有限參數(shù)模型

關(guān)于有限參數(shù)模型第1頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

特征：越接近0，阻尼就越大，單擺穩(wěn)定的越快；越接近，阻尼越小，單擺振蕩得越劇烈。只要,單擺總能穩(wěn)定下來(lái)，這時(shí)系統(tǒng)(1.1)被稱(chēng)為是穩(wěn)定的。當(dāng)時(shí)，單擺無(wú)法穩(wěn)定下來(lái)，這時(shí)稱(chēng)系統(tǒng)(1.1)是非穩(wěn)定的。第2頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

第3頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

第4頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

第5頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

二.自回歸模型的定義與分類(lèi)定義1.1稱(chēng)以下模型為p階自回歸模型AutoregressionModel),簡(jiǎn)記為

(1.2)式中是白噪聲序列，而且，對(duì)一切s<t成立.稱(chēng)為自回歸系數(shù)，滿(mǎn)足(1.2)式的時(shí)間序列被稱(chēng)為p階自回歸序列。第6頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

稱(chēng)多項(xiàng)式為(1.2)式的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式。定義1.2如果AR(p)模型對(duì)應(yīng)的算子方程的根全部在單位圓外，稱(chēng)該模型是平穩(wěn)的，否則成為是非平穩(wěn)的，或者稱(chēng)為廣義的AR(p)模型。注：相應(yīng)的隨機(jī)差分方程的特征多項(xiàng)式

的根全部要在單位圓之內(nèi)第7頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

中心化：如果平穩(wěn)序列滿(mǎn)足(1.2)式，且，則令，得到則稱(chēng)為平穩(wěn)中心化的AR(p)序列。第8頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

定義1.3設(shè)為零均值平穩(wěn)序列，若滿(mǎn)足如下的p階隨機(jī)差分方程且滿(mǎn)足如下條件(1)為白噪聲序列(2)且,t<s稱(chēng)模型(1.3)為p階自回歸模型，記為AR(p),非負(fù)整數(shù)p稱(chēng)為自回歸階數(shù)，實(shí)系數(shù)稱(chēng)為自回歸序列,滿(mǎn)足模型(1.3)的序列稱(chēng)為AR(p)序列。第9頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

注：AR(p)模型

與多元線(xiàn)性回歸模型

(1.4)的區(qū)別：在回歸模型(1.4)中，描述的序列是相互獨(dú)立的，它們都是同一總體y的不同次獨(dú)立隨機(jī)變量-----靜態(tài)模型。模型(1.3)是對(duì)自身過(guò)去的p個(gè)時(shí)間的回歸------動(dòng)態(tài)模型。第10頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

三平穩(wěn)AR(p)模型的平穩(wěn)解1.AR(1)的平穩(wěn)解(1.5)第一種算法：反復(fù)的迭代運(yùn)算，得到驗(yàn)證：(1.5)的通解：(1.6)第11頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

注：不難看到通解和平穩(wěn)解之間只差一個(gè)無(wú)窮小量，即系統(tǒng)(1.5)的任何解都隨著時(shí)間的推移穩(wěn)定與平穩(wěn)解(1.6)，或者說(shuō)由(1.6)定義的平穩(wěn)序列描述的是在平穩(wěn)狀態(tài)下單擺的運(yùn)動(dòng)情況，這時(shí)只有白噪聲和a在起作用。從

可知,當(dāng)固定時(shí),的根越接近,單擺的穩(wěn)定性越差，越大，單擺的穩(wěn)定性越好。

第12頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

第二種算法：由差分方程求解(1.5),即第13頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

2.AR(P)模型的平穩(wěn)解

(1.7)令，其中由恒等式?jīng)Q定。于是(1.7)的解可表示為

(1.8)(1.8)式又被稱(chēng)為(1.7)式的傳遞形式。稱(chēng)為格林函數(shù)或Wold系數(shù)。第14頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第15頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

注：(1)傳遞形式的物理意義：若將(1.8)看成一個(gè)系統(tǒng)，那么(1.8)表明可由既往的白噪聲(系統(tǒng)輸入)加權(quán)求和生成,是關(guān)于的權(quán)重，這樣的系統(tǒng)稱(chēng)為物理可實(shí)現(xiàn)的。(2)傳遞系數(shù)的遞推公式：第16頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

