函數(shù)及其表示方法

函數(shù)及其表示方法（講義）知識(shí)點(diǎn)睛一、映射設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射．二、函數(shù)：（1）函數(shù)定義：設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作，x∈A．（2）構(gòu)成函數(shù)的三要素：________、_________、_______．（3）兩個(gè)函數(shù)相等______________、__________________．（4）區(qū)間的表示：設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a<b，規(guī)定：{x|a≤x≤b}=__________；{x|a<x<b}=__________；{x|a≤x<b}=__________；{x|a<x≤b}=__________；R=______________；{x|x≥a}=__________；{x|x>a}=__________；{x|x≤b}=__________；{x|x<b}=__________．（5）函數(shù)的表示方法：解析法、圖象法、列表法．分段函數(shù)：對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值范圍，函數(shù)的解析式不同．分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)值域的并集．復(fù)合函數(shù)：若且，則叫做函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)．精講精練給出以下對(duì)應(yīng)：①集合A={P|P是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)}，集合B={(x，y)|x∈R，y∈R}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與它的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)；②集合A={x|x是直角三角形}，集合B={x|x是圓}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：作三角形的外接圓；③集合A={x|x是希望中學(xué)的班級(jí)}，集合B={x|x是希望中學(xué)的學(xué)生}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：每一個(gè)班級(jí)都對(duì)應(yīng)班里的學(xué)生；④A=N，B={1，2}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：除以2的余數(shù)；⑤；⑥集合A={1，2}，集合B={0，1，}，對(duì)應(yīng)關(guān)系．是從集合A到集合B的映射的是__________________，是從集合A到集合B的函數(shù)的是_____________．已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6，7}，在下列A到B的四種關(guān)系中，存在函數(shù)關(guān)系的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4下圖中，能表示函數(shù)的圖象的是（）A．B．C．D．下列選項(xiàng)中，能表示的圖象的只可能是（）A．B．C．D．已知函數(shù)，則___________；___________；_________________；____________．已知函數(shù)滿足，則的值是_________．給出下列六組函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，表示同一函數(shù)的為_(kāi)________________．設(shè)全集為R，函數(shù)的定義域?yàn)镸，則CRM為（）A．(-1，1)B．[-1，1]C．(-∞，-1)∪(1，+∞)D．(-∞，-1]∪[1，+∞)函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．[-4，1] B．[-4，0)C．(0，1] D．[-4，0)∪(0，1]已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)___________．直接寫出下列函數(shù)的值域：①：________________；②：________________；③：________________；④：________________；⑤：________________；⑥(0≤x≤1)：________________．一個(gè)圓柱形容器的底部直徑是dcm，高是hcm，現(xiàn)在以vcm3/s的速度向容器內(nèi)注入某種溶液，容器內(nèi)溶液的高度xcm關(guān)于注入溶液的時(shí)間ts的函數(shù)解析式為_(kāi)_____________，函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)______________，值域?yàn)開(kāi)______________．（1）若函數(shù)的定義域?yàn)閇0，3]，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)___________．（2）若函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，1]，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)___________．（3）若函數(shù)[-]的定義域?yàn)開(kāi)___________．（1）已知，則=_____________；（2）若函數(shù)，則=_________；（3）已知函數(shù)，且，則a=_____．如圖所示，圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（）A．(0≤x≤2)B．(0≤x≤2)C．(0≤x≤2)D．(0≤x≤2)設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)____________．若函數(shù)，則的值域?yàn)開(kāi)_______．函數(shù)y=x2+2|x|-3的值域?yàn)開(kāi)_______．設(shè)，則使成立的x是（）A．1 B．0 C．±1 D．0或1函數(shù)分別由下表給出：x123x123131321則的值為_(kāi)____；滿足的x的值為_(kāi)______．函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．已知，，則_________________；．已知是一次函數(shù)，且，求．符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，[-3.5]=-4，[2.1]=2，試寫出=2[x]+1(-2≤x<2)的函數(shù)解析式，并作出函數(shù)的圖象．回顧與思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【參考答案】【知識(shí)點(diǎn)睛】二、1.（2）定義域 對(duì)應(yīng)關(guān)系 值域（3）定義域相同 對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致（4）[a，b] (a，b) [a，b) (a，b] (-∞，+∞)[a，+∞)(a，+∞)(-∞，b](-∞，b)【精講精練】1．①②⑥ ⑥2．B3．D4．D5．14 6．87．②③⑤8．C9．