焦點(diǎn)三角形的面積公式（解析版）備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)必備考試技能高分領(lǐng)先方案

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專題13焦點(diǎn)三角形的面積公式

一、結(jié)論

1、橢圓中焦點(diǎn)三角形面積公式

22

在橢圓5+5=1（。＞人〉0）中，K,E分別為左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，/F\PF,=6,

ab

△P"心的面積記為弟因瑪，貝！J：

①右用=；1耳61舊1=，舊1

②IIIP^lsin。

\ar）

n

③=〃tan],其中。=/耳「瑞?

2、雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積公式

22

在雙曲線=一當(dāng)=1（。〉0,力＞0）中，F(xiàn)K分別為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，

ar

ZF}PF2=0,APZK的面積記為5好6萬，貝！1：

①人協(xié)=5質(zhì)1舊1=，|小

②S"F退=：|P￡IIIP瑪IsinO

③&防萬一Q

tan—

2

注意：在求圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形面積時(shí)，根據(jù)題意選擇適合的公式,注意結(jié)合圓錐曲線的定

義，余弦定

理，基本不等式等綜合應(yīng)用.

二、典型例題

1.（2022?湖北?天門市教育科學(xué)研究院高二期末）已知片、鳥是橢C:三+—=1圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，

43

P是橢圓上一點(diǎn)，/質(zhì)=60，則的面積是（）

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4r~

A.3B.2C.-V3rD.V3

【答案】D

【詳解】

22

由橢圓C:5+方=1的方程可得/=4，〃=3,c=l,則附|+|明=2a=4,

因?yàn)?；%=60、則|勿;『+|P片「一2歸用.〔「用8$60=|耳段2,

即（附|+閥|）2-*用.附1=閨歐，即16-3|巴訃|「埒=4,解得|P耳卜歸周=4,

因此，5不=；|因I叫sin60=；X4X[=B

故選：D.

n

另解：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式，求5、不外u/tan,,其中。=/月尸耳，由題意知〃=3,

0——,代入S"FF—b2tan—=3-tan——-73

6i26

【反思】焦點(diǎn)三角形問題，常規(guī)方法往往涉及到圓錐曲線的定義，利用定義，余弦定理求解，

特別提醒，在圓錐曲線中，定義是解題的重要工具.另外作為二級結(jié)論，=〃tan]要特

別注意記憶，=表示的是哪個(gè)角.

22

2.（2022?吉林吉林?高三期末（理））已知P是橢圓￡+5=1包＞人＞0）上一動點(diǎn)，K，B是

橢圓的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)/耳尸K=。時(shí)，5刖”=48；當(dāng)線段P片的中點(diǎn)落到y(tǒng)軸上時(shí)，

411

,則點(diǎn)運(yùn)動過程中，西|+麻的取值范圍是（）

tan^FXPF2=-Pj

'121（82-

A?15引B.■川

一18、r12、

C,匕旬D-\2'3）

【答案】A

【詳解】

設(shè)|尸用=肛|尸周=”.

在△耳尸工中，當(dāng)用=《時(shí)，由橢圓的定義，余弦定理得：

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m+n=2a、

4/產(chǎn)

v2,o71\2整理得：〃2〃==-

m+n-2mncos—=[2c）3

由三角形的面積公式得：SAF=-nmsin-==4^,解得：6印2.

233

因?yàn)榫€段尸片的中點(diǎn)落到y(tǒng)軸上，又。為大工的中點(diǎn)，所以尸工//），軸，即尸鳥，x.

由tan〃Pg=g,得耨=g，解得：|尸周吾，所以P（G》

代入桶圓標(biāo)準(zhǔn)方程得：￡■+紇=1.

a4/r

22

又有層=/一。2=12,解得：/=16,C,2=4,所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：工+工=1.

1612

所以m+〃=8.

因?yàn)閍-cWw〈4+c,所以2Km46.

1111m+n8

\PF}\\PF2\mnmnmn

因?yàn)橄唷ǘ?—〃z）=-n?+8〃？=一（加一4）2+16,

當(dāng)2KmK6時(shí)，12<mn<16,

11812

所以西+西=嬴北3

另解：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式，求臬仍3a除其中咚由題意知

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代入公式S.F=從tan4n4百="tan二=>U=12,又當(dāng)線段出的中點(diǎn)落到），軸上時(shí)，

1226

tan/耳尸8=g,可知/耳入P=],從而有〃="|c,m=^c9且〃=^-=絲，進(jìn)一步有:

2。=4c.

ri—A22

<312=《二所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：今+與=1.