定義1.4：(1)稱(chēng)系統(tǒng)(1.8)是穩(wěn)定的，如果存在著常數(shù)c>0，使得對(duì)所有正整數(shù)j,有

(2)稱(chēng)系統(tǒng)(1.8)是漸近穩(wěn)定的，如果當(dāng)時(shí)，有

(3)稱(chēng)系統(tǒng)(1.8)是一致漸近穩(wěn)定的，如果存在著常數(shù)，使得對(duì)所有正整數(shù)j,有第17頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

定理1.1對(duì)于AR(P)模型所表示的系統(tǒng)是一致漸近穩(wěn)定的，即存在正常數(shù)，使得定理1.2：(1)由(1.8)定義的時(shí)間序列是AR(p)模型(1.3)的唯一平穩(wěn)解；(2)AR(p)模型的通解有如下形式

其中是多項(xiàng)式的k個(gè)互異根，r(j)是的重?cái)?shù)，是隨機(jī)變量。第18頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

注：由定理1.2，AR(p)模型的通解和平穩(wěn)解之差滿(mǎn)足

(1.9)其中是中的數(shù).AR(p)模型的任何解都隨著時(shí)間的推移以負(fù)指數(shù)階的速度接近平穩(wěn)解(1.8)，而且越大趨于平穩(wěn)解越快，或者說(shuō)穩(wěn)定下來(lái)得越快。第19頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

利用白噪聲和AR(p)模型的自回歸系數(shù)產(chǎn)生AR(p)序列的方法：第一步：取初值

第二步：計(jì)算第三步：取則視為所需要的AR(p)序列,一般取,當(dāng)較小時(shí)，m要適當(dāng)放大。第20頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例：生成序列100個(gè)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)。其中，m=50,是正態(tài)白噪聲，標(biāo)準(zhǔn)差為1.2。(sample11)

第21頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

四平穩(wěn)AR(p)序列的自協(xié)方差函數(shù)1.自協(xié)方差函數(shù)的表述形式第一種：設(shè)是AR(p)模型的平穩(wěn)解，由AR(p)模型的傳遞形式利用線(xiàn)性平穩(wěn)序列的性質(zhì)可知它有有零均值和自協(xié)方差函數(shù)第22頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四短記憶性第23頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

第二種：當(dāng)k=0時(shí)，

當(dāng)時(shí)，(1.10)使用后移算子B,可得，第24頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

2尤爾--沃克(Yule-Walker)方程

取k=1,2,…,p,由自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，由公式(1.10),有如下方程組：第25頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

引入記號(hào)則方程組化簡(jiǎn)為：其中，稱(chēng)為托普尼茲(Toepletz)矩陣。對(duì)于平穩(wěn)AR(p)序列而言，總是正定的，于是(1.11)第26頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

3AR(p)模型白噪聲的方差，回歸系數(shù)和之間的關(guān)系(1)白噪聲方差的兩種表述形式(1.12)(2)自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)具有拖尾性，即存在正常數(shù)，有第27頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

(3)三者的關(guān)系模型參數(shù)被自協(xié)方差值唯一決定；(公式1.11,1.12)被所唯一決定；被所唯一決定。(公式1.10)第28頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

五AR模型的平穩(wěn)域和允許域1.AR模型的平穩(wěn)域定義1.5對(duì)于AR(P)模型，使的根全部在單位圓外的參數(shù)向量的全體構(gòu)成一個(gè)p為向量空間上的子集，記為

稱(chēng)為AR(P)模型的平穩(wěn)域。第29頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

平穩(wěn)性的檢驗(yàn)：(1)模型階數(shù)較低p=1,2，可直接計(jì)算例：求AR(1)的平穩(wěn)域；第30頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

(2)高階模型參數(shù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)---Jury準(zhǔn)則方法一通過(guò)求解高次代數(shù)方程，判定其根是否在單位圓外。該方法較難實(shí)現(xiàn)。方法二使用裘萊(Jury)準(zhǔn)則裘萊(Jury)準(zhǔn)則設(shè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式則的根全在單位圓內(nèi)的充要條件是第31頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

以及這n-1個(gè)關(guān)系式全部成立。其中，是

的系數(shù)，依次由下列方陣求得若求到相應(yīng)于的一步，k只能取0,1,2,3,那么最后一步為第32頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

