茆詩(shī)松《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》(第3版)章節(jié)題庫(kù)(大數(shù)定律與中心極限定理)【圣才出品】

圣才電子書(shū)十萬(wàn)種考研考證電子書(shū)、題庫(kù)視頻學(xué)習(xí)平臺(tái)第4章大數(shù)定律與中心極限定理一、選擇題1．已知隨機(jī)變量Xn（n＝1，2，…）相互獨(dú)立且都在（－1，1）上服從均勻分布，根ni1limp{Xn}等于（結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)Φ（x）n據(jù)獨(dú)立同分布中心極限定理有i表示）（）。A．Φ（0）B．Φ（1）C．3D．Φ（2）【答案】C【解析】由題設(shè)知{Xn，n≥1}獨(dú)立同分布，且EXn＝0，DXn＝22/12＝1/3，根據(jù)中心極限定理，對(duì)任意x∈R有：nXnnXEXlimPxlimPixiii1i1i1nnnnDX3ii1nlimPX3xxnini11/8圣才電子書(shū)十萬(wàn)種考研考證電子書(shū)、題庫(kù)視頻學(xué)習(xí)平臺(tái)limPXnnn3。取x3，有ii1limp{nXn}＝2．假設(shè)隨機(jī)變量序列X1，…，Xn，…獨(dú)立同分布且EXn＝0，則ini1（）。A．0B．1/4C．1/2D．1【答案】D1nXuuuuPr0，即【解析】由于僅知“EXn＝0”，因而考慮應(yīng)用辛欽大數(shù)定律：nii1milPXn＜1limP1X＜1nn對(duì)?ε＞0，，取ε＝1，有，ni1iinni1nn＜＜XnilimPX＜n1nnXni，所以又。ii1i1i13．設(shè)Xn表示將一硬幣隨意投擲n次“正面”出現(xiàn)的次數(shù)，則（）。Xnx}(x)nlimP{nnA．limP{X2nx}(x)nB．nn2/8圣才電子書(shū)十萬(wàn)種考研考證電子書(shū)、題庫(kù)視頻學(xué)習(xí)平臺(tái)limP{2Xnx}(x)nC．D．nnlimP{2X2nx}(x)nnn【答案】C【解析】由題設(shè)知，Xn～B（n，1/2），根據(jù)“二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為其極限分布”定X1n2Xnxx2limPnxlimPn理得。1nnnn41nX4．設(shè)隨機(jī)變量序列X1，…，Xn，…相互獨(dú)立，則根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當(dāng)n→∞時(shí)，nii1依概率收斂其數(shù)學(xué)期望，只要{Xn，n≥1}（A．有相同的數(shù)學(xué)期望）。B．服從同一離散型分布C．服從同一泊松分布D．服從同一連續(xù)型分布【答案】C【解析】直接應(yīng)用辛欽大數(shù)定律的條件進(jìn)行判斷，C項(xiàng)正確。事實(shí)上，應(yīng)用辛欽大數(shù)定律，隨機(jī)變量序列{Xn，n≥l}必須是“獨(dú)立同分布且數(shù)學(xué)期望存在”，A項(xiàng)缺少同分布條件，B、D兩項(xiàng)雖然服從同一分布但不能保證期望存在。故C項(xiàng)正確。5．設(shè)隨機(jī)變量X1，…，Xn，…相互獨(dú)立記Yn＝X2n－X2n－1（n≥1），概括大數(shù)定律，3/8圣才電子書(shū)十萬(wàn)種考研考證電子書(shū)、題庫(kù)視頻學(xué)習(xí)平臺(tái)1nYi當(dāng)n→∞時(shí)，依概率收斂到零，只要{Xn，n≥l}滿(mǎn)足（）。ni1A．?dāng)?shù)學(xué)期望存在B．有相同的數(shù)學(xué)期望與方差C．服從同一離散型分布D．服從同一連續(xù)型分布【答案】B【解析】由題設(shè)，我們應(yīng)該考慮應(yīng)用大數(shù)定律來(lái)確定正確選項(xiàng)，由于Xn相互獨(dú)立，所以Yn相互獨(dú)立，A項(xiàng)“缺少同分布”條件，C、D兩項(xiàng)“缺少數(shù)學(xué)期望存在”的條件，因此都不滿(mǎn)足辛欽大數(shù)定律，B項(xiàng)正確。事實(shí)上，若EXn＝μ，DXn＝σ2存在，則112i1nnEXEX02iEYnnii1i1111n22n22222nnDYnDXDX2iDYii2i1nn2n2ni1i1i1根據(jù)切比雪夫大數(shù)定律得：1n11nnlimPYEnYlimPY1nnini1niii1i11nY即i依概率收斂到零。ni1二、填空題1．設(shè)X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且Xi（i＝1，2，...，n）服從參數(shù)為λ4/8圣才電子書(shū)十萬(wàn)種考研考證電子書(shū)、題庫(kù)視頻學(xué)習(xí)平臺(tái)limPnXnixi1n的泊松分布，則＝______。n1et2dt2x【答案】【解析】因?yàn)閄1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且Xi（i＝1，2，...，n）服從參數(shù)為λ的泊松分布，所以EXi＝λ，DXi＝λ則由列維一林德伯格中心極限定理可得limPnXnx1ix=et2dti1n2n2．設(shè)隨機(jī)變量X在[－1，b]上服從均勻分布，若由切比雪夫不等式有P{|X－1|＜ε}≥2/3，則b＝______；ε＝______?！敬鸢浮?；2【解析】由題設(shè)知EX＝（b－1）/2，DX＝（b＋1）2/12，依題意b1EX1b3b31622211223b122311223．將一個(gè)骰子重復(fù)擲n次，各次擲出的點(diǎn)數(shù)依次為X1，X2…，Xn，則當(dāng)n→∞時(shí)，X1nXi，依概率收斂于______。ni1【答案】7/25/8圣才電子書(shū)十萬(wàn)種考研考證電子書(shū)、題庫(kù)視頻學(xué)習(xí)平臺(tái)X1nXuuuuPr?，為此需要應(yīng)用大數(shù)定律或依概率收n【解析】題目要求計(jì)算ii1斂的定義與性質(zhì)來(lái)計(jì)算。由題設(shè)知X1，…，Xn獨(dú)立同分布：123456X~111111666666i，且EXi＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）/6＝21/6＝7/2，7XuuuuPrn2根據(jù)辛欽大數(shù)定律。4．設(shè)隨機(jī)變量列X1，X2，…，Xn…相互獨(dú)立且同分布，則X1，X2，…，Xn，…服從辛欽大數(shù)定律，只要隨機(jī)變量X1______?！敬鸢浮科谕嬖凇窘馕觥啃翚J大數(shù)定律的條件是Xi獨(dú)立同分布，且期望存在，而切比雪夫大數(shù)定律的條件是Xi不相關(guān)且方差有界。5．假設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，X2n獨(dú)立同分布，且