少？總加速度的大小和方向？分析：從題意可知這是勻變速圓周運(yùn)動(dòng)的題目，要用到前面所學(xué)的知識(shí)。(1)質(zhì)點(diǎn)在

t時(shí)刻的速率：=v=dSdt12b20vtt－′=0vt－b(2)

質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度的大小為多少？總加速度的大小和方向？avaanatωat=vddt′=0vt－b=－b=anv2R=0vt－b2Raanat=22+勻變速圓周運(yùn)動(dòng)總加速度的量值=2＋20vt－bR()b－2勻變速圓周運(yùn)動(dòng)總加速度的方向=αarctganat=arctg20vt－bR()b－(3)當(dāng)t為何值時(shí)，切向加速度和法向加速度相等？at=vddt′=0vt－b=－b=anv2R=0vt－b2R=根據(jù)題意：得到：atanb=0vt－b2R解得：b0vt－bR=(）例題：已知質(zhì)點(diǎn)繞半徑為0.2米作圓周運(yùn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是：S＝2t2＋3t＋1（SI制）求：（1）

前2秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速率

（2）質(zhì)點(diǎn)在第2秒末的瞬時(shí)速率

（3）質(zhì)點(diǎn)在第2秒末的切向加速度、法向加速度和總加速度。(練習(xí)冊(cè)P4計(jì)算題3)（本題完）例題：已知質(zhì)點(diǎn)繞半徑為0.2米作圓周運(yùn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是：S＝2t2＋3t＋1（SI制）求：（1）

前2秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速率

（2）質(zhì)點(diǎn)在第2秒末的瞬時(shí)速率

（3）質(zhì)點(diǎn)在第2秒末的切向加速度、法向加速度和總加速度。(練習(xí)冊(cè)P4計(jì)算題3)解：t△S=v△（1）

前2秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速率=2×22＋3×12＋2－0（）－1=142=7（m/s）（2）質(zhì)點(diǎn)在第2秒末的瞬時(shí)速率tdS=vd=2t＋3t＋12′=4t＋3t

=2=11（m/s）（3）質(zhì)點(diǎn)在第2秒末的切向加速度（3）質(zhì)點(diǎn)在第2秒末的切向加速度at=vddt=4t＋3′=4（m/s2）=anv2R法向加速度=11（）20.2=605（m/s2）總加速度aanat=22+=42+6052=605.013（m/s2）例題：質(zhì)量為2kg的物體，t＝0從某點(diǎn)出發(fā)，作半徑為3米的圓周運(yùn)動(dòng)，已知角位置的表達(dá)式是＝0.5π，求：（1）1秒時(shí)的速率、切向加速度、法向加速度（2）從開始到1秒該物體經(jīng)過(guò)的路程（3）作用于該物體上的合力所作的功。練習(xí)冊(cè)P24填充題3θt2例題：質(zhì)量為2kg的物體，t＝0從某點(diǎn)出發(fā)，作半徑為3米的圓周運(yùn)動(dòng)，已知角位置的表達(dá)式是＝0.5

，求：（1）1秒時(shí)的速率、切向加速度、法向加速度（2）從開始到1秒該物體經(jīng)過(guò)的路程（3）作用于該物體上的合力所作的功。練習(xí)冊(cè)P24填充題3θt2π解：由θ=ddtωv=rω=0.5πt2′=πt=3πt×t

=1=3π（m/s）（1）1秒時(shí)的速率切向加速度at=vddt=3tπ′=π3（m/s2）=anv2R法向加速度=t

=1=3πt（）233π2（m/s2）（2）從開始到1秒該物體經(jīng)過(guò)的路程例題：質(zhì)量為2kg的物體，t＝0從某點(diǎn)出發(fā)，作半徑為3米的圓周運(yùn)動(dòng)，已知角位置的表達(dá)式是＝0.5

，求：（1）1秒時(shí)的速率、切向加速度、法向加速度（2）從開始到1秒該物體經(jīng)過(guò)的路程（3）作用于該物體上的合力所作的功。練習(xí)冊(cè)P24填充題3θt2π（2）從開始到1秒該物體經(jīng)過(guò)的路程:解：由θ=RS=3=0.5πt2×t

=11.5π（m）（3）作用于該物體上的合力所作的功：由動(dòng)能定理：vW=21mv2－21m20=π=21×2×329π2（J）例題：對(duì)于沿曲線運(yùn)動(dòng)的物體，以下說(shuō)法中哪一個(gè)是正確的：（A）切向加速度必不為零。（B）法向加速度必不為零。（D）若物體作勻速率運(yùn)動(dòng)，其總加速度必為零?！羷蛩賵A周at＝0×≠0×有an（C）由于速度沿切線方向，法向分速度必為零，因此法向加速度必為零。（D）若物體的加速度為恒矢量，則它一定作勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)。×不一定是圓周運(yùn)動(dòng)例題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：求：任一時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度。（SI制）x＝2ty＝42－t解：由運(yùn)動(dòng)方程可求得質(zhì)點(diǎn)速度的x和y分量(m/s)vx＝dt＝2dxvy＝dt＝2dy－t(m/s)v=vx2vy2+=2t2+2－t2=+212同樣可求得質(zhì)點(diǎn)加速度的x和y分量avd=td∵(1)avd=tdxx=0avd=tdyy=－2（m/s2）∴