平穩(wěn)性檢驗(yàn)?zāi)康模簷z驗(yàn)的根全在單位圓外。令Z=1/B，得多項(xiàng)式則的根全在單位圓外當(dāng)且僅當(dāng)F(Z)的根全在單位圓內(nèi)。故在Jury準(zhǔn)則中取第33頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例5.2試證如下零均值平穩(wěn)序列具有平穩(wěn)性。第34頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

2.AR模型的允許域使得AR(p)序列落入平穩(wěn)域的的全體構(gòu)成的區(qū)域，稱(chēng)為的允許域。例如：AR(1)模型平穩(wěn)域?yàn)樵试S域?yàn)榈?5頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

六偏相關(guān)函數(shù)1偏相關(guān)函數(shù)的定義例：設(shè)為零均值平穩(wěn)序列，考察由

對(duì)進(jìn)行線(xiàn)性預(yù)測(cè)。這里采用線(xiàn)性最小方差預(yù)測(cè)。即求下列極值問(wèn)題第36頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

經(jīng)計(jì)算得到：或?qū)憺?1.13)亦稱(chēng)(1.13)為Yule-Walker方程。定義1.6如果正定，稱(chēng)為或的n階偏相關(guān)函數(shù)。第37頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

2偏相關(guān)函數(shù)的概率定義

令

記，定理：設(shè)為的偏相關(guān)函數(shù)，則(1.14)第38頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

概率定義：與平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)

作比較，(1.14)相當(dāng)于條件相關(guān)函數(shù)。第39頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

3偏相關(guān)函數(shù)的遞推算法定理1.3設(shè)為平穩(wěn)序列，則它的偏相關(guān)函數(shù)滿(mǎn)足如下遞推公式第40頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

算法流程圖

第41頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

定理1.4零均值平穩(wěn)序列為AR(P)序列的充分必要條件是的偏相關(guān)函數(shù)是p步截尾的。

第42頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第43頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第44頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例：考慮AR(2)模型

(1)差分算子方程：

(2)平穩(wěn)域：第45頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

(3)平穩(wěn)解的相關(guān)系數(shù)滿(mǎn)足

(4)允許域：具體考慮序列第46頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

具體考慮序列第47頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第48頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第49頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第50頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第51頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

第二節(jié)滑動(dòng)平均模型一滑動(dòng)平均模型的定義定義2.1設(shè)為一白噪聲序列，稱(chēng)以下模型為q階滑動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記為MA(q)模型（MovingAverage),(2.1)稱(chēng)序列為q階滑動(dòng)平均序列，簡(jiǎn)稱(chēng)MA(q)序列。

MA(q)序列是平穩(wěn)線(xiàn)性序列。第52頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

二MA(q)序列的自協(xié)方差函數(shù)

(2.2)第53頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

引理2.1一個(gè)自協(xié)方差函數(shù)列成為某個(gè)MA(q)序列的自協(xié)方差函數(shù)列的充分必要條件是是q步截尾的。定理2.1若自協(xié)方差函數(shù)列q步截尾，而且滿(mǎn)足

那么，將替代(2.2)左邊各量，則必存在唯一的實(shí)數(shù)解,而且保證的根都在單位圓外。第54頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

三可逆的MA(q)模型定義2.2：若在MA(q)模型(2.1)中，其系數(shù)多項(xiàng)式

的根全部在單位圓外，則稱(chēng)這樣的MA模型為可逆的MA(q)模型，相應(yīng)的序列被稱(chēng)為可逆的MA(q)序列。第55頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

如果MA(q)模型可逆，則有(2.3)其中，且存在正常數(shù),使得，

我們稱(chēng)(2.3)為(2.1)的逆轉(zhuǎn)形式.第56頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例2.1：考慮兩MA(1)序列其中，為白噪聲序列。經(jīng)計(jì)算兩序列具有相同的自相關(guān)函數(shù)：更一般地，對(duì)任何有相同自相關(guān)。兩個(gè)相同的自相關(guān)過(guò)程之間，僅且僅有一個(gè)過(guò)程是可逆的。為了唯一性，我們將選擇的模型滿(mǎn)足可逆性。第57頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

定理2.2假定滿(mǎn)足(2.1)，而且其系數(shù)多項(xiàng)式的根都不在單位圓上，則一定存在實(shí)數(shù)和白噪聲序列使得

而且此式的系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外。注：一個(gè)MA序列可以滿(mǎn)足不同的兩個(gè)（或者多個(gè)）MA模型。第58頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第59頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第60頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

