專題十二直線與圓的方程

【答案】 若a＝1，則直線

x＋2y－1＝0l∥ll

1a＝1

2，則1＝242．(2013·，7，易)垂直于直線y＝x＋1且與圓x2＋y2＝1相切于第一象限的直線方程是( A．x＋y－2＝0 D．x＋y＋【答案】 由題意可設圓的切線方y(tǒng)＝－x＋m，因為與圓相切于第一象限，所以m>0且＝|m|＝1，故m＝2，所以切線 x＋y－2＝0，故選23．(2013·遼寧，9，中)已知點O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB為直角三角形，則必有( aa

3a 【答案】C 若△OAB為直角三角形，則∠A＝90°或∠B＝90°.當∠A＝90°時，有b＝a3； 當∠B＝90°時，有0－a·a－0＝－1故

a 4．(2014·，9，難)設m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線＝0交于點P(x，y)，則|PA|＋|PB|的取值范圍是( A．[5，25] B．[10，25]C．[10，4 D．[25，4【答案】 直線x＋my＝0過定點A(0，0)，直線mx－y－m＋3＝0過定點m≠0x＋my＝0

1的斜率為－m

mx－y－m＋3＝0∵－m×m＝－1PABPA有最小值＝|AB|2＝10.因為|A|2＋|PB|2≥2|A||PB|所以2(|A|2＋|PB|2)≥(|A|＋|PB|)2當且僅當|PA|＝|PB|時取等號所以 ＝25，∴|PA|＋|PB|∈[綜合①②得|PA|＋|PB|∈[10，2 【答案】

2 6．(2013·，15，難)在平面直角坐標系內，到點A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距離 【解析】

∴AC的方y(tǒng)－2＝2(x－1)，即2x－y＝0，①BD的方y(tǒng)－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0，②ACBDP(2，4)取異于P點的任一點P′，PA，B，C，D【答案】考向 直線的傾斜角與斜lx軸相交時(x軸作為基準)，xl向上lxα0α的取值范圍0°≤α<180°.0 0，2 π2 2 00 0，2 π2 2 0每條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每條直線都存在斜率；傾斜角和斜率都是反映直線相對于斜率給定兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，經(jīng)過P1，P2兩點的直線的斜 為 經(jīng)過P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點的直線的方向向量是P，其坐標為(x2－x1，y2－y1)，若直線的1Ax＋By＋C＝0Ax＋By＋C＝0(1)(2015·山西四校聯(lián)考，5)直線l經(jīng)過A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)兩點，那么直線l的傾斜角α的取值范圍是( π B．0≤α42 C．0≤α D4≤α22my＋m＝0與線段PQ有交點，則實數(shù)m的取值范圍是 【解析】(1)l

π，所以2<α<π0≤α4(2)l：x＋my＋m＝0A(0，－1)m≠0時，kQA＝3，kPA＝－2，kl＝－1 1≤－21 0＜m≤1

當m＝0時，直線l的方x＝0，與線段PQ有交點∴實數(shù)m的取值范圍為 【答案】 【點撥】y＝tanxx∈[0，π)上的圖象，借助線段相交，求直線斜率范圍時，應注意傾斜角為90°時，直線無斜率．1.α的取值范圍的一般步驟k＝tanαα2．已知直線上兩點時，由斜率 (x≠x)來求斜率 知識結合在一起，要注意三角函數(shù)的靈活運用．B B(1)(2015·模擬，5)直線xsinα－y＋1＝0的傾斜角的變化范圍是 0，2 π

－4，4 D.0，4∪4 公共點，則直線l的斜率k和傾斜角α的取值范圍分別為 【答案】D 直線x·sinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.當0≤k≤1時，傾斜角的范圍是 0，4 當－1≤k＜0時，傾斜角的范圍是 4【解析】lABkPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，k<0時，傾斜角α為鈍角，k＝0時，α＝0，k>0時，α為銳角．

