對(duì)于FFT和IFFT的算法和頻譜分析的研究

可編輯版/對(duì)于FFT和IFFT的算法和頻譜分析的研究〔ThealgorithmsandspectrumanalysisofFFTandIFFT摘要：目的在于研究前人的工作結(jié)果,對(duì)FFT和IFFT有更清楚的認(rèn)識(shí)。主要通過(guò)MATLAB的編程完成對(duì)FFT和IFFT的算法和頻譜分析。首先通過(guò)matlab的編程實(shí)現(xiàn)FFT和IFFT的這兩個(gè)函數(shù)。然后用已經(jīng)編譯成功的函數(shù)實(shí)現(xiàn)升余弦滾降。用FFT分析三角函數(shù)和三角波函數(shù)。用IFFT將上述結(jié)果重新變回到時(shí)域,通過(guò)作圖分析變換前后信號(hào)的差異。得出了關(guān)于fft和ifft函數(shù)的分析和關(guān)于三角函數(shù)和三角波函數(shù)的頻譜分析的結(jié)論關(guān)鍵詞：MATLABFFTIFFT升余弦滾降函數(shù)三角函數(shù)三角波函數(shù)Abstract：CompletedthemainalgorithmandspectralanalysisofFFTandIFFTbyMATLABprogramming.First,throughtheMATLABprogrammingtoachievethetwofunctionsFFTandIFFT.Thenusehasbeensuccessfullycompiledfunctionraisedcosine.AnalysisoftrigonometricfunctionandtrianglefunctionbyFFT.WithIFFTtheresultsbackintimedomain,bymappingdifferencesbeforeandaftersignaltransformation.Keywords:MATLAB,FFT,IFFT,Raisedcosinefunction,Trigonometric,Triangularwavefunction引言1965年,庫(kù)利〔J.W.Cooley和圖基〔J.W.Tukey在《計(jì)算數(shù)學(xué)》雜志上發(fā)表了"機(jī)器計(jì)算傅立葉級(jí)數(shù)的一種算法"的文章,這是一篇關(guān)于計(jì)算DFT的一種快速有效的計(jì)算方法的文章。它的思路建立在對(duì)DFT運(yùn)算內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識(shí)之上。這篇文章的發(fā)表使DFT的計(jì)算量大大減少,并導(dǎo)致了許多計(jì)算方法的發(fā)現(xiàn)。這些算法統(tǒng)稱為快速傅立葉變換〔FastFourierTransform,簡(jiǎn)稱FFT,1984年,法國(guó)的杜哈梅爾〔P.Dohamel和霍爾曼〔H.Hollmann提出的分裂基快速算法,[2]使運(yùn)算效率進(jìn)一步提高。FFT即為快速傅氏變換,是離散傅氏變換的快速算法,它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶、虛、實(shí)等特性,對(duì)離散傅立葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的。它對(duì)傅氏變換的理論并沒有新的發(fā)現(xiàn),但是對(duì)于在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)或者說(shuō)數(shù)字系統(tǒng)中應(yīng)用離散傅立葉變換,可以說(shuō)是進(jìn)了一大步。隨著科學(xué)的進(jìn)步,FFT算法的重要意義已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)傅里葉分析本身的應(yīng)用。FFT算法之所以快速,其根本原因在于原始變化矩陣的多余行,此特性也適用于傅里葉變換外的其他一些正交變換,例如,快速沃爾什變換、數(shù)論變換等等。在FFT的影響下,人們對(duì)于廣義的快速正交變換進(jìn)行了深入研究,使各種快速變換在數(shù)字信號(hào)處理中占據(jù)了重要地位。因此說(shuō)FFT對(duì)數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展起了重大推動(dòng)作用?？