基本初等函數(shù)定義域、值域、4大性質(zhì)、零點(diǎn)問題等考法梳理

基本初等數(shù)題型梳理()單調(diào)性值域問）一次函數(shù)例1

若函數(shù)

f()在、b范圍是【析

f()

ax2,xx＜∵函數(shù)

f()在b）二次函數(shù)例2

函數(shù)

f()xx

在上調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)

的取值范圍【析

)xf()xxx＜m∵函數(shù)

f()x

在上調(diào)遞增m∴2mm

m變1

函數(shù)

yf()

在

[2,

上單調(diào)遞增，且

f()f)

恒成立，則關(guān)于的等式f(fx

的解集為________【析

f((4)

恒成立函數(shù)關(guān)于對(duì)稱函數(shù)

yf()在[2,單遞增，函數(shù)在

單調(diào)遞減，關(guān)于的等式f(f(2x

，x

，解得

x

，即

22或

，解得

11x，集為22）分式函數(shù)例3

函數(shù)

fx)

axx

在(增函數(shù)求實(shí)數(shù)的取值范圍

axa(2)a1axa(2)a1【析

f)

在(x

上為增函數(shù)易知1a0，

a＞

變2

設(shè)函數(shù)

f(x)

)

間M=[]()合={

f(),M

}則使N立的實(shí)數(shù)對(duì)a)有幾個(gè)？【析函數(shù)f（x）

(x0)x(x0)

，圖象如圖所示由圖象可知y=（x）在上是連續(xù)單調(diào)遞減函數(shù)。而=｛yf（x∈M表示函數(shù)定義域?yàn)椋剑踑］時(shí)其值域?yàn)椋?。由＝得解?b=0，這與a<b矛盾，所以0個(gè)變3

若函數(shù)

y

xx

在區(qū)間

上的值域?yàn)?/p>

，則

．【析

y

xx+2）==1+xxx∵＜-，∴0∴

y

x4b在區(qū)間,是函數(shù)，∴＜＜x又∵值域?yàn)?/p>

4，a即b∴ab16）冪函數(shù)型例4

f()

(*)R1f()2f(afa

9**6339**633【析1冪函數(shù)fxx∈的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上調(diào)增可得3m解m3∈可得m2m1xx的象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，舍去；m2xx的象于原點(diǎn)對(duì)稱，且在R上單調(diào)遞增，成x21fRf+30fa3a44aa+13a例5

設(shè)冪函數(shù)

f(x)axk(aRkQ)

的圖像過點(diǎn)

．（1求k,a

的值；（2若函數(shù)

)()x

在[0,2]

上的最大值為3，實(shí)值．【析）

a2；f)x

過點(diǎn)(

，則(

22（2由（）知

f()x

2，h(x)22

當(dāng)

時(shí)，x)

在[0,2]

單調(diào)遞減，

h(x)

max

(0)b

；當(dāng)

0

時(shí)，h()

max

)b或）當(dāng)

2

時(shí)，x)

在[0,2]

單調(diào)遞增，

h()

max

(2)bb2()綜上，的為

．變4（Im+1試求實(shí)數(shù)m的值范圍1（II）+1（32

，試求實(shí)數(shù)的值范圍3（III）+15＜（3-2

，試求實(shí)數(shù)的值范圍（IV）-2，試求實(shí)數(shù)m的值范圍【析）知冪函數(shù)在R上單遞增，∴m，解得

（II易知冪函數(shù)x

12在定義域

上單調(diào)遞增∴03-2

，解得

≤

23

．

xxxx（III）當(dāng)圖象位于第一象時(shí)，

，解得

2（ii）當(dāng)圖象位于第三象限時(shí)，

，3m，此時(shí)無解（iii）當(dāng)圖象位于第一和第三限時(shí)，綜上可得，

，解得m，（IV）根據(jù)冪函數(shù)yx圖易知，距離軸越遠(yuǎn)y值大∴

3-2m

，兩邊平方后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解得

m＞）指數(shù)函數(shù)例6

已知函數(shù)y)

，求其單調(diào)區(qū)間及值域．【析設(shè)t()

x

4則t()的調(diào)遞減區(qū)間為，增區(qū)間為[，函)

t

為減函數(shù)，故函數(shù)y

的單調(diào)遞增區(qū)間為(，遞減區(qū)間為[y

域?yàn)?/p>

]例7

已知函數(shù)f(x)