0≤k≤1時，0≤α4；當－1≤k<0時，4故傾斜角α的取值范圍 α∈0，4∪4 【答案】

0，4∪4

考向 求直線方方過點(x0，y0)，斜率kxx過兩點y－y1 x－x1x軸、y (1)(2014·福建，6)已知直線l過圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程是( (2)(2015·遼寧沈陽四校聯(lián)考，14)若A(1，－2)，B(5，6)，直線l經(jīng)過AB的中點M且在兩坐標軸上的截距相等，則直線l的方 【解析】(1)已知圓的圓心為(0，3)，直線x＋y＋1＝0的斜率為－1，則所求直線的斜率為1.所以所求直線的方y(tǒng)－3＝x－0，即x－y＋3＝0.(2)lx軸，ya.M(3，2)．若a＝0，即l過點(0，0)和(3，2)，∴直線l的 y＝2，即若a≠0，設直線l的 l ∴a＝5，此時直線l的 x＋y＝1，即 ，

綜上，直線l的方2x－3y＝0或方法二：易知M(3，2)，由題意知所求直線l的斜率k存在且k≠0，則直線l的方ky＝0x＝3－2；令x＝0，得y＝2－3k.k∴3－2＝2－3kk＝－1 ∴直線l的 y－2＝－(x－3)或

x＋y－5＝0

【答案】 (2)x＋y－5＝0或【點撥】在求直線方程時，應根據(jù)條件選擇適當?shù)闹本€方程形式，并注意各種形式的適用條件，如(2)中方法一用截距式方程時，注意截距為0時的情況．0.(2015·山東煙臺高三期中，17，12分)(1)A(－1，－3)

的斜率的－4(2)A(1，－1)l1：2x＋y－6＝0B且解：(1)k

(2)A(1，－1)yB坐標為(1，4)，此時|AB|＝5，即x＝1為所求直線方程．A(1，－1)y得兩直線交點為

k＋2(k≠－2，否則與已知直線平行B

k＋2 由已知得 －1

44 y＋1＝－3x＝1B(x0，6－2x0) 00即x2－6x＋5＝0，00∴x0＝1∴B(1，4)或∴所求直線的方x＝1或考向 兩直線的位置關k1＝k2A1B2－A2B1＝0， 或 k1＝k2兩條不重合直線平行時，記兩直線的斜率都不存在的情況；判定兩條直線垂直時，記點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距|P1P2|＝P0(x0，y0)l：Ax＋By＋C＝0離 ＝Ax＋By＋C1＝0C2＝0 |C1－C2|＝1＝0.①若l1∥l2，則α＝ ；②若l1⊥l2，則α＝ (2)(2015·山西太原檢測，17，12分)解答下列問題：3x＋4y－2＝01x＋3y－5＝0

3的距離是 的直線方程】當sinα≠0時，k1＝－1，k2＝－2sinsinl1∥l2，需－1＝－2sinsin2即sinα＝±2π所以πα＝kπ4，k∈Z2A1B2－A2B1＝02sin2α－1＝0，所以sinα＝±2B1C2－B2C1≠01＋sin即sinππα＝kπ4，k∈ZA1A2＋B1B2＝0l1⊥l22sinα＋sinα＝0sinα＝0α＝kπ，k∈Z(2)①設所求直線方則 ∴c＝3即所求直線方3x＋4y＋3＝0或②設所求直線方3535 ∴c＝－3即所求直線方3x－y－3＝0或Ax＋By＋C＝0Ax＋By＋C＝0A1x＋B1y＋C1λ(2x＋B2y＋C)00.m，nl1l2l1⊥l2l1ym＝0l1m≠0時，由m＝8≠n m