焖俑道锶~變換<FastFourierTranformation,FFT>是將一個(gè)大點(diǎn)數(shù)N的DFT分解為若干小點(diǎn)的DFT的組合。將運(yùn)算工作量明顯降低,從而大大提高離散傅里葉變換<DFT>的計(jì)算速度,從而更加適合進(jìn)行實(shí)時(shí)運(yùn)算。因各個(gè)科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域廣泛的使用了FFT技術(shù)它大大推動(dòng)了信號(hào)處理技術(shù)的進(jìn)步,現(xiàn)已成為數(shù)字信號(hào)處理強(qiáng)有力的工具,本論文將比較全面的敘述各種快速傅里葉變換算法原理、特點(diǎn),并完成了基于MATLAB的實(shí)現(xiàn)。最后通過(guò)FFT和IFFT的兩個(gè)應(yīng)用升余弦滾降和確定函數(shù)的頻譜分析來(lái)分別驗(yàn)證FFT和IFFT的正確性和優(yōu)越性。FFT的算法[1]1.1FFT算法的基本思想設(shè)離散的有限長(zhǎng)時(shí)間序列x<n>,0≤n≤N-1,則其離散傅立葉變換為：這樣,矩陣W中有許多相同的元素,從而可以簡(jiǎn)化DFT的運(yùn)算過(guò)程．FFT算法有許多形式,筆者只討論最基本的時(shí)間抽取基-2FFT算法．1.2算法分析一個(gè)N點(diǎn)長(zhǎng)序列,直接用DFT方法需要復(fù)數(shù)乘法N2次；復(fù)數(shù)加法N<N-1>次。而由圖2可知,采用FFT則只需要復(fù)數(shù)乘法次；復(fù)數(shù)加法次。當(dāng)時(shí),這樣,運(yùn)算速度提高了1-2個(gè)數(shù)量級(jí)．圖1為FFT算法和直接DFT算法所需運(yùn)算量與計(jì)算點(diǎn)數(shù)N的關(guān)系曲線．顯然,N越大時(shí),優(yōu)越性越明顯．但當(dāng)N相當(dāng)大時(shí),利用單機(jī)串行進(jìn)行FFT運(yùn)算同樣滿足不了實(shí)時(shí)系統(tǒng)的需要．[1]1.3算法的程序?qū)崿F(xiàn)思想及分析 首先檢驗(yàn)待變換的序列的元素個(gè)數(shù)是否為2的冪次方個(gè),如果不是的話則將其補(bǔ)零使之成為2的整數(shù)冪次方個(gè)。然后利用已經(jīng)編好的位倒序子程序輸出位倒序序號(hào),將輸入序列不斷分組,進(jìn)行處理后從新分組,直至完成最后的處理即可輸出變換后的結(jié)果。需要注意的是,這里fft的變換后結(jié)果的元素個(gè)數(shù)可能與原輸入序列的個(gè)數(shù)不一樣,因?yàn)槿绻皇?的冪次方個(gè)的話輸入序列后面是要補(bǔ)零的?！仓鞒绦?yàn)閒ft_dit和fft_dif1.4流程示意圖整個(gè)FFT頻譜分析與顯示過(guò)程可用圖2所示的流程圖示意.fft按頻域抽取算法fft按時(shí)域抽取算法 圖22.IFFT的頻譜變換基本原理在實(shí)驗(yàn)中為了簡(jiǎn)化算法我們直接利用前面已經(jīng)編好的fft_dit或fft_dif這兩個(gè)現(xiàn)成函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn),基本原理如下：將要變換的頻譜序列先取共軛然后將其送入前面的函數(shù),將變化后的結(jié)果再取共軛即實(shí)現(xiàn)IFFT的功能。主程序?yàn)閕fft_my 圖33升3.1升要實(shí)現(xiàn)無(wú)碼間干擾基帶傳輸時(shí),系統(tǒng)必須滿足奈奎斯特準(zhǔn)則即：對(duì)于上述公式,我們分3種情況來(lái)說(shuō)明其含義：Ts<1/2W,其中Ts為系統(tǒng)的輸入數(shù)據(jù)的符號(hào)間隔,W為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)X〔f的截止頻率。由于：因而Z〔f是由頻率間隔為1/Ts的X〔f曲線無(wú)頻率重疊地周期性復(fù)制構(gòu)成。若Ts=1/2W。Z〔f仍是由頻率間隔為1/Ts的X〔f曲線無(wú)頻率重疊地周期性復(fù)制構(gòu)成,在此情況下,僅有一個(gè)情況可滿足無(wú)碼間干擾傳輸?shù)臈l件,即當(dāng)此基帶傳輸系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是理想低通,其頻帶寬度為W,則該系統(tǒng)無(wú)碼間干擾傳輸?shù)淖钚s=1/2W,即無(wú)碼間干擾傳輸?shù)淖畲蠓?hào)速率Rs=1/Ts=2W,稱此傳輸速率為奈奎斯特速率。