推論2.2：設(shè)為平穩(wěn)序列，且，又設(shè)為其自協(xié)方差函數(shù)列，則有以下事實(shí)，(1)若為MA(q)序列，那么必在q后截尾。(2)若在q后截尾，而且滿(mǎn)足

（2.3）那么必滿(mǎn)足某一可逆的MA(q)模型。注：決定一個(gè)MA序列是否為可逆的MA序列取決于

是否成立。第61頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第62頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例2.1：序列滿(mǎn)足其中，為正態(tài)白噪聲序列，經(jīng)計(jì)算其協(xié)方差函數(shù)：考慮：第63頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

當(dāng)時(shí)，為可逆的MA(1)模型。其逆轉(zhuǎn)形式：

當(dāng)時(shí)，為不可逆的MA(1)模型?？紤]白噪聲作相應(yīng)的改變：則為可逆的MA(1)模型。第64頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

四.MA模型的可逆域與允許域定義2.3：MA(q)模型(2.1)式的系數(shù)參量矢量所組成的多項(xiàng)式對(duì)一切復(fù)數(shù)，則稱(chēng)滿(mǎn)足上述條件的全體矢量為MA(q)模型的可逆域。定義2.4:MA(q)模型的系數(shù)參量矢量與序列自相關(guān)函數(shù)滿(mǎn)足依賴(lài)關(guān)系(2.2)式，只有當(dāng)能表達(dá)成(2.2)式形式時(shí)，才可成為某一MA(q)序列的前q個(gè)自相關(guān)函數(shù)值，于是我們稱(chēng)滿(mǎn)足這一性質(zhì)的全體構(gòu)成MA(q)的允許域。第65頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

五.MA(q)序列的偏相關(guān)函數(shù)定理2.3：為MA(q)序列，則的偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的。遞推計(jì)算方法同定理1.3第66頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例2.2：MA(1)序列其中，可逆域?yàn)椋耗孓D(zhuǎn)形式為：自相關(guān)函數(shù)為：允許域?yàn)椋旱?7頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

偏相關(guān)函數(shù)為第68頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

第69頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第70頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例2.2：MA(2)序列其中，算子多項(xiàng)式為：可逆域?yàn)椋耗孓D(zhuǎn)形式為：第71頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

自協(xié)方差函數(shù)第72頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

偏相關(guān)函數(shù)PACF是由的符號(hào)和量或等價(jià)于的根確定的承指數(shù)衰減或阻尼正弦波。第73頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第74頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第75頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第76頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第77頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第三節(jié)自回歸滑動(dòng)平均模型一.自回歸滑動(dòng)平均模型的定義定義3.1我們稱(chēng)以下模型為p階自回歸與q階滑動(dòng)平均混合模型，以后簡(jiǎn)記為ARMA(p,q)模型，即

(3.1)

式中為白噪聲序列，而且,對(duì)一切s<t成立，記

與沒(méi)有公共根。第78頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

定義3.2：當(dāng)和的根都在單位圓外時(shí)，我們稱(chēng)(3.1)式為平穩(wěn)可逆的ARMA(p,q)模型，相應(yīng)的解稱(chēng)為平穩(wěn)可逆的ARMA(p,q)序列。注：(1)當(dāng)平穩(wěn)序列的均值時(shí)，如果滿(mǎn)足(3.1)式，仍稱(chēng)為ARMA(p,q)序列.(2)(3.1)中，當(dāng)q=0時(shí)，為AR(p)序列；當(dāng)p=0時(shí)，為MA(q)序列。(3)使用后移算子B，則(3.1)簡(jiǎn)寫(xiě)為第79頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

二.ARMA(p,q)模型的傳遞形式與逆轉(zhuǎn)形式1.傳遞形式令，并記式中有恒等式?jīng)Q定。則ARMA(p,q)模型的傳遞形式為第80頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

2.ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)解及通解(1)平穩(wěn)解特點(diǎn)：(i)為平穩(wěn)線(xiàn)性序列；(ii)系數(shù)呈指數(shù)衰減，稱(chēng)為的Wold系數(shù)；第81頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第82頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第83頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

(2)通解滿(mǎn)足ARMA(p,q)模型的任何實(shí)值序列可寫(xiě)成如下形狀：其中，是平穩(wěn)解，為的全體互不相同的零點(diǎn)，有重?cái)?shù),隨機(jī)變量由，唯一決定。第84頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