m＝4，n≠－2m＝－4，n≠28m·2＋8·m＝0m＝0時，l1⊥l2.8m＝0，n＝8時，l1⊥l2l1y考向 對稱問

點關于點對稱：若點M(x1，y1)與N(x，y)關于P(a，b)對稱，則由中點坐標得 直線關于點對稱問題的主要解法在已知線上取兩點利用中點坐標求出它們關于已知l1∥l2直線方程．P1(x1，y1)P2(x2，y2)l：Ax＋By＋C＝0P1P2l上，P1P2l， 由方程組 P1lP2的坐標(x2，y2)(lA＋B＋＝0|A|＝|BP1(x1y)P2(2y2)AlA′m：3x－2y－6＝0lm′lAl′【思路導引】(1)AlA′的坐標，利用對稱點的連線被對稱軸垂直平分，列【解析】(1)A′的坐標為(m，n)n＋2 解得

mB(2，0)Blm′

2 2

6 則由

×323ml由 得m′上的點為(x，y)m′

＝

l：2x－3y＋1＝0M，NAM′，Nl′易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由兩點式可得l′的方lAl′P(x，y)P(x，y)A(－1，－2)的對稱點P′(－2－x，－4－y)，P′l∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0對稱問題的解題策略解決中心對稱問題的關鍵在于運用中點坐標，而解決軸對稱問題，一般是轉化為求對稱點的問于直線l對稱，則直線l2的方程是( B方法一：l1l2ll1ll2ll2的交點(1，0)l2上．又易知(0，－2)l1l的對稱點為(x，y)

x即(1，0)，(－1，－1)為l2上兩點，故可得l2的方

∵(x1，y1)在l1上，∴2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即l2的方方向旋轉45°，得到直線的傾斜角為α＋45°，則( A．0°≤α≤180°B．0°≤α＜135°C．0°≤α＜180°D．0°＜α＜135°【答案】 分條件是 A．m＞1，且n＜1 B．mn＜0C．m＞0，且n＜0

【答案】 因為

A．0或 B．0或 【答案】 由l1⊥l2得∴a＝04．(2015·河北衡水一模，5)已知直線l的斜率為3，在y軸上的截距為另一條直線x－2y－4＝0的斜率的倒數(shù)，則直線l的方( A．y＝ B．y＝C．y＝ D．y＝－【答案】 ∵直線

1的斜率為∴直線l在y軸上截距為2，∴直線l的方y(tǒng)＝3x＋2，故選5．(2015·吉林通化二模，5)b>0，直線(b2＋1)x＋ay＋2＝0x－b2y－1＝0ab的最小值等于 23 23【答案】 ∵b>0，∴兩條直線的斜率存在．∵直線(b2＋1)x＋ay＋2＝0與直線x－b2y－1＝0相垂直 2，當且僅當b2＝1，即b＝1時等號成立．故選6．(2014·福建一模，5)若點(m，n)在直線4x＋3y－10＝0上，則m2＋n2的最小值是 23 23【答案】C 方法一：因為點(m，n)在直線4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0，欲求m2＋n2的最小值可先求（m－0）2＋（n－0）2的最小值，而（m－0）2＋（n－0）24m＋3n－10＝0上的點(m，n)4m＋3n－10＝0垂直時，原點到點(m，n)∴m2＋n2的最小，其值為

2＋3OAB中，OA＝2，OB＝3hm2＋n2

＝6 2×∴h＝ ＝6

∴m2＋n2的最小值Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|.若點A(－2，4)，M為直線x－y＋8＝0上的動點，則d(A，M)的最小值為( 【答案】B 由M為直線x－y＋8＝0上的動點可設M(x，x＋8)，由題意d(A，M)＝|x＋2|＋|x＋8－4|顯然當－4<x<－2時，d(A，M)28．(2014·江蘇啟東二模，5)l1，l2是分別經(jīng)過A(1，1)，B(0，－1)兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，直線l1的方程是 【解析】當兩條平行直線與A，B兩點連線垂直時，兩條平行直線間的距離最大．因為 B(0，－1)，所以 ＝2，所以兩條平行直線的斜率為k＝－，所以直線l1的方程是 2(x－1)【答案】思路點撥：l1，l2ABAB9(2014·河北秦皇島檢測14)直線l1y＝2x＋3關于直線ly＝x＋1對稱的直線l2的 【解析】由