加速度的量值為：a=ax2ay2+avd=tdxx=0avd=tdyy=－2=2（m/s2）(2)

對(duì)（1）式求導(dǎo)得切向加速度v=t+212(1)at=vddt(3)=t+212′=2t+12t由（2）式和（3）式可得法向加速度a=an2at2-=2t+12（m/s2）體會(huì)：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作一般曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，用公式an＝求法向加速度是比較麻煩的，因?yàn)榍拾霃讲蝗菀子?jì)算。但是先求出質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和總加速度再利用公式：求法向加速度就非常方便了。v2ρa(bǔ)=an2at2-例題：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在

r＝0.10

米的圓周上運(yùn)動(dòng)，其角位置

求:（1）2

秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)的切向加速度

法向加速度和總的加速度θ3＝＋24t（單位red和s）（2）切向加速度為總加速度一半時(shí)，

值為多少？θ分析：此題可以用角量和線量的關(guān)系來(lái)做。at=ara2=vnr=rω2dωα=dt=dθdt22其中=2＋4t3′′=t24t=2=48（red/s2）切向加速度：at=ar=0.10×48=4.8（m/s2）法向加速度：a2=vnr=rω2法向加速度：θ=ddtω其中=2＋4t3′=t12t=2=248an=rω2=0.10×48（m/s2）2=230.4總加速度：aanat=22+4.8（m/s2）=22+230.4=230.45（2）切向加速度為總加速度一半時(shí)，

值為多少？θaanat=22+t21aan=2t32等式兩邊平方后：=3×（r24t2×）r12t×2（）2224rt（）32=r212t2（）424rt（）32=r212t2（）4t3=123=0.29（s）=2＋4t3θ＋=2＋＋4×0.29=3.15（red）（2）切向加速度為總加速度一半時(shí)，

值為多少？θ如果再問(wèn)t＝？時(shí)，切向加速度和法向加速度的量值相等。at=ara2=vnr=rω2==r24t×r12t×2（）2t=0.55（s）（本題完）例題：一架吊扇，葉片長(zhǎng)R＝0.50米，以n＝180

轉(zhuǎn)/分的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，關(guān)電后吊扇均勻減速，經(jīng)過(guò)1.5分鐘后停止轉(zhuǎn)動(dòng)。求：（1）吊扇原來(lái)的角速度ω0和葉尖點(diǎn)的線速度v0（2）關(guān)電后，葉尖的角加速度切向加速度、法向加速度和t＝80秒時(shí)的角速度。分析：此題用勻變速圓周運(yùn)動(dòng)的方程公式來(lái)做。（1）吊扇原來(lái)的角速度ω0ω＝n02π60＝2π×180＝18.8（red/s）＝v0Rω0＝0.50×18.8＝9.4(m/s)（2）關(guān)電后，葉尖的角加速度：（2）關(guān)電后，葉尖的角加速度:t＝ωω0+a由:aω0＝ω－t△＝0－18.81.5×60＝－0.209（red/s2）切向加速度at=aR0.50×（－0.209）－0.105==（m/s2）負(fù)號(hào)表示與速度v

的方向相反法向加速度an=rω2（2.08）×0.502.16=2方向指向吊扇中心=（m/s2）t＝80秒時(shí)的角速度：t＝ωω0+a由:=18.8－0.209×80=2.08（red/s）（完）例題：如圖所示為一曲柄連桿機(jī)構(gòu)，曲柄OA長(zhǎng)為L(zhǎng)，連桿長(zhǎng)為l。當(dāng)曲柄以勻角速度ω繞O旋轉(zhuǎn)。試求：活塞的運(yùn)動(dòng)方程φAQPrlo.Bω活塞連桿曲柄xφxφrlsinrt=φω2cos=+xrsinrl22φφ=+sinl2tω121rl()2...2sinrl22tω∴可以略去級(jí)數(shù)展開后的高階小量13.5rl∵=φAQPrlo.Bω解：2cos=+rsinrl22tωtω(1)sinl2tω121rl()22sinrl22tω?(2)2cos=+rsinrl22tωtωx(1)sinl2tω121rl()22sinrl22tω?(2)=sin2tω1cos2tω()21(3)由式(1)、(2)、(3)得到：l141rl()2cos=rtωxcos2tω+41rl()2ll141rl()2cos=rtωxcos2tω+41rl()2l=l141rl()2xx′令：cosrtωcos2tω+