2020-2021人教版數(shù)學2-3課時2.4正態(tài)分布含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學年人教A版數(shù)學選修2-3課時分層作業(yè)：2.4正態(tài)分布含解析課時分層作業(yè)（十六）正態(tài)分布（建議用時:40分鐘)一、選擇題1.如圖是正態(tài)分布N（μ，σeq\o\al（2,1))，N(μ，σeq\o\al(2,2））,N(μ，σeq\o\al（2,3））(σ1，σ2，σ3〉0)對應的曲線，則σ1，σ2，σ3的大小關系是（）A．σ1>σ2>σ3B．σ3〉σ2>σ1C．σ1〉σ3〉σ2D．σ2>σ1>σ3A［由σ的意義可知，圖象越瘦高,數(shù)據(jù)越集中，σ2越小，故有σ1〉σ2〉σ3。］2．若隨機變量X~N(1，22),則Deq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）X)）等于（）A．4B．2C。eq\f（1，2)D．1D[因為X~N（1，22），所以D（X）＝4，所以Deq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）X))＝eq\f（1，4)D（X）＝1.］3．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0,σ2），若P(ξ>2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2）＝()A．0.447 B．0.628C．0。954 D．0.977C［∵隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0，σ2)，∴正態(tài)曲線關于直線x＝0對稱，又P（ξ>2）＝0.023，∴P(ξ<－2)＝0。023?！郟(－2≤ξ≤2）＝1－2×0。023＝0。954。]4．隨機變量ξ～N（2，10）,若ξ落在區(qū)間(－∞,k)和(k,＋∞)的概率相等，則k等于（)A．1 B．10C．2 D.eq\r(10)C［∵區(qū)間(－∞，k）和（k，＋∞)關于x＝k對稱,所以x＝k為正態(tài)曲線的對稱軸，∴k＝2，故選C。］5．已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0，32),從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為（)(附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2)，則P（μ－σ<ξ<μ＋σ）＝68。27％，P（μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95。45%。)A．4.56％ B．13.59％C．27.18% D．31。74%B［由正態(tài)分布的概率公式知P（－3＜ξ＜3)＝0。6827,P(－6＜ξ＜6)＝0.9545，故P（3＜ξ＜6）＝eq\f（P－6＜ξ＜6－P－3＜ξ＜3，2)＝eq\f(0.9545－0.6827，2)＝0.1359＝13。59％.]二、填空題6．若隨機變量X~N(μ,σ2），則P(X≤μ)＝________.eq\f（1，2）［由于隨機變量X~N（μ，σ2），其正態(tài)密度曲線關于直線x＝μ對稱，故P(X≤μ）＝eq\f（1,2).］7．在某項測量中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在（0，1］內(nèi)取值的概率為0.4,則X在(0,2］內(nèi)取值的概率為________．0.8[∵X～N(1，σ2），且P（0＜X≤1)＝0。4,∴P(0＜X≤2)＝2P(0＜X≤1）＝0。8.］8．工人制造的零件尺寸在正常情況下服從正態(tài)分布N（μ，σ2)，在一次正常的試驗中，取1000個零件,不屬于（μ－3σ，μ＋3σ）這個尺寸范圍的零件可能有______________________________個．3［因為P（μ－3σ<ξ≤μ＋3σ）≈0。9973，所以不屬于區(qū)間(μ－3σ,μ＋3σ）內(nèi)的零點個數(shù)約為1000×（1－0.9973）＝2.7≈3個．］三、解答題9．在一次測試中，測試結(jié)果X服從正態(tài)分布N（2,σ2）（σ>0)，若X在(0,2)內(nèi)取值的概率為0。2，求:(1)X在（0，4）內(nèi)取值的概率;(2)P(X〉4)．[解]（1)由X～N(2，σ2），對稱軸x＝2，畫出示意圖,因為P（0〈X<2)＝P(2<X〈4)，所以P(0〈X〈4)＝2P（0<X〈2)＝2×0。2＝0。4。(2)P(X>4)＝eq\f（1，2）[1－P(0〈X<4)］＝eq\f（1,2）（1－0。4)＝0。3。10．生產(chǎn)工藝工程中產(chǎn)品的尺寸誤差(單位：mm)X～N（0,1。52）,如果產(chǎn)品的尺寸與規(guī)定的尺寸偏差的絕對值不超過1.5mm為合格品，求:（1）X的密度函數(shù)；（2）生產(chǎn)的5件產(chǎn)品的合格率不小于80%的概率．[解］（1）根據(jù)題意，知X～N（0，1.52），即μ＝0,σ＝1。5，所以密度函數(shù)φ(x)＝eq\f(1,1。5\r（2π）)eeq\s\up10（－eq\f(x2,4.5)）。