．（1當(dāng)f(x時(shí)，求x

的值；（2當(dāng)，1]時(shí)求()的大值和最小值．【析1當(dāng)(即4

時(shí)(2

)

2

，

4)(2

2，2，，

x2（2f())2，f()當(dāng)，即時(shí)函數(shù)的最小值

f

min

)2當(dāng)，時(shí)函數(shù)的最大值

f

x)

變5

已知定義域?yàn)榈臄?shù)f(x

ab

xx

是奇函數(shù)（1求，b的值．（2判斷()的單調(diào)，并用定義證明（3若存在t，f(

)ftt

)成，k的值范圍【析）

fx)是上奇數(shù)，f(0)，

f（）

ab

1212

a1，即b1b經(jīng)驗(yàn)證符合題意．a(chǎn)（2f)

xx

，f()在上減函數(shù)，證明如下：任取，R，x，f()f()

2(2)1(1)(1

)

，x

x

x

，f(x)f(x)即f(x)f()

，f(x)在R上減函數(shù)．（3

f(k

)f(4t

)f(x)是函f(

)(2t

t)又

f(x是函數(shù)，

t

t

t，()

t，題轉(zhuǎn)化為gt)

，t)

（2變6

已知定義在上奇數(shù)fx)

，為數(shù)．（1求的）單調(diào)性定義證明f()在[，是函數(shù)；（3解不等式f(xf．【析）

fx)是義在上奇函數(shù)，f，即，得a（2f)

，設(shè)xx

，f(x)f(x)

，x

0，3

，3

，即

，3

f(x)f(x)，f(x)[是減函數(shù)．（3f(x)奇函數(shù)且在[0，單遞減，fx在R上減函數(shù)．f(xf(2xf(2x3)(xf(1)，2x解得

x．

xxxxx2max1xxxxx2max12在變7

設(shè)

f(x,

cc(a)f(b)

，則下列成立的是（）A.3

B.3ba

caca2【析由題，

f(x)

，作出

f

的圖像，如圖所示，由

a()ff(b

可知三點(diǎn)位置如圖所示，即

，又y為增函數(shù)，故3b，A,錯(cuò)；又

)f(a)

，即1cac，選D。變8

已知函數(shù)

f()

（2x

）.（1若

，求函數(shù)

f

的值域；（2若方程

f

有解，求實(shí)數(shù)的值范圍【析）f()

）設(shè)，

1g(t)24

，（1當(dāng)

時(shí)，g(t)

2

3t,，24所

(t)min

，

153g()()4

，所以函數(shù)f

；（2方程

f

有解等價(jià)于函數(shù)

g(t)2

在

上有零點(diǎn)，也即

1t在2

上有解，而函數(shù)

yt在,2上單調(diào)遞減，2t故函數(shù)

y

6565上的值域?yàn)?,，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為8

f0,40，，f0,40，，時(shí)，1）對(duì)數(shù)函數(shù)例8

（1函數(shù)

1的定義域?yàn)開，最小值_2【析由題意得，得

f

，tx

1

遞，且

1

22

f

[

變9

函數(shù)

f()

的單調(diào)增區(qū)間是f

的值域_．【析函數(shù)

f()

的定義域滿足x20得

x

所以函數(shù)

f()

1的定義域?yàn)?/p>

設(shè)t2，由

yt12

是單調(diào)遞減函數(shù)由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的質(zhì)，即求tx的區(qū)間由二次函數(shù)的性質(zhì)可得t在

上單調(diào)遞減又當(dāng)

1，t2x28由

yt12

是單調(diào)遞減，所以

f(log2

，所以

f

x

的值域是

[3,例9

已知函數(shù)

f()

x

，若它的定義域?yàn)镽，，它的值域?yàn)镽，則a__________．【析函數(shù)

f()lg

x

的定義域?yàn)镽，x

恒立，故

，即a；函數(shù)

f(x

x

為R，

是函數(shù)

x

x

值域的子集，則

，即

a

例1函

f

的值范圍是（）A

0,1

B

．

．

22【析若函數(shù)，所以選是正確的.