l1l的交點坐標為故可設直線l2的方y(tǒng)＋1＝k(x＋2)，即在直線l上任取一點(1，2)，由題設知點(1，2)到直線l1，l2的距離相等，由點到直線的距離＝

k＝1k＝2(舍去2∴直線l2的方2【答案】

sin

cos10．(2015·山東濰坊二模，15)[0，2π))S

y＝1(a，b為給定的正常數(shù)，θπθ＝4

中直線的斜率為②Sa＝bSa>b時，S其中正確的 π【解析】①θ＝4時，S

sina

a＝－b，故①aπcosb②(0，0)S中的所有直線不可覆蓋整個平面，故②③當a＝b時，方xsinθ＋ycosθ＝a，存在定點(0，0)，該定點到S中的所有直線的距離均相 a2＋【答案】x 德陽三模，19，12分)f(x)＝x＋xPy＝xyM，N.(2)OOMPN

(0，＋∞)P2x2解：(1)

，x＋

＞0)，則|PN|＝x

0＝1 x

0(2)直線PM的 y－x0－2＝－(x－x0)，即y＝－x＋2x0＋ 解方程組 2y＝－x＋2x0＋x0x＝y(tǒng)＝x0＋2M點的坐標為＋2，x＋2S

2x ＝1 2 2x0＋12x0x0＋x0

2x 02 0xx0＝1x0＝1OMPN面積的最小值為x01．(2015·，2，易)圓心為(1，1)且過原點的圓的方程是( 【答案】 ∴圓心為(1，1)且過原點的圓的方2．(2015·，8，易)直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是( A．－2或12 B．2或－12C．－2或 D．2或【答案】 由x2＋y2－2x－2y＋1＝0，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，即圓心坐標為(1，1)，半徑為＝1，∴b＝2 33

B.

C.2

33＝3【答案】B 圓心段BC的垂直平分線x＝1上，故設圓心為(1，b)．又圓過A(1，0)，所以圓的半徑為b，故圓的方 (x－1)2＋(y－b)2＝b2.代入點B的坐標得1＋(3－b)2＝b2，解得b 2333＝3圓心到原點的距離

2 21＋3＝34．(2015·山東，13，中)P(1，3)x2＋y2＝1A，B，則A 【解析】 （1－0）2＋（Rt△BOP2則 22－1＝3，sin∠BPO＝1，∴∠BPO＝30°，同理|PA|＝3∠APO＝30°A·B＝|A||B2|cos∠APB＝(3)2×cos【答案】25(2015·10(10)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準 【解析】r m<0時，1＋2m1＋2m<1m＝0 m>0時，m2＋1≥2m(m＝1時取“＝”)r≤1＋1＝所以半徑最大的圓的標準方【答案】(O為坐標原點)，則 【解析】因為∠AOB＝120Rt△AOD

【答案】A的上方)，且(1)圓C的標準 (2)圓C在點B處的切線在x軸上的截距 【解析】(1)CCD⊥y∴r＝BC＝2，CT＝r＝2，∴C(1，∴圓C的標準方(x－1)2＋(y－(2)∵B(0，2＋1－2＋1－

∴切線方y(tǒng)＝x＋y＝0時，x＝－1－【答案】(1)(x－1)2＋(y－(2)－1－M，N(1)kM·N＝12解：(1)由題設，可知直線l的方l

4－3解4－3

4＋ 4－

4＋，所以k的取值范圍為 ， (2)y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得x

xx

，1

M·N＝x1x2＋y1y2

＋8＝12，解得k＝1，所以l的方Cl上，所以1．(2011·，3，易)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標是( 【答案】 將圓的方程配方得(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圓心坐標為(2，－3)，故選2．(2014·浙江，5，易)x2＋y2＋2x－2y＋a＝0x＋y＋2＝04a的值是 【答案】 由已知得圓的方(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，則圓心C(－1，1)，r2＝2－a，所以＝＝22 ∵r＝d

