平行線與三角形內(nèi)角和的綜合應(yīng)用學(xué)案

平行線與三角形內(nèi)角和的綜合應(yīng)用學(xué)案知識梳理:三角形的內(nèi)角和等于1800．已知：如圖，△ABC．求證：∠BAC+∠B+∠C=180°．證明：如圖，過點(diǎn)A作MN||BC．∵M(jìn)N∥BC（已作）∴∠B=∠1，∠C=∠2 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠BAC+∠1+∠2=180°（平角的定義）∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代換）直角三角形兩銳角互余．例：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，P為線段AD上一點(diǎn)，PE⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)E．若∠BAC=60°，∠ACB=85°，則∠E的度數(shù)為_____________．解：如圖，∵AD平分∠BAC ()∴ ()∵∠BAC=60° ()∴∠1=30° (等式性質(zhì))在△ACD中，∠1=30°，∠ACB=85°∴∠EDP=180°-∠1-∠ACB=180°-30°-85°=65° ()∵PE⊥AD ()∴∠EPD=90° ()∴ ()①讀題標(biāo)注②梳理思路要求∠E的度數(shù)，可以將∠E放在Rt△PDE中，利用直角三角形兩銳角互余求解，由PE⊥AD，則∠EPD=90°，所以需要求出∠ADC的度數(shù)．結(jié)合已知條件，把∠ADC放在△ADC中利用三角形內(nèi)角和定理求出．③過程書寫解：如圖，∵AD平分∠BAC （已知）∴ （角平分線的定義）∵∠BAC=60° （已知）∴∠1=30° （等式性質(zhì)）在△ACD中，∠1=30°，∠ACB=85°∴∠EDP=180°-∠1-∠ACB=180°-30°-85°=65° （三角形內(nèi)角和等于180°）∵PE⊥AD （已知）∴∠EPD=90° （垂直的定義）∴ （直角三角形兩銳角互余）練習(xí)題解：如圖，在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°（已知）∴∠ABC=180°--=180°--=（）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABD=∠ABC=×58°=29°（）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，E是AC上一點(diǎn)，ED⊥BC，DF⊥AB，垂足分別為D，F(xiàn)．若∠AED=140°，則∠C=_____，∠BDF=__________，∠A=__________．_____________________________已知：如圖，AE∥BD，∠1=110°，∠2=30°，則∠C=______．已知：如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E．若∠A=75°，∠ADE=35°，則∠EDC=_________．已知如圖BD∥AE交△ABC的邊AC于點(diǎn)F∠CAE=95°∠CBD=30°，求∠C的度數(shù)．解：如圖，∵BD∥AE （___________________________）∴∠DFC=∠CAE（___________________________）∵∠CAE=95° （___________________________）∴∠DFC=95° （___________________________）∴∠CFB=180°-∠DFC=180°-95°=85° （平角的定義）在△CBF中，∠CBD=30°，∠CFB=85°（已知）∴∠C=__________________=______________=________（___________________________）已知：如圖，∠BAC與∠GCA互補(bǔ)，∠1=∠2．求證：∠E=∠F．求證：BE∥CF．證明：如圖，∵AB⊥BC，BC⊥CD (__________________________)∴_______=______=90° (垂直的定義)∵∠1=∠2 (__________________________)∴∠EBC=∠BCF (__________________________)∴______∥______ (__________________________)已知：如圖，∠1+∠2=180°，∠3=∠B．求證：∠AED=∠C．證明：如圖，∵∠1+∠2=180° （_____________________________）∠1+∠DFE=180° （_____________________________）∴______=______ （_____________________________）∴______∥______ （_____________________________）∴∠3=∠ADE （_____________________________）∵∠3=∠B （_____________________________）∴∠ADE=∠B （_____________________________）∴______∥______ （_____________________________）∴∠AED=∠C （_____________________________）已知：如圖，∠1=∠2，∠C=∠D．求證：∠F=∠A．證明：如圖，∵∠1=∠2（________________________________）∠1=∠DGF（________________________________）∴∠2=_______ （________________________________）∴____∥____（________________________________）∴∠D=_______ （________________________________）∵∠C=∠D （________________________________）∴______=∠C （________________________________）∴____∥____ （________________________________）∴∠F=∠A （________________________________）已知：如圖，AB∥CD，∠ABF=120°，CE⊥BF，垂足為E，則∠ECF=___________．