在

上為減函數(shù)則，計(jì)算得出變1函f(log(x23)12

在(為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a取值范圍【析不妨令

t

∵

t

在定義域上是減函數(shù)又∵f(x212

在(為函數(shù)∴

t

在(內(nèi)減函數(shù)且t0恒立∴1ttt00minx變1已

f(x)

a,logxxa

是R上的函數(shù)，求實(shí)數(shù)

的取值范圍【析∵

f(x)

a,xlogxxa

是R上減函數(shù)∴

y在上調(diào)遞減，即1a

＜

①ya2

上單調(diào)遞減，即

a，a＜

13

②且

()2

y)1

aaa

17

③綜合①②③知，

1＜7變1已函數(shù)

f(x)loga

（

，且

）在

上的最大值為2.（1求（2若

的值；

，求使得

ff()

成立的的值范圍.【析）由題意，當(dāng)a，函數(shù)

f()loga

在

上單調(diào)遞增，因此

f(x)f(2)22max

，解得a

2；

,222,222當(dāng)

0

時(shí)，函數(shù)

f(x)loga

在

上單調(diào)遞減，因此()

max

1f()4

a

14

，解得

綜上可知：或（2由不等式

ff(x)，即log(()2)aa

，又

，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得

0f()

，即

2x12

，解得

x4

變1

f()logx

mf()f()f(x)

[,n]

n【析因?yàn)?/p>

m

，且

f()f(

，所以

，且所以m，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)

f(x)

在區(qū)間[2n]得最大值所以

fm)log，之得m2

12

（負(fù)已舍）又mn，所nn

52變1已函數(shù)

fx)log(2ax9)(aa

（1當(dāng)a，求f()的值域和單調(diào)減區(qū)間；（2若fx)存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的值范圍．【析）當(dāng)

時(shí)，

f

log[

，設(shè)x

，由

0，

x得

，即函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

，此時(shí)t

，則

ylogt161010

，即函數(shù)的值域?yàn)?/p>

，要求

f

的單調(diào)減區(qū)間，等價(jià)為求

t

的單調(diào)遞減區(qū)間，t

的單調(diào)遞減區(qū)間為

的單調(diào)遞減區(qū)間為（2若

f

存在單調(diào)遞增區(qū)間，則當(dāng)

，則函數(shù)t

ax存單調(diào)遞增區(qū)間即可，則判別式a

得

a

或

a

舍，

當(dāng)

，則函數(shù)t存在單遞減區(qū)間即可，則判別式0得a或a綜上實(shí)數(shù)a的值范圍是a．）對(duì)勾函數(shù)

，此時(shí)不成立，例1已函數(shù)

f()

ax

(x

常數(shù)

)

,若函數(shù)

f(x)

在

x

上為增函數(shù)，求

的取值范圍【析）

a

，

f)

，在R

上遞增，符合（ii0，據(jù)質(zhì)：增增，易知

f(

遞增，符合（iii）根據(jù)耐克函數(shù)圖象知

a∴綜上知

））非基本初函數(shù)型例1函

f()

對(duì)于任意實(shí)數(shù)

、

都有

f(x)fx)f(

，且當(dāng)

x

時(shí)，f(

，

f(

，求函數(shù)

f()

在區(qū)間

[上值域。【析設(shè)

x＜x1

2

x-＞2

,∵當(dāng)x時(shí)f(

,∴

f(-x)＞2

，f()f()=f(f)22111f()＞f(x)yf)∴為增函數(shù)21xyf(0)令

。

∴

f()-fxf)02121令

yf(x)f()f()f()∴

y()

為奇函數(shù)，∴

ff(f((f(∴

y()在間[上值域?yàn)?4,2]

2222變1已函數(shù)

f(x)2

ax

(

常

若數(shù)f()

在

x

上為增函數(shù)，求a的值范圍【析設(shè)

2＜＜1

2fx)(x)2

x12[x(x)]xxxx∵函數(shù)

f(x)

在

x

上為增函數(shù)∴

f(x)(x)，∵-x＜0，412121即

a＜x()112

，又∵

x+x＞41

，

∴

(x1611

∴，

）冪指對(duì)函綜合例1函

(x)1

在區(qū)間，的范圍【析

f(x1x

，作出函數(shù)圖象，如圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)上的最大值為，

f

所以

，即

．變1

f()

13

1ax

（

是函數(shù)設(shè)函數(shù)

g()(x)，x2x

若

g(m)g

，其中

m,n

，試比較的小【析研究函數(shù)的單調(diào)性，逆用調(diào)性脫g即【析易得

a

，故

g()

13

11x

，

，下面考察函數(shù)的單調(diào)