在此理想情況下,雖然系統(tǒng)的頻帶利用率達(dá)到極限,但是此時(shí)x<t>是sinc函數(shù),她是非因果的,是物理不可實(shí)現(xiàn)的。并且,此x<t>沖擊脈沖形狀收斂到0的速度極慢,若在收端低通濾波器輸出端的采樣時(shí)科存在定時(shí)誤差,則在實(shí)際采樣時(shí)刻的采樣值會(huì)存在碼間干擾對(duì)于Ts>1/2W情況,Z〔f由頻率間隔為1/Ts的X〔f曲線無(wú)頻率重疊地周期性復(fù)制并相加構(gòu)成的,它還是周期性頻譜。在這種情況下,有一特定頻譜可滿足無(wú)碼間干擾傳輸?shù)臈l件,它就是已獲廣泛應(yīng)用的升余弦譜。升余弦濾波器的傳遞函數(shù)表示式為：稱α為滾降因子,取值為0≦α≦1。在α=0時(shí),濾波器的帶寬W為1/<2Ts>,稱為奈奎斯特帶寬；α=0.5時(shí),濾波器的截止頻率W=〔1+α/〔2Ts=0.75Rs;

α=1時(shí),濾波器的截止頻率W=Rs。[3][4]3.2升 升余弦滾降函數(shù)是在基帶無(wú)碼間干擾傳輸中經(jīng)常用到的頻域函數(shù)。其主要特性是升余弦滾降函數(shù)經(jīng)過(guò)頻域平移疊加后能夠成一個(gè)在各個(gè)頻域幅度恒定的頻域函數(shù)。我們?cè)趯?shí)現(xiàn)升余弦滾降時(shí)可以首先在頻域?qū)崿F(xiàn)α=0,α=0.5,α=0.75和α=1四種升余弦滾降函數(shù),然后通過(guò)自己編寫的ifft_my進(jìn)行傅里葉逆變換,并將變換后的時(shí)域結(jié)果反映在圖上,分別對(duì)比α不同是對(duì)應(yīng)的時(shí)域上的不同的時(shí)域特性。3.3變換前的時(shí)域特性和變換后的頻域特性 圖44利用fft和ifft進(jìn)行具體函數(shù)頻譜分析的實(shí)例4.1三角函數(shù)的頻譜分析及其信號(hào)的恢復(fù) 在實(shí)際信號(hào)的分析中,三角函數(shù)是非常常見和基本的信號(hào),在這里我們就對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行分析。在分析中我們會(huì)碰到要分析的函數(shù)的采樣點(diǎn)數(shù)不是2的整數(shù)次冪個(gè),我們要對(duì)它進(jìn)行補(bǔ)零處理。4.2三角波函數(shù)的分析 在分析中因?yàn)榭赡軙?huì)用到自己編寫的T2F函數(shù)和F2T函數(shù),但是這兩個(gè)函數(shù)仍然是建立在自己編寫的fft_dit和ifft_my的基礎(chǔ)上的。只是對(duì)輸入變量進(jìn)行了更加完善的處理,一個(gè)是補(bǔ)零,另一個(gè)是對(duì)頻域進(jìn)行了搬移,將原來(lái)pi~2pi的部分搬到-pi~0,因?yàn)榇蠹以诳搭l譜時(shí)比較習(xí)慣頻譜是關(guān)于零對(duì)稱的。4.3分析結(jié)果5結(jié)論5.1關(guān)于fft和ifft函數(shù)的分析 在fft和ifft的實(shí)現(xiàn)過(guò)程中,的確能降低運(yùn)算的次數(shù),但是也正好印證了一個(gè)很著名的理論,"時(shí)間換空間,空間換時(shí)間"。在fft和ifft的算法中,我們降低運(yùn)算的次數(shù)是以占用更多的空間換來(lái)的。每次將要變換的的序列進(jìn)行分組,然后對(duì)每個(gè)組進(jìn)行處理,雖然降低了運(yùn)算次數(shù),但是也增加了運(yùn)算空間的占用。5.2關(guān)于升余弦滾降函數(shù)的結(jié)論 通過(guò)圖形我們可以觀察出,對(duì)于不同α的函數(shù),時(shí)域主要部分占用的寬度是一樣的。但是隨著α的增大,時(shí)域的起伏是越來(lái)越小的。因此我們可以認(rèn)為,α越大,時(shí)域起伏越小,因此在非線性系統(tǒng)中傳輸時(shí)的失真越小。但是與此同時(shí)帶來(lái)的缺點(diǎn)是占用的α越大,頻域占用的帶寬是越大的,越利于在限帶系統(tǒng)中傳輸,頻率的利用率也就越低。