3．(2012·陜西，6，易)已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過點P(3，0)的直線，則 A．lCB．lCC．lC【答案】A 由x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，可知圓心為(2，0)，半徑r＝2，點P到圓心距離d＝1<2，∴點P在圓內，故直線與圓相交．4．(2013·，6，易)直線x＋2y－5＋5＝0被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為 6 6【答案】 圓的方程可化為(x－1)2＋(y－2)2＝5，則圓心(1，2)，半徑r＝|1＋4－5＋5故圓心到直線的距離 5所以弦長＝25．(2013·重慶，4，易)設P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，Q是直線x＝－3上的動點，則|PQ| 【答案】 －1)x＝－3246．(2014·，6，中)過點P(－3，－1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點，則直線l的傾斜角的取 0，6 0，3 0，6 0，3 【答案】 已知圓心坐標為(0，0)，半徑r＝1，由題意知直線l斜率一定存在，設直線l|y＋1＝k(x＋3)kx－y＋3k－1＝0.l

1k2－3k≤00≤k≤k＝tanα0≤α37(201·13A(51)B(13) ＝10，故圓C的方【答案】8．(2012·江西，14，中)x＋y－22＝0Px2＋y2＝1角是60°，則點P的坐標 【解析】|OP|＝ ＝1＝2 2 則

P(2，

【答案】(2，0 ，14，中)O：x2＋y2＝5l：xcosθ＋ysinθ＝10

πO直線l的距離等于1的點的個數(shù)為k，則

＜2【解析】O的圓心(0，0)l：xcosθ＋ysinθ＝1d＝1r＝5r－d＝5－1＞1O上在直線l的兩側各有兩點到直線l1.故共有4個點，k＝4.【答案】C1l上．(1)Cy＝x－1AC(2)CMMA＝2MOCa解：(1)Cy＝2x－4y＝x－1C(3，2)，于是切線的斜率必存在．設過A(0，3)的圓C的切線方y(tǒng)＝kx＋3，由題意得，|3k＋1|＝1，解得k＝0或－3，故所求切線 y＝3或 (2)因為圓心在直線y＝2x－4上，所以圓C的方(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.設點M(x，y)，因為所 x2＋y2222()2－1)為圓心，2M(x，y)CCD有公共點，則1≤由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得

12所以點C的橫坐標a

≤5 511．(2013·，20，13分，難)已知圓C的方x2＋(y－4)2＝4，點O是坐標原點．直線kxCM，Nk上的點， 設Q(m，n)是線段 2 1 1.請將上的點， 解：(1)y＝kxx2＋(y－4)2＝4，得k的取值范圍是(－∞，－3)∪(1(2)M，NlM，N的坐標分別為(x1，kx1)，(x2，kx2)，122由2 ＝1 ＋1，得 12 122

即

1由(*)式可知，x1＋x2＝8kx1x2＝12所以m2＝ 因為點Q在直線y＝kx上，所以k＝n，代入m2＝ 中并化簡 由m2＝36 及k2>3，可知0<m2<3，即m∈(－3，0)∪(0，3)，QC555于是，nm5 (m∈(－3，0)∪(0，5考向 求圓的方(1) r12(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB為直徑的圓的方(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2M(x0，y0)．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(2)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；(3)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?M在圓內．(1)(2014·山東，14)圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為23，則圓C的標準方 (2)(2015·模擬，11)圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點A(2，－3)，B(－2，－5)的圓的 【解析】(1)設圓心坐標為(a，b)r.由已知