D10．11．①{3，5，7，9，11}；②；③(0，1]；④[0，2]；⑤(-∞，4]；⑥12． [0，h]13．（1）[1，2]；（2）[4，6]；（3）14．（1）；（2）5；（3）115．B16．(-∞，-1)17．(-1，2)∪{3}18．[-3，+∞)19．D20．1 221．A22．23．24．；圖象略函數(shù)及其表示方法（隨堂測(cè)試）若集合A=R，B=R，x∈A，y∈B，下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中，是從集合A到集合B的映射的是（）A． B．C． D．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a=____________.函數(shù)r=f(p)的圖象如圖所示．（1）函數(shù)r=f(p)的定義域是什么？（2）函數(shù)r=f(p)的值域是什么？（3）r取何值時(shí)，只有唯一的p值與之對(duì)應(yīng)？左圖中，曲線l左圖中，曲線l與直線m無(wú)限接近，但永不相交【參考答案】1．B2．23．（1）[-5，0]∪[2，6)（2）[0，+∞)（3）函數(shù)及其表示方法（作業(yè)）下列說(shuō)法中不正確的是（）A．函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù)在定義域中都有值相對(duì)應(yīng)B．函數(shù)的定義域和值域一定是不包括數(shù)0的數(shù)集C．定義域和對(duì)應(yīng)法則確定后，函數(shù)的值域也就確定了D．若函數(shù)的定義域中只含有一個(gè)元素，則值域中也只含有一個(gè)元素函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．0 C．0或1 D．1或2若，則方程f(4x)=x的根是（）A． B． C．2 D．-2若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镸={x|-2≤x≤2}，值域?yàn)镹={y|0≤y≤2}，則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是（）A．B．C．D．集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不表示從A到B的函數(shù)的是（）A． B．C． D．下列各項(xiàng)表示同一函數(shù)的是（）A．與B．與C．與D．與函數(shù)的圖象是圖中的（）A．B．C．D．已知，則f(x)的解析式為（）A． B．C． D．若一系列函數(shù)的解析式相同、值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”．那么函數(shù)解析式為，值域?yàn)閧9，19}的“孿生函數(shù)”共有（）A．4個(gè) B．6個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)設(shè)集合A={a，b}，集合B={0，1}，則從集合A到B的不同映射共有_________個(gè)．下列對(duì)應(yīng)關(guān)系：①A={1，4，9}，B={-3，-2，-1，1，2，3}，的平方根；②A=R，B=R，的倒數(shù)；③A=R，B=R，；④A={-1，0，1}，B={-1，0，1}，f：的平方．其中是從集合A到集合B的函數(shù)的是_____________．（1）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______________．（2）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)____________________．直接寫出下列函數(shù)的值域：①：________________；②：________________；③：________________；④：________________．已知函數(shù)的定義域?yàn)?2，5]，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__________．（1）若函數(shù)，則_________．（2）函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)______．函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-1，2]上的圖象如圖所示，此函數(shù)的解析式為_(kāi)_______________________．設(shè)函數(shù)，則的值為_(kāi)_______．已知，若，則a的值為_(kāi)___________．若函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)__________________．已知，，則________．函數(shù)，若f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，求方程的解．作出函數(shù)的圖象，并說(shuō)明y為何值時(shí)，有4個(gè)不同的x值與之對(duì)應(yīng)．【參考答案】1．B2．C3．A4．B5．C6．C7．C8．C9．D10．411．③④12．（1）[0，1]；（2）(-∞，-1)∪(-1，0)13．①；②[2，3]；③[-2，1]；④(-∞，1]14．(1，3]15．（1）-1；（2）1116．17．18．±119．(-3，1)∪(3，+∞)20．821．22．當(dāng)時(shí)，有4個(gè)不同的值與之對(duì)應(yīng)；圖象略閱讀材料 函數(shù)圖象變換一、平移變換要想求平移后函數(shù)的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)(x0，y0)在其圖象上，那么點(diǎn)(x0+h，y0)就在y=x2的圖象上，代入，可得y0=(x0+h)2，也就是同樣地，推導(dǎo)可以得到：將函數(shù)y=x2的圖象向右平移h(h>0)個(gè)單位，平移后函數(shù)的表達(dá)式為y=(x-h)2；將函數(shù)y=x2的圖象向上平移h(h>0)個(gè)單位，平移后函數(shù)的表達(dá)式為y=x2+h；將函數(shù)y=x2的圖象向下平移h(h>0)個(gè)單位，平移后函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-h．對(duì)應(yīng)地，也就是初中學(xué)習(xí)過(guò)的口訣“左加右減、上加下減”．以h=1為例，相應(yīng)的平移變換如下圖所示：練習(xí)題把拋物線向左平移3個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位后，所得圖象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線，求原二次函數(shù)的解析式．畫出函數(shù)的圖象．二、對(duì)稱變換以函數(shù)為例，將其圖象沿y軸翻折，得到另一個(gè)函數(shù)的圖象．要想求翻折后函數(shù)的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)(x0，y0)在其圖象上，由對(duì)稱性可知點(diǎn)(-x0，y0)在的圖象上，代入，可得，也就是同樣地，推導(dǎo)可以得到：將函數(shù)的圖象沿x軸翻折，得到的函數(shù)表達(dá)式為；將函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到的函數(shù)表達(dá)式為；首先，由上述平移變換可得，函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位得到的，如下圖所示：其次，根據(jù)不同的翻折情況，得到函數(shù)不