11211212211x

1在單增，由復(fù)合函數(shù)得在13

單減；對(duì)于

2

x

211，設(shè)2（t()2

2t

在

1t,)單，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得在22

單減，再由函數(shù)單調(diào)性得性質(zhì)得

g)

13

121x

，在

單減，因?yàn)?/p>

g(m)(，

，所以m變17已知函數(shù)fx)

2

2xx

是定義域?yàn)镽的函數(shù).（1求實(shí)數(shù)的值并判斷函數(shù)

f()

的單調(diào)性；（2當(dāng)x[3,9]時(shí)不式

f(log

x)flogx)

恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍【析（1）∵函數(shù)是定義為R的函數(shù)，∴f

202

，解得

a

12

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)

a

12

時(shí)，函數(shù)

f

1為奇函數(shù)，即所求實(shí)數(shù)的為2設(shè)

,x1

且

x

，則

xxfx2x

2x∵

x

，∴

，

，∴

f12

，即f1

是上減函數(shù)（2由

fxxfxx3

∵

f

是上奇函數(shù)，∴

fx3

，又

f

是上減函數(shù)，所以

log

3

2

xlogx3

對(duì)x令

tlogx，對(duì)t

恒成立，思路一化二次函數(shù)區(qū)間上的最大值0）令

g

，該函數(shù)開口朝上，故t=1或t=2取最大值

∴gm

，解得

m

，所以實(shí)數(shù)的值范圍為

思路二離量）即

2t

對(duì)

t

恒成立，設(shè)

g(t)

2t

，則t)在間減，在區(qū)間2增所以

g()

，所以

m

，故實(shí)數(shù)的值范圍為()奇偶性周期性對(duì)稱性問題）分式函數(shù)例1已函數(shù)

f(x)

axx

，其中aR，函數(shù)

的圖象關(guān)于點(diǎn)(－，3)成中心對(duì)稱時(shí)，求a的；【析)部分分式

f(x)

axa(axx所以

f(

的對(duì)稱中心(－，a，與(－1比較得a）指數(shù)函數(shù)例1已函數(shù)

fx)

的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的_【析－1例1已知f(x

4

4

，則

f

的值為．【析500【思路一】從所求式中自變量的特征，被動(dòng)發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對(duì)稱

設(shè)若0，試去求f()f(1)

的值，易得

f()f(1

【思路二】主動(dòng)發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對(duì)稱性，)

4

4

2

，設(shè)(

，則其對(duì)稱中心為

11,，()的稱中心也為22

，故

f(x)f)

變1已知

a

，設(shè)函數(shù)fx)

202020192020x

，

x

的最大值、最小值分別為N

，則+

的值為

【析研究函的對(duì)稱性，利用函數(shù)

g(x(x)（中x)

是奇函數(shù)）在對(duì)稱區(qū)間

22上的最大值、最小值的和為【析f()

x

x120202020

設(shè)

(x)x)2020

則

()()

)20202020所以

g()

的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,)稱，所以f()的象關(guān)于點(diǎn)2

)

對(duì)稱故+

的值為4039變式9已知函數(shù)(x)

23x

滿足不等式

f()f2)的實(shí)數(shù)的取值范圍是

【析

y

23x

的對(duì)稱中心是，定義域R單減令

g(x)f()

23x

，則

x)

為上單調(diào)遞減的奇函數(shù)由

f(f(3得a2)f(，(3)因?yàn)?/p>

x)

為奇函數(shù)，故

()(

，所以

2)(又

g(x

在R單減，所以a

，解之得

a

12

，實(shí)數(shù)的值范圍是

）二次函數(shù)例1定義在上的奇

(x)

滿足

是偶函數(shù)，且當(dāng)

時(shí)，(x)

，則

f(

)

（）A

C.D【解析】由題意，

f(x+1)=f(

，則

fx)=f(

，T，31f()()()2

變20已

(x)

是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且

)=f(1)，x

時(shí)，f()=A

x

，則f(2018)=（）.0C.1D

【析由題意，

f)=)f(

，則

f(x)=f(+4)

，T，f(2018)f(2)(0)

變2設(shè)數(shù)

y()

的圖像關(guān)于直線

對(duì)稱．若

x

時(shí)，

f(x

，則當(dāng)x，f()

的解析式是（AC．

fx)3)2fx)

B．D．

fx)f(x【析當(dāng)x時(shí)則2，為x1時(shí)f(x2

所以

f(2)2

x

2

，又因?yàn)楹瘮?shù)

yf(x)