ARMA(p,q)序列的產(chǎn)生：(i)由于故在t充分大后，就和平穩(wěn)解相近了。(ii)產(chǎn)生方法第一步：取初值以及第二步：對(duì)較大的m,令可視為所需要的ARMA(p,q)序列。第85頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例3.1：產(chǎn)生(sample15)的300個(gè)樣本，其中

第86頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

3.逆轉(zhuǎn)形式

令，并記式中由恒等式?jīng)Q定。則ARMA(p,q)模型的逆轉(zhuǎn)形式為第87頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

各種模型的轉(zhuǎn)換關(guān)系：AR(p)MA(無(wú)窮階)MA(q)AR(無(wú)窮階)ARMA(p,q)AR(無(wú)窮階)或MA(無(wú)窮階)第88頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

三.ARMA(p,q)序列的自協(xié)方差函數(shù)及特征1.自協(xié)方差函數(shù)其中，并規(guī)定，若j>q和，若j<0第89頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

2.自協(xié)方差函數(shù)與系數(shù)和白噪聲方差之間的關(guān)系(1)即，(3.2)第90頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

由(3.2)式，取k=q+1,q+2,…,q+p,得(3.3)若方程組系數(shù)可逆，可求自回歸系數(shù)向量第91頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

(2)令

為MA(q)序列，則的自協(xié)方差函數(shù)為

(3.4)可知通過(guò)和可計(jì)算。

第92頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

(3)由的定義知,為MA(q)序列，它的滑動(dòng)平均系數(shù)向量可由下述非線(xiàn)性方程組解出，(3.5)第93頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例3.2：給定平穩(wěn)序列的前5個(gè)自協(xié)方差函數(shù)利用這5個(gè)自協(xié)方差函數(shù)建立一個(gè)ARMA(2,2)模型。

第94頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第95頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

3ARMA(p,q)序列自相關(guān)函數(shù)的拖尾性ARMA(p,q)序列的自相關(guān)函數(shù)被負(fù)指數(shù)控制，即存在正常數(shù),使得

即ARMA(p,q)序列自相關(guān)函數(shù)是拖尾的。第96頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

四.ARMA(p,q)序列的偏相關(guān)函數(shù)定理3.1：為ARMA(p,q)序列，則它的偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的。遞推計(jì)算方法同定理1.3第97頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第98頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第99頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

五.ARMA(p,q)的平穩(wěn)域、可逆域和允許域

1.平穩(wěn)域ARMA(p,q)模型為平穩(wěn)的2.可逆域ARMA(p,q)模型為可逆的第100頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

3允許域

由于與相互一一對(duì)應(yīng)，為使得一個(gè)相關(guān)函數(shù)成為ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)域、可逆域中的某一組參數(shù)相對(duì)應(yīng)，并使得公式(3.3),(3.4),(3.5)成立，滿(mǎn)足上述條件的構(gòu)成ARMA(p,q)的允許域。第101頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例3.3：ARMA(1,1)模型平穩(wěn)可逆域：傳遞形式為：逆轉(zhuǎn)形式為：第102頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

協(xié)方差函數(shù)：(1)其中由所決定。(2)令表達(dá)了與的依賴(lài)關(guān)系。第103頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

允許域：

當(dāng)，當(dāng)，第104頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四總結(jié)：1、自協(xié)方差函數(shù)，自相關(guān)函數(shù)AR(p):第105頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四MA(q):第106頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

ARMA(p,q):(1)(2)(3)第107頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、偏相關(guān)函數(shù)

a.計(jì)算公式第108頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四b遞推公式第109頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四c.AR截尾

MA拖尾

ARMA拖尾第110頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

觀(guān)察sample20中序列x1,x2,x3，找出其特點(diǎn)。第111頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第四節(jié)求和模型一求和模型的定義及解的形式用平穩(wěn)的ARMA(p,q)序列的求和所得到的非平穩(wěn)時(shí)間序列，稱(chēng)為求和序列，它所滿(mǎn)足的模型，稱(chēng)為求和模型。第112頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

定義4.1設(shè)為隨機(jī)序列，若滿(mǎn)足下列條件：(1)對(duì)任意t，(2)存在正整數(shù)d,使得令為ARMA(p,q)序列，即滿(mǎn)足因此滿(mǎn)足