、2a

所以"7+〃=8.

因?yàn)椤Ｒ籧KmKa+c,所以2W〃?K6.

1111m-\-n8

所以r^r+rHF[=-+-=—=-?

|rf||\Pr2\mnmnmn

因?yàn)閇加=M（8—+8"?=—（"2-4）-+169

當(dāng)24〃zK6時(shí)，[2<mn<]6,

_.118「12一

所以\|-P--用--r+,；附-----|r=—mn￡[2—.一3j'

故選：A.

【反思】解析幾何中與動點(diǎn)有關(guān)的最值問題一般的求解思路：

①幾何法：利用圖形作出對應(yīng)的線段，利用幾何法求最值；

②代數(shù)法：把待求量的函數(shù)表示出來，利用函數(shù)求最值.

3.（2022?安徽省亳州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線1=1（。>0,匕>0）,過原點(diǎn)

的直線與雙曲線交于A,3兩點(diǎn)，以線段A3為直徑的圓恰好過雙曲線的右焦點(diǎn)F，若AABF

的面積為2/,則雙曲線的離心率為（）

A.y/2B.6C.2D.5/5

【答案】B

【詳解】

解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為尸'，連接4尸‘，BF',

因?yàn)橐?8為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F（c,0）,

所以尸，圓心為0（0,0）,半徑為c,

根據(jù)雙曲線的對稱性可得四邊形AFBF是矩形，設(shè)|4用=m，\BF\=n,

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n-m=2a

則+nr=4c2,由(/?—m)2=nr-i-n2-2mn可得4c2—8/=4a"

—mn=2a2

12

所以,2=34,所以e2=1=3,所以e=6.

a

故選：B.

另解：解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為尸，連接AF，，BF',

因?yàn)橐訟B為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F（c,O）,

2

兀Q_b

所以心匹=2。2,且NFZ尸=彳，根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式：建PF、F「一）得:

2tan—

2

—tz2=>c2=3a2=>=3=>e=6?

【反思】在雙曲線中，涉及焦點(diǎn)三角形，優(yōu)先聯(lián)想到定義，即||4尸'|一|4尸||=2〃，結(jié)合余弦

b2

定理求解，對于適合利用焦點(diǎn)三角形公式的題目，可直接利用公式S"和2

0.

tan—

2

4.（多選）（2022?廣東?模擬預(yù)測）已知雙曲線C尤2-￡=1的左、右焦點(diǎn)分別為小鳥，點(diǎn)P

4

雙曲線C右支上，若ZF\PF『9,Z\P耳月的面積為S,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若9=60。，則S=46

B.若S=4,則仍用=26

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C.若鳥為銳角三角形，則S€（4,4石）

D.若^尸百鳥的重心為G,隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，點(diǎn)G的軌跡方程為9/-與=l（x>g

【答案】ACD

【詳解】

由x?-2=1,得/=1,62=4,則a=l,Z?=2,c=V5

4

e_b24

焦點(diǎn)三角形「尸尸?的面積公式*-e~~e,將。=60。代入可知s=4石，故A正確.

tan—tan一

22

M—呼=2,.

當(dāng)S=4時(shí)，0=90.由，2.12,12）可得「周=2,故B錯(cuò)誤.

閥+尸用=忻閭

當(dāng)N百尸6=90。時(shí)，5=4,當(dāng)NPEK=90時(shí)，S=4下,因?yàn)槎瓰殇J角三角形，所以

Se（4,475）,故C正確.

2%=3x

設(shè)G(x,>),「(%%)(%>1),則片_及=1(%>1),由題設(shè)知片(-60),瑪(括,0),則

y()=3y

所以9/-亨=11〉g）,故D正確.

故選：ACD

【反思】在雙曲線中，涉及焦點(diǎn)三角形，優(yōu)先聯(lián)想到定義，即IIA41-|4g11=2〃，結(jié)合余弦

定理求解，對于適合利用焦點(diǎn)三角形公式的題目，可直接利用公式=-0.

tan

2

三、針對訓(xùn)練舉一反三

一、單選題

1.（2022?福建漳州?高二期末）已知橢圓!+耳=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳、瑪，點(diǎn)P在橢圓上,

2510

若閥|=6,則"的面積為（）

A.8B.8&C.16D.16應(yīng)

【答案】B

【詳解】

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在橢圓三+少=1中，a=5,b=4,則c=Ja2—b?=3，所以,由段=2c=6,

25Io

由橢圓的定義可得歸圖=2〃-|尸耳|=4,

取尸鳥的中點(diǎn)M，因?yàn)閨尸制=忻用，則

故選：B.

