動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題解法探析

動(dòng)最問(wèn)解探一問(wèn)原：人教版八年級(jí)上冊(cè)第42頁(yè)探）如圖，要在燃?xì)夤艿郎辖ㄒ粋€(gè)泵站，分別向兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線(xiàn)最短？

、這個(gè)“確定最短路線(xiàn)”問(wèn)題，是一個(gè)利用軸對(duì)稱(chēng)解決極值的經(jīng)典問(wèn)題。解這類(lèi)問(wèn)題二基解：對(duì)稱(chēng)共線(xiàn)法。利用軸對(duì)稱(chēng)變換，將線(xiàn)路中各線(xiàn)段映射到同一直線(xiàn)上（線(xiàn)路長(zhǎng)度不變），確定動(dòng)位置，計(jì)算線(xiàn)路最短長(zhǎng)度。三一結(jié)：(

在線(xiàn)段

上時(shí)取等號(hào)（如圖1-2線(xiàn)段和最小，常見(jiàn)有三種類(lèi)型：（）|定|定”型兩定點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)，將動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)中的其中一個(gè)，映射到直線(xiàn)的另一側(cè)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)及另一定點(diǎn)的線(xiàn)段上時(shí)，由“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”可知線(xiàn)段和的最小值，最小值為定點(diǎn)段的長(zhǎng)。1.兩定一動(dòng)。如圖1-3，一定點(diǎn)

關(guān)于動(dòng)點(diǎn)

所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

，線(xiàn)段（

是另一定點(diǎn)）與的點(diǎn)即為距離和最小時(shí)動(dòng)點(diǎn)

位置，最小距離和

。例1（2006年河省考）如圖，正方形

的邊長(zhǎng)為，

是

的中點(diǎn)，

是對(duì)角線(xiàn)

上一動(dòng)點(diǎn)，則

的最小值是。解析：連結(jié)

與

關(guān)于直線(xiàn)在

對(duì)稱(chēng)，連結(jié)，。中，，，則

故

的最小值為例（年南中）圖，已知：拋物線(xiàn)

的對(duì)稱(chēng)軸為，軸交于、

兩點(diǎn)，與軸

交于點(diǎn)，中，

。（1求這條拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2已知在對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)

，使得

的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)

的坐標(biāo)。解析：（1）對(duì)稱(chēng)軸為，

，由對(duì)稱(chēng)性可知：

。根據(jù)

、、

三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，可求得拋物線(xiàn)為：（2

與

關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸

對(duì)稱(chēng)，連結(jié)，

與對(duì)稱(chēng)軸交點(diǎn)即為所求

點(diǎn)。設(shè)直線(xiàn)

解析式為：。、

代入得，。

時(shí)，，則2.兩定兩動(dòng)。兩動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)隨另一個(gè)動(dòng)（一個(gè)主動(dòng)，一個(gè)從動(dòng)），并且兩動(dòng)點(diǎn)間的距離保持不變。用平方法，可把兩動(dòng)點(diǎn)變成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類(lèi)型來(lái)解。例如4，河岸兩側(cè)有兩村村民來(lái)往路程最短？

、

兩個(gè)村莊，為了村民出行方便，計(jì)劃在河上修一座橋，橋修在何處才能解析：設(shè)橋端兩動(dòng)點(diǎn)為、，么

點(diǎn)隨

點(diǎn)而動(dòng)，

等于河寬，且

垂直于河岸。

將

向上平移河寬長(zhǎng)到

，線(xiàn)段

與河北岸線(xiàn)的交點(diǎn)即為橋端

點(diǎn)位置。四邊形

為平行四邊形，

，此時(shí)

值最小。那么來(lái)往

、

兩村最短路程為：。例(天津市中)在平面角坐標(biāo)系中形

的頂點(diǎn)

在坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)、分在軸、軸的正半軸上，

，，

為邊

的中點(diǎn)。（1若

為邊

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)

的坐標(biāo)；（2若

，

為邊

上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

，當(dāng)四邊形

的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)，

的坐標(biāo)。解析：作點(diǎn)