已知：如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠ADE=40°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE∥BA交AC于點(diǎn)E，則∠C=_______．已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，AD交CE于點(diǎn)G，交BF于點(diǎn)H，且∠1=∠2，∠B=∠C．求證：∠A=∠D．證明：∵∠1=∠2 （______________________________）∠CGD=∠1 （______________________________）∴______=______ （______________________________）∴CE∥BF （______________________________）∴_____=∠3 （______________________________）∵∠B=∠C （______________________________）∴∠3=_________ （______________________________）∴_____∥_____ （______________________________）∴∠A=∠D （______________________________）在△ABC中，，則___，___．將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，則圖中∠1的度數(shù)為___________．如圖，直線m∥n，在△ABC中，∠C=90°．若∠1=25°，∠2=70°，則∠B=____________．已知：如圖，△ABC．求證：∠A+∠B+∠ACB=180°．證明：如圖，延長BC到點(diǎn)D，過點(diǎn)C作射線CE∥AB．∵CE∥AB∴∠A=_____ （________________________）∠B=_____ （________________________）∵∠1+∠2+∠ACB=180° （________________________）∴∠A+∠B+∠ACB=180° （________________________）已知：如圖，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°．求證：∠E=90°．證明：如圖，∵AB∥CD （___________________________）∴∠BAC+______=180° （___________________________）∵∠BAE=∠DCE=45° （___________________________）∴∠1+∠2=180°∠BAE∠DCE=180°45°45°=______ （等式性質(zhì)）∴∠E=180°(∠1+∠2)=180°90°=90° （）已知：如圖，∠1=∠ACB，∠2=∠3．求證：CD∥HF．證明：如圖，∵∠1=∠ACB （_______________________________）∴______∥______ （_______________________________）∴∠2=______ （_______________________________）∵∠2=∠3 （_______________________________）∴∠3=______ （_______________________________）∴______∥______ （_______________________________）已知：如圖，EF⊥BC，DE⊥AB，∠B=∠ADE．求證：AD∥EF．證明：如圖，∵EF⊥BC （___________________________）∴∠EFB=90° （垂直的定義）∴∠BEF+∠B=90° （直角三角形兩銳角互余）∵DE⊥AB （___________________________）∴∠AED=90° （___________________________）∴∠BAD+∠ADE=90° （___________________________）∵∠B=∠ADE （___________________________）∴∠BEF=∠BAD （___________________________）∴______∥______ （___________________________）【參考答案】∠A，∠C50°，72°58°，三角形的內(nèi)角和等于180°角平分線的定義50°，40°，80°∠ACD，∠B，∠B，∠A40°35°已知兩直線平行，同位角相等已知等量代換∴∠C=180°-∠CBF-∠CFB=180°-30°-85°=65°（三角形的內(nèi)角和等于180°）∵∠BAC+∠GCA=180°（已知）∴AB∥DG（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴∠BAC=∠DCA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠1=∠2（已知）∴∠BAC-∠1=∠DCA-∠2（等式性質(zhì)）即∠CAE=∠ACF∴AE∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴∠E=∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）已知∠ABC，∠BCD已知等角的余角相等BE，CF；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行已知平角的定義∠2，∠DFE；同角的補(bǔ)角相等AB，EF；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等已知等量代換DE，BC；同位角相等，兩直線平行兩直線平行，同位角相等已知對頂角相等∠DGF，等量代換CE，BD；同位角相等，兩直線平行∠FEH，兩直線平行，同位角相等已知∠FEH，等量代換DF，AC；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等30°60°已知