2.（2022?福建南平?高二期末）橢圓兩焦點(diǎn)分別為耳（3,0）,區(qū)（TO）,動點(diǎn)尸在橢圓上，若AP耳行

的面積的最大值為12,則此橢圓上使得NKPg為直角的點(diǎn)尸有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【詳解】

解:因?yàn)椤?相的面積的最大值時(shí)，點(diǎn)P在短軸的頂點(diǎn)處，所以＜呻=*2標(biāo)=12,即兒=12,

又c=3,所以匕=4,所以匕＞c,則/。歷＜45。，所以/耳;第＜90。，所以此橢圓上使得N-PE

為直角的點(diǎn)尸有0個(gè)，

故選：A.

3.（2022?江西鷹潭?高二期末（文））橢圓C：工+上=1的焦點(diǎn)為匕，居，點(diǎn)P在橢圓上，

4924

若|P用=8,則心斗瑪?shù)拿娣e為（）

A.48B.40C.28D.24

【答案】D

第7頁/總16頁

【詳解】

22

橢圓C：二+二=1的半焦距c=5,長半軸長〃=7,由橢圓定義得1戶61=2。一|尸耳|=6,

4924

而1651=10,且I"鳥KpaF+ipgF,則有鳥是直角三角形，5/&=；|「耳|.|/＞乙|=24,

所以△PKK的面積為24.

故選：D

4.（2022?安徽省亳州市第一中學(xué)高二期末）設(shè)片,寫是橢圓江+片=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓

1224

上一點(diǎn)，且5=g.則APR6的面積為（）

A.6B.6x/2C.8D.8庭

【答案】B

【詳解】

解：由橢圓工+片=1的方程可得。2=246=12,

1224

所以c?〃=12,得a=2n,。=2陋

且|P用+歸周=2"=4?,忻周=2C=46,

在鳥中，由余弦定理可得

cosNFPF」，|2+二百2一|石耳2（|］引+|「6|）2-2口小口6|-為巴尸

2

''2\PF.\\PF2\2\PF}\\PF2\

_4aZ-dd-ZIPfJIPVI_4從一2|尸耳||「名|=4xl2-2|PF；||Pf；|

2\PFi\\PF2\-2\PF,\\PF2\2\PFt\\PF2\

而cosN耳Pg=g,所以，|尸/訃|「周=18,

又因?yàn)椋琧osNf；PE=g,所以sinNf；P^=手，

所以，SAP6E=J尸制|P周-sinNGP鳥=gxl8x竽=6夜

故選：B

5.（2022?甘肅?永昌縣第一高級中學(xué)高二期末（理））橢圓工+產(chǎn)=1的左右焦點(diǎn)為百、6，P

4

為橢圓上的一點(diǎn)，/耳2尸2=?,則AP6外的面積為（）

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A.1B.GC.—D.2

3

【答案】C

【詳解】

???點(diǎn)P是橢圓—+y=1上的一點(diǎn)，6、尸z是焦點(diǎn)，

4

.??閥|+|P局=4,即（附|+|尸閭"16①,

?.?在△「耳與中/耳尸鳥=5TT，

.?.附『+歸周2_2|吶.歸周cos]=（26y=12②，

①-②得：附卜附|=：,s.=；閥卜匹卜嗚=33等=.

故選：C.

22

6.（2021?北京市第五十七中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓C：工+匯=1,F,,鳥分別為它的

259

左右焦點(diǎn)，A,8分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

-4

A.離心率e=1B.△耳P8的周長為18

9

C.直線PA與直線PB斜率乘積為定值-萬D.若NFFB=90",則的面積為8

【答案】D

【詳解】

22________

22

由土+^-=1,可得。=5,b=3、c=Ja-b=4?

259

c4

A,離心率e=-==,故A正確；

a5

B,△耳尸鳥的周長為|P￡|+|%|+出閭=2a+勿=18,故B正確.

C，設(shè)P（x。，%），,,二%%升“―-）=9,故C正確：

PAn

~x0+5xn-5~x^-25~v-25-25

2

D,-.■ZFlPF2=9（）\:.\PF\+\PF^=\F}F^=M,

又因?yàn)閨尸用+歸周=2。=10,所以（|不|+|尸段）2=100,

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即r.I尸用2+］尸用2+2歸用歸國=100,解得閘口產(chǎn)周=18,

所以尸用|P周=9,故D錯(cuò)誤.