5.3關(guān)于三角函數(shù)和三角波函數(shù)的頻譜分析結(jié)論 〔1根據(jù)理論分析,三角函數(shù)的頻譜因該是幾個(gè)沖激函數(shù)的組合,三角波函數(shù)的頻譜應(yīng)該是Sa函數(shù)平方的形式。而在實(shí)際分析中我們通過(guò)觀察頻譜圖可以看出分析的結(jié)果基本符合理論分析結(jié)果。這也側(cè)面印證了我們自己編寫的fft_dit和ifft_my的正確性和有效性。 〔2在通過(guò)頻譜恢復(fù)時(shí)域時(shí),我們觀察到恢復(fù)后的三角函數(shù)的時(shí)域函數(shù)有所失真,三角波函數(shù)基本無(wú)失真。原因可能是在T2F和F2T函數(shù)中可能因?yàn)檠a(bǔ)零改變了元素個(gè)數(shù),因此引起了恢復(fù)后的函數(shù)時(shí)域出現(xiàn)失真。致謝：谷群陳若寰王敏附錄1：[1]蔣冬初,何飛.FFT算法的并行處理研究.XX城市學(xué)院學(xué)報(bào)<自然科學(xué)版>.2005-06-30[2]OppenheimAV,SchaferRW.DigitalSignalProcessing[M].NY:Prentice-Hall,1975.[3]ProakisJG,ManolakisDG.DigitalSignalProcessing-Principles[M].Algorithmsandapplications<2ndEdition>,NY:Printice-Hall,1995.[4]崔靈智.Matlab在數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].XX水利職業(yè)學(xué)院刊,2008.3:11-12.附錄2：主要程序和代碼升余弦滾降：Fftfunction[num3]=fft_dif<in>N=length<in>;num=in;num3=zeros<1,N>;k=log2<N>;forn=1:kforc=1:2^<n-1>num1=zeros<1,2^<k+1-n>>;num2=zeros<1,2^<k+1-n>>;num1=num<<c-1>*2^<k+1-n>+1:c*2^<k+1-n>>;form=1:2^<k-n>num2<m>=num1<m>+num1<m+2^<k-n>>num2<m+2^<k-n>>=<num1<m>-num1<m+2^<k-n>>>*exp<-i*<m-1>*2*pi/2^<k+1-n>>;endnum<<c-1>*2^<k+1-n>+1:c*2^<k+1-n>>=num2;endendforn=1:Nnum3<n>=num<weidaoxu<n,N>+1>;endfunction[num3]=fft_dit<in>N=length<in>;num=zeros<1,N>;num3=zeros<1,N>;k=log2<N>;forn=1:Nnum<n>=in<weidaoxu<n,N>+1>;endforn=1:kforc=1:2^<k-n>num1=zeros<1,2^n>;num2=zeros<1,2^n>;num1=num<<c-1>*2^n+1:c*2^n>;form=1:2^<n-1>num2<m>=num1<m>+num1<m+2^<n-1>>*exp<-i*<m-1>*2*pi/2^n>;num2<m+2^<n-1>>=num1<m>-num1<m+2^<n-1>>*exp<-i*<m-1>*2*pi/2^n>;endnum<<c-1>*2^n+1:c*2^n>=num2;endend%num3<1>=num<N>;%num3<2:N>=num<1:N-1>;num3=num;IFFTfunction[out]=ifft_my<in>num1=conj<in>;num2=fft_dif<num1>;out=conj<num2>/length<in>;%通過(guò)FFT和IFFT來(lái)分析升余弦滾降函數(shù)的時(shí)域和頻域的特點(diǎn)clearall;a=0;N=128;l=2;figure<1>[f,out_f]=shengyuxiangunjiang<a,N,l>;subplot<221>;plot<f,out_f>;xlabel<'f'>;ylabel<'a=0時(shí)的頻譜幅度'>;axis<[-2201.5]>;out_f_=[out_f<<N/2+1>:N>,out_f<1:N/2>];out_t=ifft_my<out_f_>;out_t_=[out_t<<N/2+1>:N>,out_t<1:N/2>];subplot<222>;plot<f,out_t_>;xlabel<'t'>;ylabel<