(4.1)則稱(chēng)(4.1)式為自回歸求和滑動(dòng)平均模型(Autoregressiveintegratedmovingaverage).記為ARIMA(p,d,q),相應(yīng)的序列被稱(chēng)為ARIMA(p,d,q)序列。第113頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例4.1設(shè)為ARIMA(1,1,0)序列，有如下表達(dá)式令，則而為AR(1)序列，即第114頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

X序列的圖形(sample2.4.1)第115頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

差分后(1-B)X，所得到的序列W第116頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

W的前15個(gè)ACF和PACF第117頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例4.2ARIMA(1,2,1)(sample2.4.2)令則第118頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

第119頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

經(jīng)過(guò)兩次差分運(yùn)算之后的序列W第120頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

W的前15個(gè)ACF和PACF第121頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

ARIMA(p,d,q)的通解：第122頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

注1、以上兩例的共同特征：具有較大的、不衰減的自相關(guān)函數(shù)并滯后一期特別大。非平穩(wěn)的主要特征使得這些模型潛在的拖尾性不顯著，我們可對(duì)各序列作差分使之顯著。2、ARIMA(p,d,q)模型與多項(xiàng)式趨勢(shì)的ARMA(p,q)模型

的區(qū)別。第123頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

二、ARIMA模型的方差和自協(xié)方差以ARIMA(0,1,1)為例：

第124頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

第125頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四特征：第126頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

三方差平穩(wěn)化變換通常非平穩(wěn)過(guò)程的方差隨其水平變化而變化，即問(wèn)題：對(duì)一些正常數(shù)c和函數(shù)f，找到一個(gè)函數(shù)G使其變換有不變方差。

第127頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

第128頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

第129頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例4.3：美國(guó)人口總數(shù)（1790-1980）(sample2.4.3)第130頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

對(duì)x作兩次差分運(yùn)算得到-10000000-50000000500000010000000150000002468101214161820zt第131頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

作變換x1=log(x)第132頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

對(duì)x1作兩次差分運(yùn)算得到第133頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

二.單位根過(guò)程當(dāng)d=1時(shí)的求和ARIMA(p,d,q)模型又被稱(chēng)為單位根過(guò)模型，相應(yīng)的時(shí)間序列被稱(chēng)為單位根序列。如果一個(gè)時(shí)間序列的算子方程的根很接近1，則沒(méi)有足夠的數(shù)據(jù)量，在很多情況下很難與單位根序列區(qū)分開(kāi)來(lái)。例:sample2.4.4第134頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

三.平穩(wěn)ARIMA(0,d,0)模型人們稱(chēng)ARMA(p,q)序列是短記憶的，對(duì)短記憶的序列不宜進(jìn)行中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。只有長(zhǎng)記憶序列才具有作中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)。通?？梢园醋詤f(xié)方差函數(shù)收斂到零的速度把平穩(wěn)序列分為短記憶序列和長(zhǎng)記憶序列。對(duì)實(shí)數(shù)d<0.5,如果自協(xié)方差函數(shù)就稱(chēng)該序列是長(zhǎng)記憶序列。對(duì)于ARIMA(0,d,0)序列，由于故它是長(zhǎng)記憶序列。第135頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

第五節(jié)乘積模型隨機(jī)序列的變化規(guī)律含有明顯的周期性規(guī)律，例如氣溫、雨量、用水量、耗電量、交通運(yùn)輸、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題等都是由于季節(jié)變化或其他周期因素的物理機(jī)制所引起的，我們稱(chēng)這類(lèi)隨機(jī)序列為季節(jié)性序列。第136頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例5.1：某儲(chǔ)蓄所1988年和1989年的各月儲(chǔ)蓄額第137頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例5.2：美國(guó)月事故數(shù)據(jù)，1973-1978(sample2.2.5)第138頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

需要考慮兩個(gè)問(wèn)題：1.季節(jié)之間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，2.季節(jié)之內(nèi)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。第139頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

一.純季節(jié)模型首先建立模型(5.1)其中并且，的根都在單位圓外，在相隔T步上為白噪聲序列，而相隔小于T步時(shí)是相關(guān)的，即第140頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

其次，仍為平穩(wěn)序列，故需對(duì)建立ARMA(p,q)模型，

(5.2)其中對(duì)季節(jié)內(nèi)外為白噪聲序列，將(5.2)代入(5.1)中，有即(5.3)稱(chēng)(5.3)為季節(jié)為T(mén)的純季節(jié)性模型，簡(jiǎn)記為模型，又稱(chēng)(5.3)為乘積模型。第141頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例5.3：1985至2000年北京平均氣溫(sample2.4.6)