（2)設Y表示5件產(chǎn)品中的合格品數(shù)，每件產(chǎn)品是合格品的概率為P(｜X｜≤1。5）＝P(－1。5≤X≤1.5）＝0.6827,而Y～B（5，0.6827)，合格率不小于80%，即Y≥5×0。8＝4，所以P(Y≥4）＝P（Y＝4）＋P(Y＝5)＝Ceq\o\al(4，5）×0.68274×(1－0。6827）＋0。68275≈0。4929。1．在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N(0,1）的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為()附：若X～N（μ，σ2)，則P(μ－σ〈X≤μ＋σ）≈0。6827，P(μ－2σ〈X≤μ＋2σ)≈0。9545.A．2387 B．2718C．3414 D．4777C[由P（－1〈X≤1）＝0。6827，得P(0〈X≤1)≈0。3414，則陰影部分的面積約為0.3414，故估計落入陰影部分的點的個數(shù)為10000×eq\f（0.3414，1×1）＝3414。］2．已知一次考試共有60名同學參加,考生的成績X～N（110，25)．據(jù)此估計,大約應有57人的分數(shù)在區(qū)間()A．(90,110]內(nèi) B．(95,125]內(nèi)C．（100，120]內(nèi) D．（105，115]內(nèi)C[eq\f（57，60）＝0。95,故可得大約應有57人的分數(shù)在區(qū)間（μ－2σ，μ＋2σ]內(nèi)，即在區(qū)間（110－2×5，110＋2×5］內(nèi)．]3．已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在區(qū)間(－3，－1）里的概率和落在區(qū)間（3,5)里的概率相等，那么這個正態(tài)總體的數(shù)學期望為________．1[由題意知區(qū)間(－3，－1）與（3，5）關于直線x＝μ對稱,因為區(qū)間（－3，－1)和區(qū)間（3，5)關于x＝1對稱，所以正態(tài)分布的數(shù)學期望為1.]4．已知正態(tài)分布N（μ，σ2）的密度曲線是f(x)＝eq\f(1,\r（2π）σ)·eeq\s\up10(eq\f（－x－μ2，2σ2))，x∈R的圖象．給出以下四個命題：①對任意x∈R,f（μ＋x)＝f（μ－x)成立；②如果隨機變量X服從N（μ,σ2)，且F(x)＝P(X<x),那么F（x)是R上的增函數(shù)；③如果隨機變量X服從N（108,100），那么X的期望是108，標準差是100;④隨機變量X服從N（μ,σ2）,P（X<1）＝eq\f（1，2），P（X〉2）＝p，則P(0<X<2)＝1－2p.其中，真命題的序號是________．（寫出所有真命題的序號）①②④［如果隨機變量X~N(108，100)，所以μ＝108，σ2＝100,即σ＝10,故③錯,又f(μ＋x)＝eq\f（1,\r(2π)σ）eeq\s\up10(－eq\f（μ＋x－μ2,2σ2))＝eq\f(1,\r(2π）σ)eeq\s\up10(－eq\f(x2，2σ2)),f（μ－x）＝eq\f（1，\r(2π)σ)eeq\s\up10(eq\f(μ－x－μ2，2σ2）)＝eq\f（1,\r(2π)σ)eeq\s\up10(－eq\f(x2,2σ2）)，故①正確，由正態(tài)分布密度函數(shù)性質(zhì)以及概率的計算知②④正確,故填①②④。]5．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：（1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)eq\o（x，\s\up6（－))和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）;（2）由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－）），σ2近似為樣本方差s2。①利用該正態(tài)分布,求P(187。8〈Z<212。2）；②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187。8，212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求E(X）．附：eq\r（150）≈12。2.若Z~N（μ，σ2)，則P（μ－σ〈Z〈μ＋σ)≈0。6827，P（μ－2σ<Z<μ＋2σ）≈0。9545。［解］(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)eq\o（x，\s\up6（－）)和樣本方差s2分別為eq\o（x，\s\up6（－)）＝170×0。02＋180×0。09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0。24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝（－30)2×0.02＋(－20）2×0。09＋(－10)2×0。22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.（2)①由(1）知，Z~N（200，150）,從而P(187。8<Z<212.2）＝P(2