'a=0時(shí)的時(shí)域幅度'>;axis<[-0.250.25-0.10.5]>;a=0.5;[f,out_f]=shengyuxiangunjiang<a,N,l>;subplot<223>;plot<f,out_f>;xlabel<'f'>;ylabel<'a=0.5時(shí)的頻譜幅度'>;axis<[-2201.5]>;out_f_=[out_f<<N/2+1>:N>,out_f<1:N/2>];out_t=ifft_my<out_f_>;out_t_=[out_t<<N/2+1>:N>,out_t<1:N/2>];subplot<224>;plot<f,out_t_>;xlabel<'t'>;ylabel<'a=0.5時(shí)的時(shí)域幅度'>;axis<[-0.250.25-0.10.5]>;a=0.75;figure<2>[f,out_f]=shengyuxiangunjiang<a,N,l>;subplot<221>;plot<f,out_f>;xlabel<'f'>;ylabel<'a=0.75時(shí)的頻譜幅度'>;axis<[-2201.5]>;out_f_=[out_f<<N/2+1>:N>,out_f<1:N/2>];out_t=ifft_my<out_f_>;out_t_=[out_t<<N/2+1>:N>,out_t<1:N/2>];subplot<222>;plot<f,out_t_>;xlabel<'t'>;ylabel<'a=0.75時(shí)的時(shí)域幅度'>;axis<[-0.250.25-0.10.5]>;a=1;[f,out_f]=shengyuxiangunjiang<a,N,l>;subplot<223>;plot<f,out_f>;xlabel<'f'>;ylabel<'a=1時(shí)的頻譜幅度'>;axis<[-2201.5]>;out_f_=[out_f<<N/2+1>:N>,out_f<1:N/2>];out_t=ifft_my<out_f_>;out_t_=[out_t<<N/2+1>:N>,out_t<1:N/2>];subplot<224>;plot<f,out_t_>;xlabel<'t'>;ylabel<'a=1時(shí)的時(shí)域幅度'>;axis<[-0.250.25-0.10.5]>;逆位倒序：functionout=niweidaoxu<in,long>l=log2<long>;num1=zeros<1,l>;%out=0;fori=1:lnum1<i>=mod<in,2>;out=<in-mod<in,2>>/2;end%fori=1:l%num2<i>=num1<l+1-i>;%end%fori=1:l%out=<2^<i-1>>*num1<i>+out;%endRAND01： functions=rand01<p,m,n> %輸入?yún)?shù): %p:0-1分布中1的概率 %m,n:產(chǎn)生的隨機(jī)變量樣本個(gè)數(shù)m×n %輸出:產(chǎn)生的隨機(jī)變量樣本矢量升余弦滾降： x=rand<m,n>; s=<sign<x-p+eps>+1>/2; %eps=2^<-52>.function[f,out_f]=shengyuxiangunjiang<a,N,l>f=[-l:2*l/N:l-2*l/N];out_f=zeros<1,N>;out_f<1:N/<2*l>*<1-a>>=0;k=[-pi/2:l*pi/<a*N>:pi/2-l*pi/<a*N>]out_f<N/<2*l>*<1-a>+1:N/<2*l>*<1+a>>=<sin<k>+1>/2;out_f<N/<2*l>*<1+a>+1:N/2>=1;form=1:N/2out_f<N+1-m>=out_f<m>;end位倒敘functionout=weidaoxu<in1,long>in=in1-1;l=log2<long>;num1=zeros<1,l>;out=0;fori=1:lnum1<i>=mod<in,2>;in=<in-mod<in,2>>/2;endfori=1:lnum2<i>=num1<l+1-i>;endfori=1:lout=<2^<i-1>>*num2<i>+out;end自余弦滾降function[Ra]=zixiangguan<in>N=length<in>;Ra=zeros<1,N>;form=1:Nfork=1:N-1-mRa<m>=in<k>*in<k+m-1>+Ra<m>;endRa<m>=Ra<m>/<N+1-m>;end頻譜分析F變時(shí)域function[m]=F2T<M,fs>%輸入?yún)?shù)%M：信號(hào)的頻譜%fs:系統(tǒng)采樣頻率%輸出<返回>參數(shù)%m:傅里葉逆變換后的信號(hào),注意其長(zhǎng)度為2的整數(shù)次冪,利用其畫波形時(shí),要注意選取m的一部分,選取長(zhǎng)度和所給時(shí)間序列t的長(zhǎng)度要一致,plot<t,m<1:length<t>>>,否則會(huì)出錯(cuò)。