的圖像關(guān)于直線

x對(duì)稱，所以

f)f(x)

，所以

fx)

2

，故選）函數(shù)奇偶、單調(diào)性簡綜合運(yùn)具有對(duì)稱性且在一側(cè)單調(diào)的函數(shù)型不等式解法策略依然是脫意量的轉(zhuǎn)化方.例18函

yf(x)在[2,單遞增，且

f((4)

恒成立，則關(guān)于x的等式(fx

的解集為________【析

f()f)

恒成立函關(guān)于對(duì)，函數(shù)

y()

在

[2,

上單調(diào)遞增，且

x2，xx2

，∴或，x

12故不等式的解集為變22已函數(shù)

1,1)(2xf(x，x

f2)

x范【析

f()2x

f(x)

f()x[1

f

2)f(2

1x)24

x2x

2

0,,0,,1xx0,,0,,1xx

x

32

x

x

x

R

x

32

x

32

x0

x

x1

x

x

32

fxf(x

2)

(

[1

變2

已知函數(shù)

fx)

lg(2xlg(1x),x

，若不等式

f

x

在有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）3A

2B

C．

2D．【析當(dāng)

，則

f

；同理，當(dāng)x時(shí)

，則

f

；f

是偶函數(shù)，不等式

ff

單調(diào)遞增，ax在即x

，分離參數(shù)得

31在2,3上有解xx所以min

又

y

x

在

上單調(diào)遞減，

y

1x

在

上單調(diào)遞增，0

23()復(fù)合函的零點(diǎn)題復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題一般用換元分別探討內(nèi)外函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或范圍即.例1已函數(shù)

x(xx0

方程

f((x))

有個(gè)等實(shí)根數(shù)

的可能取值是（）A

B0C．

D．

【析作出函數(shù)【析作出函數(shù)

lnxx(xx0x(xx0

的圖象，結(jié)合選項(xiàng)逐一判斷即的圖象：

直接驗(yàn)算法：當(dāng)

1時(shí)，ff(x))2

，所以

11f(x)f(x),f(x2

，所以方程

f((x))

有不等實(shí)根；當(dāng)a時(shí)

f(f(x))，以f)f(x)

，所以

x

，所以方程

f(f())

有個(gè)等實(shí)根；當(dāng)

時(shí)，

f(f(所以f(x)f(),f(x)

，所以

xx,

1，且f(ee

方程有3根，所以方程

f((x))

有不等實(shí)根；當(dāng)

時(shí)，

f(f())

13

，所以

21f(x)f(x)3ef(x)3

，所以方程

f((x))

有不等實(shí)根；故選例2設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)

f(x

lg|xxx

，則關(guān)于

的方程f(x)bf()Ab且c；C．bc0；

有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是（）.Bb且；D．b且c0.【析設(shè)

f(x)=t

.如下圖，

y=(x)

1

22222222222222由函數(shù)圖象得：（1）當(dāng)（2當(dāng)

時(shí)，方程時(shí)，方程

f(xtf(xt

有不同的實(shí)數(shù)解4個(gè)；有不同的實(shí)數(shù)解3個(gè)；（3當(dāng)

時(shí)，方程

f(x)=t

沒有實(shí)數(shù)解所以，關(guān)于的方程

f2()(x)

有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是方程x

有個(gè)根，其中一個(gè)根等于0，一個(gè)根大于.此時(shí)應(yīng)b0且c0變2已關(guān)于的方程

x

2log(2)a2

有唯一解，則實(shí)數(shù)的值為【析通過對(duì)函數(shù)f()＝x＋2(2

＋＋2的究，可發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)偶函數(shù)，那么它的圖象就關(guān)于軸稱，若有唯一解，則該解必為．將x＝0代原方程，可求得＝1a－．就意味著，當(dāng)＝1或＝－3時(shí)，原方程必有一解，但是否是唯一解，還需進(jìn)一步驗(yàn)證．當(dāng)a時(shí)，原程為22log2

＋2)＝0，即2log(2

＋2)＝－x2該方程實(shí)數(shù)根的研究可能過函數(shù)y＝2logt和數(shù)＝4－t的點(diǎn)情況來進(jìn)行，不難發(fā)現(xiàn)，此時(shí)是符合題意的；而當(dāng)＝－3時(shí)原程為x