故選：D

22

7.（2021?黑龍江?大慶中學(xué)高二期末）已知6，乃分別為橢圓C：T+}=l（a>6>0）的左右

焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)P,使得210Pl=比可，設(shè)AGPK的面積為S,若

S=（|尸制-歸閭。則該橢圓的離心率為（）

A.1B.|C.正D.好

3223

【答案】D

【詳解】

由題意210Pl周，故△「耳工為直角三角形，

???s=（四HP閭Fil尸引咽，

又（|叫-|叫『=（|叫+|尸闖）2-4|陽|尸國=3|吶|州|,啊|+|產(chǎn)圖=2〃

???閥||圖=?

又△P/譙為直角三角形，故歸用2+歸圖2=|4圖2,

，（|「用+盧瑪）2-2戶用|”|=|不用）

第10頁/總16頁

故選：D.

8.（2022,山西運(yùn)城?高二期末）己知點(diǎn)耳、鳥是雙曲線］-￥=1（“>0/>0）的左、右焦點(diǎn)，以線段

a~b~

耳心為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,若盧”|=3|尸閭，則（）

A.儼用與雙曲線的實(shí)軸長相等

B.APKK的面積為5后

C.雙曲線的離心率為|

D.直線3x+2y=O是雙曲線的一條漸近線

【答案】B

【詳解】

因?yàn)镮戶用=3|尸6|,乂由題意及雙曲線的定義可得：|Pf；ITPRI=2a,

則|。6|=4,|尸用二3"射，所以A不正確；

因?yàn)镻在以耳鳥為直徑的圓上，所以「月，出"

11Q

所以s,w=5l0用"勺所以B正確；

22

在a△P'K中，由勾股定理可得IK瑪NPF^+\PF2|=10?,

即4c2=104所以離心率0=￡=蓼,

a2

所以C不正確；

由C的分析可知：4c2=10/，故/所以漸近線的方程為），=±9=±宗*,

即、屈±J5y=0,所以D不正確；

故選：B.

9.（2022?內(nèi)蒙古赤峰?高三期末（理））已知雙曲線反■一￡=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為6，F(xiàn)2,P為雙

916

曲線上一點(diǎn)，尸乙，6工，g/M的內(nèi)切圓的圓心為/,則|P/|=（）

A2后a型r3南n陰

3322

【答案】A

【詳解】

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解：因?yàn)殡p曲線工-片=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為耳，K，戶為雙曲線上一點(diǎn)，尸巴，耳鳥,

916

所以小，部|P周若，電1=10,

因?yàn)閮譎明=2〃=6,所以|叫=6+1叫/，

設(shè)△「耳乙的內(nèi)切圓的半徑為，

則久啰=；（附|+|叫+|">=；但目附I，即苧=S9,解得廠=2,

如圖，設(shè)△*譙的內(nèi)切圓與邊尸巴相切于點(diǎn)”，則|/川=2,|H用=2,

所以|PH|=￥，

所以|P/|==

故選：A

10.（2022?廣東?執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）已知雙曲線C的離心率為6,耳，鳥是C的兩個(gè)焦點(diǎn),

尸為C上一點(diǎn)，|際|=3忸閭，若AP"鳥的面積為拉，則雙曲線C的實(shí)軸長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】

根據(jù)雙曲線的定義，可得：|「耳尸鳥|=2

又：閥|=3儼閭

解得：|P4|=3%|P闖=a

雙曲線C的離心率為6，則有：c=Ga

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在中，由余弦定理，可得：cosN"F,」戶用;用=4

2（用叼3

則有：sinZ/^Pf；

△尸耳人的面積為應(yīng)，可得：；|兩歸用sinN￡P(guān)舄=J^2=&

解得：a=1

故雙曲線C的實(shí)軸長為：2

故選：B

11.（2022?廣西玉林?模擬預(yù)測（文））已知雙曲線C:x2-21=1的左，右焦點(diǎn)為P為

2

雙曲線右支上的一點(diǎn)，NP耳6二3（）。，/是△尸與鳥的內(nèi)心，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.△/牛工是直角三角形B.點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為1

C.|P/|=2G-2D.耳心的內(nèi)切圓的面積為方

【答案】D

【詳解】

由已知可得，|P）|—|P同=2,怩同=2厲，設(shè)|P周=x,|P用=x+2,則

cos/P"＞號導(dǎo)號=等，得x=2,所以閥|=2,四|=4,即附卜山用2TM2,

所以的_L"2,所以A正確；設(shè)內(nèi)接圓半徑為小則:（阿|+|吶+閨局）"=3?閥|?忸瑪，

得