別為|a|，|b|，所以|a|＝r，|b|2＋3＝r2.a＝2，b＝1，r＝2，所以圓C的標準方(x－2)2＋(y－1)2＝4.(2)CCx－2y－3＝0C的坐標為A，B 解得a＝－2.C的坐標為(－1，－2)r＝故所求圓的方方法二：設所求圓的標準方由題意得解得故所求圓的方方法三：設圓的一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心坐標為22

由題意得解得故所求圓的方【答案】 (2)(x＋1)2＋(y＋2)2＝10(或1.D，E，F(xiàn)a，b，rD，E，F(xiàn)a，b，r(2014·名校聯(lián)考，13)圓心在直線y＝－4x上且與直線l：x＋y－1＝0相切于點－2)的圓的方 【解析】設所求圓的方(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，22解得因此所求圓的方【答案】考向 與圓有關的最值問(1)(2014·，7)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為( (2)(2015·吉林長春模擬，18，12分)x，yx2＋y2－4x＋1＝0.y－x③求x2＋y2的最大值和最小值【解析】(1)C(3，4)r＝1P(x0，y0)＝(0＋，0)＝(0－，0)．即000即m2＝x2＋y2，m>0，00000 00∴mCP(x0，y0)到原點(0，0)，故選(2)原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)為圓心，3xx所以設y＝k，即y＝kxxxxy＝kxk取最大值或最小值，此時所以y的最大值為3，最小值為－3.x

＝3k＝±3.(如圖②方法一：y－xy＝x＋byy＝x＋bb22得最大值或最小值，此 ＝3，解得b＝－2±6.(如圖y－x的最大值為－2＋6，最小值為－2－x＝2＋3cosθ，y＝3sin y－x＝3sinθ－3cosθ－2＝6sinθ－4 ∴y－x的最大值為6－2，此時θ＝2kπ＋4(k∈Z)，y－x的最小值為－6－2，此時θ＝2kπ③x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值．(如圖c)x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－4【點撥】與圓上點(x，y)形如 形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題，即轉化為過點(a，b)和點t＝ax＋by形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離平方的最值問題(2015·洛陽質檢，19，12分)已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，Q(－2，3)．M(m，n)

解：(1)C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0可得C的坐標為(2，7)r＝2又 （2＋2）2＋（7－3）2＝4∴|MQ|max＝42＋22＝6|MQ|min＝42－22＝2(2)可 表示直線MQ的斜率設直線MQ的方即

MQC≤2≤22－3≤k≤2＋

2＋2－

考向 直線與圓、圓與圓的位置關設圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d

y(x)x(y)解解43210置關系是

(1)(2013·陜西，8)M(a，b)O：x2＋y2＝1ax＋by＝1O相切B．相交C．相離D．不確定(2)(2014·湖南，6)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則 題(1)利用幾何法判斷；題(2)將圓C2的方程化為標準方程，利用圓心距等于兩圓半【解析】(1)M(a，b)x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1.又因為圓心(0，0)到直線的距離 25－m.從而 32＋42＝5.由兩圓外切得|C1C2|＝r1＋r2，即 ＝9【答案】 (1)(2012·山東，9)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關系為( A．內切B．相交C．外切D．相離(2)(2014·山東聊城二模5)圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于1的點有 個B．2個C．3 D．4【答案】B兩圓心之間的距離為d＝（－2－2）2＋（0－1）2＝17，r1＝2，r2＝3.則r2－r1＝1＜d＜r1＋r2＝5，故兩圓相交【答案】 因為圓心到直線的距離

13考向 圓的切線、圓的弦長的求llllll (2)(2015·山東濰坊一模，15)從直線l：x＋y＝1上一點P向圓C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切線，則 【解析】(1)由題意知圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4C(2，－1)r＝2C 32y－3＝0

4－9＝25 5

(2)C的方程可化為(x＋2)2＋(y＋2)2＝1C(－2，－2)lP(x，y)x＋y＝1則 PQ

|PQ|＝|PC|－r＝(2x－2x＋13)－1＝2x值23，此時切線長為 23＝

2x＝2

C的方程可化為(x＋2)2＋(y＋2)2＝1C(－2，－2)設過點P的切線與圓相切于點Q，則CQ⊥PQ， 2顯然，|PC|的最小值為圓心C到直線l的距離d＝|－2－2－1|＝525 462 －1＝22 【答案