第142頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

差分第143頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

二.既有季節(jié)又有趨勢(shì)模型

定義，表示間隔T步的D階差分,D為正整數(shù)。于是，有季節(jié)為T(mén)又有趨勢(shì)性的模型為(5.4)在季節(jié)之內(nèi)也具有趨勢(shì)性的模型為(5.5)綜合(5.4),(5.5)，得到既有季節(jié)為T(mén)又有趨勢(shì)性的統(tǒng)一模型為(5.6)稱(chēng)(5.6)為既有季節(jié)為T(mén)又有趨勢(shì)性的乘積模型，簡(jiǎn)記為模型。

第144頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例5.4：模型可表示為即可以看出，為ARIMA(13,1,1)序列，但自回歸部分階數(shù)較高,且的系數(shù)為零，所以有時(shí)稱(chēng)乘積模型為高階疏系數(shù)模型。第145頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例5.4：1990年1月至1997年12月我國(guó)工業(yè)生產(chǎn)總值(單位：億元)sample2.4.7第146頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

為消除趨勢(shì)同時(shí)減小序列的波動(dòng)，對(duì)原序列做一階自然對(duì)數(shù)逐期差分xc=log(x)-log(x(-1))，第147頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

對(duì)序列xc做季節(jié)差分：sxc=xc-xc(-12)第148頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、廣義ARMA模型與疏系數(shù)模型模型：

式中為白噪聲序列，而且,對(duì)一切s<t成立，記

與沒(méi)有公共根。的根不加限制，的根都在單位圓上和圓外。第149頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四分解：其根分別在單位圓內(nèi)、上和外。1）q=0，廣義AR模型2）的根不在單位圓上，

求和模型；3）的根不在單位圓上，純季節(jié)模型第150頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四模型：

式中為白噪聲序列，而且,對(duì)一切s<t成立。第151頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第六節(jié)時(shí)序中的回歸模型一.普通回歸模型

(6.1)其中，為白噪聲序列，為非隨機(jī)的可觀(guān)測(cè)的時(shí)變量。其均值函數(shù)為(6.2)第152頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

二.回歸與自回歸混合模型定義6.1

如下模型稱(chēng)為回歸與自回歸混合模型(并聯(lián)模型)：(6.3)(6.4)其中，為白噪聲序列，且,參數(shù)滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件。為非隨機(jī)的可觀(guān)測(cè)的自變?cè)１热纾核鼈兛蔀槎囗?xiàng)式，三角函數(shù)等。第153頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

定義6.2另外一種混合形式(串聯(lián)模型)為

(6.5)其中,為白噪聲序列,且參數(shù)滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件，是非隨機(jī)的，時(shí)變的和可記錄的。比如：它們可為多項(xiàng)式，三角函數(shù)等。第154頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

三.兩者的聯(lián)系和區(qū)別共同之處：都表示一個(gè)平穩(wěn)序列與非隨機(jī)序列之和。對(duì)(6.3)令

于是，對(duì)(6.5)令于是，

不同之處：(6.3),(6.4)待估參數(shù)以非線(xiàn)性形式出現(xiàn)；(6.5)待估參數(shù)以線(xiàn)性形式出現(xiàn)。第155頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例6.1：回歸與自回歸混合模型p=s=1其中為模型參數(shù)，且為白噪聲序列。第156頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第157頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

特例：p=s=1,,為正態(tài)噪聲，sample25第158頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第七節(jié)非線(xiàn)性時(shí)間序列模型例7.1考察某一經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，設(shè)第t年某一產(chǎn)品產(chǎn)量為，把它投入再生產(chǎn)，第t年的回收率為，經(jīng)濟(jì)學(xué)理論認(rèn)為為MA(1)序列，即其中為相互獨(dú)立的白噪聲序列，而回收率為第159頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

故第t年該產(chǎn)品產(chǎn)量滿(mǎn)足如下模型(7.1)我們稱(chēng)(7.1)式為雙線(xiàn)性模型。第160頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四另一例子：式中為正態(tài)白噪聲序列第161頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一般的雙線(xiàn)性模型：式中為正態(tài)白噪聲序列，而且與獨(dú)立。第162頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例7.2門(mén)限自回歸模型如下(sample26)