m=real<ifft<M>>*fs;FFTfunction[num3]=fft_dif<in1,k>ifnargin==1N=length<in1>;elseN=k;endin=zeros<1,N>;in<1:length<in1>>=in1;num=in;num3=zeros<1,N>;k=log2<N>;forn=1:kforc=1:2^<n-1>num1=zeros<1,2^<k+1-n>>;num2=zeros<1,2^<k+1-n>>;num1=num<<c-1>*2^<k+1-n>+1:c*2^<k+1-n>>;form=1:2^<k-n>num2<m>=num1<m>+num1<m+2^<k-n>>num2<m+2^<k-n>>=<num1<m>-num1<m+2^<k-n>>>*exp<-i*<m-1>*2*pi/2^<k+1-n>>;endnum<<c-1>*2^<k+1-n>+1:c*2^<k+1-n>>=num2;endendforn=1:Nnum3<n>=num<weidaoxu<n,N>+1>;endfunction[num3]=fft_dit<in1,k>ifnargin==1N=length<in1>;elseN=k;endin=zeros<1,N>;in<1:length<in1>>=in1;num=zeros<1,N>;num3=zeros<1,N>;k=log2<N>;forn=1:Nnum<n>=in<weidaoxu<n,N>+1>;endforn=1:kforc=1:2^<k-n>num1=zeros<1,2^n>;num2=zeros<1,2^n>;num1=num<<c-1>*2^n+1:c*2^n>;form=1:2^<n-1>num2<m>=num1<m>+num1<m+2^<n-1>>*exp<-i*<m-1>*2*pi/2^n>;num2<m+2^<n-1>>=num1<m>-num1<m+2^<n-1>>*exp<-i*<m-1>*2*pi/2^n>;endnum<<c-1>*2^n+1:c*2^n>=num2;endend%num3<1>=num<N>;%num3<2:N>=num<1:N-1>;num3=num;function[M,m,df]=fftseq<m,ts,df>%各參數(shù)含義與子函數(shù)T2F中的完全相同,完成fs=1/ts;ifnargin==2n1=0;elsen1=fs/df;endn2=length<m>;n=2^<max<nextpow2<n1>,nextpow2<n2>>>;M=fft_dit<m,n>;M=[M<n/2+1:n>,M<1:n/2>];m=[m,zeros<1,n-n2>];df=fs/n;function[out]=ifft_my<in>num1=conj<in>;num2=fft_dit<num1>;out=conj<num2>/length<in>;functionout=niweidaoxu<in,long>l=log2<long>;num1=zeros<1,l>;%out=0;fori=1:lnum1<i>=mod<in,2>;out=<in-mod<in,2>>/2;end%fori=1:l%num2<i>=num1<l+1-i>;%end%fori=1:l%out=<2^<i-1>>*num1<i>+out;%endclearalldt=0.001;df=0.2;fs=1/dt;t=[-10:dt:10-dt];y=sin<2*pi*100*t>+2*sin<2*pi*400*t>;[M1,m1,df1,f1]=T2F<y,dt,df,fs>;figure<1>subplot<211>;plot<t,y>;xlabel<'t'>;ylabel<'三角函數(shù)頻譜分析前的時(shí)域'>;axis<[-0.05,0.05,-5,5]>;subplot<212>;plot<f1,abs<M1>>;xlabel<'f'>;ylabel<'三角函數(shù)頻譜分析后的頻譜'>;figure<2>z=zeros<1,length<t>>;z=[zeros<1,length<t>/4>,[0:5*4/length<t>:5-5*4/length<t>