246 46【點撥】解題(1)的關鍵是從圓心作弦的垂線構造直角三角形；題(2)方法一體現(xiàn)了解析幾何的基本l

l 幾何法：直線被圓截得的半弦長2drr

＋d1＋11＋1＋求得弦長|AB

|x1x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|

|y1－y2|過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程的求先求切點與圓心連線的斜率 過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的求當斜率存在時，設為k，切線方y(tǒng)－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為 2 B.2

22

(2)(2013·山東，13)過點(3，1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長 (1)【答案】 垂直于直線kx＋y＋4＝0，此時易得切線長AP＝2，∴CP＝ ＝5，∴k＝2，故選(2)【解析】設P(3，1)，圓心C(2，2)，則|PC|＝2.由題意知最短的弦過P(3，1)且與PC垂直，所以最短弦長為2 22－（2）2＝22.2【答案】2考向 直線與圓的綜合問(2014·課標Ⅰ，20，12分)P(2，2)C：x2＋y2－8y＝0Pl與CA，BABM，O為坐標原點．(1)M(2)當|OP|＝|OM|l的方程及△POM【思路導引】(1)利用圓的幾何性質轉化為M＝0求解；(2)主要是將|OP|＝|OM|PM【解析】(1)Cx2＋(y－4)2＝16C(0，4)M＝(x，y－4)，P＝(2－x，2－y)．由題設知M·P＝0，PCM的軌跡方程是(2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1，3)為圓心，2為半徑的圓．由于|OP|＝|OM|，故O段PM的PN3ON3l3故l的 又|OM|＝|OP|＝22，Ol的距離為410，|PM|＝410，所以△POM的面積為 Ⅱ2012y23.(1)P2(2)Py＝x的距離為2解：(1)P(x，y)P

Py2＋2＝r2，x2＋3＝r2故P點的軌跡方(2)P(x0，y0)222222 Py2－x2＝10000 由0000

得00Pr＝ 由0000

得00Pr＝故圓P的方x2＋(y－1)2＝3或 孝感一模，5)a∈－2，0，1，4x＋y＋ax＋2ay＋2a＋a－1＝0 圓的個數(shù)為 【答案】 方程a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0， a＝0，∴x2＋y2＝1，選圓C相切，則圓C的方( 【答案】 a＞0

3＝2?3a＋4＝±10?a＝2或a＝－14舍去)，則圓C的 (x－2)2＋(y－0)2＝22，即33(其中O為原點)，則k的值為( A．－3或3 32C．－2或 2【答案】A 因為直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P，Q兩點，且∠POQ＝120°(其中O為可得∠OPE＝30°，OE＝OPsin

O(0，0)y＝kx＋1

k＝±交于A，B兩點，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAMB，若點M在圓C上，則實數(shù)k等于( 【答案】 ∵四邊形OAMB為平行四邊形OAMB∴△OAMAB23.N(0，1)N2x5．(2014·山東濰坊一模，9)C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝02ax＋by＋6＝0(a，b)向圓所作的切線長的最小值是 【答案】 圓的標準方(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圓心為(－1，2)，半徑為2.因為圓關于2ax＋by＋6＝02ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0b＝a－3，點(a，d＝d＝＝＝＝a＝2時，d有最小值18＝32，此時切線長最小，為（32）2－（2）2＝16＝4

＞0)3x＋4y＋3＝0

D．(x－3)2＋(y－

【答案】 d

＋a a a35 ＝5當且僅當 a＝±2時成立＝a∵a＞0，∴a＝2時，d∴所求圓的 32 32【答案】 如圖所示∵P(1，∴|OP|＝又∵|OA|＝1Rt△APO∴|AB|＝2|OA|sin∠AOP＝