(7.2)其中，為白噪聲序列，且特點(diǎn)：既無(wú)趨勢(shì)性又不太像有季節(jié)性，圖形是由一些寬窄不大相同的“鋸齒形”組成的。第163頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

第164頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四另一例子：第165頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四更一般形式：

第166頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

最一般的非線(xiàn)性模型如下形式：

(7.3)其中，f為滿(mǎn)足某些解析條件的非線(xiàn)性函數(shù)，是相互獨(dú)立白噪聲序列或白噪聲。第167頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

一.非線(xiàn)性序列的模型

1.非線(xiàn)性自回歸（NAR）模型

xt=(xt-1,xt-2,…,xt-p)+et,t=1,2,…(7.4)其中(…)為p元可測(cè)函數(shù),{et}為i.i.d.序列,且Eet=0.這里和后面還總假定et與{xt-1,xt-2,…}獨(dú)立。第168頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

經(jīng)計(jì)算，得E{xtxt-1,xt-2,…}=E{xtxt-1,xt-2,…,xt-p}=E{(xt-1,xt-2,…,xt-p)+etxt-1,xt-2,…,xt-p}=(xt-1,xt-2,…,xt-p)+E{etxt-1,xt-2,…,xt-p}=(xt-1,xt-2,…,xt-p).(7.5)(此處依et與{xt-1,xt-2,…}獨(dú)立和Eet=0)而且,

Var{xtxt-1,xt-2,…}=E{[xt-(xt-1,xt-2,…,xt-p)]2xt-1,xt-2,…}=E{et2xt-1,xt-2,…}=Eet2=2.(byEet2=2)第169頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

1）指數(shù)自回歸模型(ExponentialAutoregressiveModel)由T.Ozaki,1978年提出它的形式可表為(7.6)其中，都是模型的待估參數(shù)，為白噪聲序列，模型(7.6)簡(jiǎn)記為EAR(p)。特別地，當(dāng)時(shí)，(7.6)退化為線(xiàn)性p階自回歸模型。第170頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

2）時(shí)變系數(shù)AR(p)模型(timevaryingcoefficientAR)例：其中，是模型在時(shí)刻t的系數(shù)，且獨(dú)立于而是Gaussian白噪聲，均值為零。第171頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

2.條件異方差NAR模型

xt=(xt-1,xt-2,…,xt-p)+s(xt-1,xt-2,…,xt-p)et,t=1,2,…(7.7)

其中(…)和s(…)為p元可測(cè)函數(shù),{et}為i.i.d.序列且Eet=0.第172頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

E{xtxt-1,xt-2,…}=E{xtxt-1,xt-2,…,xt-p}=E{(xt-1,xt-2,…,xt-p)+s(xt-1,xt-2,…,xt-p)etxt-1,xt-2,…,xt-p}=(xt-1,xt-2,…,xt-p)+s(xt-1,xt-2,…,xt-p)E{etxt-1,xt-2,…,xt-p}=(xt-1,xt-2,…,xt-p).(7.8)

Var{xtxt-1,xt-2,…}=E{[xt-(xt-1,xt-2,…,xt-p)]2xt-1,xt-2,…}=s2(xt-1,xt-2,…,xt-p)E{et2xt-1,xt-2,…}=s2(xt-1,xt-2,…,xt-p)Eet2=s2(xt-1,xt-2,…,xt-p).(不再是常數(shù)!)第173頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

3.非可加噪聲NAR模型一般說(shuō)來(lái),非可加噪聲NAR模型太廣泛了,以至無(wú)法研究,甚至于沒(méi)有研究?jī)r(jià)值。比如

xt=(xt-1,xt-2,…,xt-p;et),t=1,2,…(7.9)

又如

(xt,xt-1,…,xt-p+1;et)=0,t=1,2,…

第174頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

二.組合模型例:

xt=txt-1+et,(7.10)

t=t-1+t,

(7.11)

其中{et}和{t}為相互獨(dú)立的i.i.d.序列。此時(shí)模型(7.10)可稱(chēng)為時(shí)變系數(shù)的1階AR模型,其系數(shù)又滿(mǎn)足另一個(gè)1階AR模型。后一模型是變化相對(duì)緩慢的,即小于1,但接近1。第175頁(yè)，共189頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

1.雙重線(xiàn)性模型(BilinerModel)C.W.Granger和A.P.Anderson,1978年它的一般形式為