關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，。（1那么

交軸于點(diǎn)接時(shí)，則。

的周長(zhǎng)最小

可知，（2將

向左平移2個(gè)單位（

）到

點(diǎn)，定點(diǎn)、

分別到動(dòng)點(diǎn)、

的距離和等于為定點(diǎn)、到動(dòng)點(diǎn)

的距離和，即

。從而把“兩個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類(lèi)型。在

上截取，接

交軸于，邊形

為平行四邊形，

。此時(shí)值最小四形

的周長(zhǎng)最小

、

可求直線(xiàn)

解析式為，

時(shí)，，，。（也可以用）中相似的方法求

坐標(biāo)）（）|動(dòng)|動(dòng)”型兩動(dòng)點(diǎn)分別在兩條直線(xiàn)上獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，一動(dòng)點(diǎn)分別到一定點(diǎn)和另一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小。

利用軸對(duì)稱(chēng)變換，使一動(dòng)點(diǎn)在另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與定點(diǎn)的線(xiàn)段上（兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短），且這線(xiàn)段垂直于另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所在直線(xiàn)（連接直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短）時(shí)兩線(xiàn)段和最小，最小值等于這條垂線(xiàn)段的長(zhǎng)。例（陜省中）如圖，在銳角

中，，

，

的平分線(xiàn)交

于點(diǎn)，、

分別是

和

上的動(dòng)點(diǎn)，則

的最小值為4。解析：角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)是角的對(duì)稱(chēng)軸，

上動(dòng)點(diǎn)

關(guān)于

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

在

上，，，當(dāng)

時(shí)，

最小。作∵∴作

于，交

，交于，

于，例如7邊

是等腰梯形，、在上在

軸上，，，，，物線(xiàn)

過(guò)、

兩點(diǎn)。（1求、；（2設(shè)

是軸方拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，它到軸與

軸的距離之和為，

的最大值；

（3當(dāng)（）中

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使

取最大值時(shí)，此時(shí)記點(diǎn)

為，線(xiàn)段

與

軸交于點(diǎn)，

為線(xiàn)段

上一動(dòng)點(diǎn)，求解析

到

點(diǎn)與到，

軸的距離之和的最小值，并求此時(shí)，，可得：

點(diǎn)的坐標(biāo)。、、、；根據(jù)、

的坐標(biāo)可求出拋物線(xiàn)解析式為（2）設(shè)

，且

，則

，用零點(diǎn)分段法可得，。當(dāng)

時(shí)，

。此時(shí)

，則

。（3

軸與直線(xiàn)

關(guān)于

對(duì)稱(chēng)，作

軸于

，動(dòng)點(diǎn)

關(guān)于

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

在直線(xiàn)

上，，當(dāng)

垂直于直線(xiàn)

時(shí)，

的值最小。，根據(jù)

和

可求直線(xiàn)

的解析式

，則有

。由

可知，。作

，過(guò)

點(diǎn)作

軸的平行線(xiàn)

，交

于

，那么。

作

于，

則

，當(dāng)

是

于

的交點(diǎn)時(shí)，

與

重合，

有最小值。函數(shù)，時(shí)，

，即

。“定|+|動(dòng)動(dòng)動(dòng)定|”型：兩定到兩動(dòng)點(diǎn)的距離、以及兩動(dòng)之間距離和最小。例（年州）如圖，

，

是

內(nèi)一點(diǎn)，，、

分別是和

上的動(dòng)點(diǎn)，求

周長(zhǎng)的最小值。解析：分別作上時(shí)，∵

關(guān)于、周長(zhǎng)最小，

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、，接，，、，

在線(xiàn)段

∴。則

周長(zhǎng)的最小值為例（年施考）恩施到張家界高速公路與渝高速公路

垂直，如圖立直角坐標(biāo)系。著名的恩施大峽谷（

）和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山（）位于兩高速公路同側(cè)，

，

到直線(xiàn)

的距離為

，

到直線(xiàn)

和

的距離分別為

和。請(qǐng)你在

旁和

旁各修建一服務(wù)區(qū)

、

，使、、

、

組成的四邊形的周長(zhǎng)最小，并求出這個(gè)最