1

洛陽一模，12)Pl：x＝－2P＝λF(λ∈R)，分別為S，T，則|ST|的最小值為( 55

5

【答案】 ∵QM⊥PF，QMPF 即x

MM(y2，2y)到圓心(3，0)d，d2＝(y2－3)2＋2y2＝y(tǒng)4－4y2＋9∴y2＝2時，dmin＝此時的切線長為（5）2－（2）2＝3×

25 555∴|ST|的最小值為259(2014·14)(12)則實數(shù)k的取值范圍是 【解析】把圓的方程化為標準方程得 (y＋1)2＝16－3 2 16－32＞0，解得－83＜k＜8 3由題易知點(1，2)1＋4＋k＋4＋k2－15＞0，即k＞2k 8 8－3，－3∪2，3

8

8－3，－3∪2，3 易錯點撥：k>2k<－3Q.若M(m，n)為線段PQ上的動點，則 m＋n【解析】設切線為y＝kx＋2，則 k＝±3x∴k＝－∴y＝－3x＋2MPQ∴∴3＋1＝1 2m

( 3n 3m24＋m＋n1≥2(4＋23)＝2＋(m＝n＝3－1時取等號【答案】2＋l：y＝x＋m.(1)m＝4lC(2)lCa在(0，4]mC(－a，a)r＝2lC2tCldm＝4Cl22 ＝∴t2＝(2又a＝3lC2222222(2)CllC即2|m－2a|＝2a，∴m＝2a±2即lC∴m＝2a－22a＝(∵a∈(0，4]，∴m∈[－1，8－4

(時間：90分鐘分數(shù)：120分一、選擇題(10550分1．(2014·福建福州質檢，4)將直線y＝3x繞原點逆時針旋轉90°，再向右平移1個單位，所得到的 B．y＝－1 D．y＝1【答案】 ∵y＝3x繞原點逆時針旋轉90°得y＝－1，再向右平移1個單位得y＝－1 即 2．(2012·重慶，3)對任意的實數(shù)k，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝2的位置關系一定是( A．相離B．相切相交但直線不過圓心D【答案】 方法一：圓心C(0，0)到直線kx－y＋1＝0的距離為 ＜1＜2＝r，且圓kx－y＋1＝0恒過定點(0，1)CC.是 B. 【答案】 ∵直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行 |7＋3|

334．(2012·福建，7)直線x＋3y－2＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，則弦AB的長度等于 3355

【答案】

∴|AB|＝2|BC|＝222－12＝25．(2015·山東日照一模，6)P(2，－1)為圓(x－1)2＋y2＝25ABAB 【答案】 圓的圓心為C(1，0)．由圓的性質知，直線PC垂直于弦AB所在的直線，則—1 — ＝1.又由直線的點斜式方程得直線AB的 y－(－1)＝x－2，即 6(2015·8)3且θ為銳角，則該直線的斜率是 3

＝16AA．－

B．－ C. 3【答案】 依題意得，圓心到直線的距離等于半徑，即有|cos3

|cos

cosθ－cos2θ

cos

1不符合題意，舍去)cosθ－cos2θ

＝4

＝4cosθ θ為銳角，所以sinθ＝

cosθ＝－ ＝又 2，故該直線的斜率是－sin 3，故＝又7．(2015·山西太原六校聯(lián)考，8)P3x＋4y＋3＝0P 2 B.2

33 33【答案】 5值等于圓心C(1，1)到直線3x＋4y＋3＝0的距離，即10＝2，而四邊形PACB的面積等于5

PACB的面積的最小值是22－1＝3 |N|≥3|M＋N|，其中O是坐標原點，則實數(shù)m的取值范圍是( A．(－22，－2]∪[2，22)B．(－42，－22]∪[22，42)D．[－22，2【答案】 M＋N＝2D，|N|≥23|D|，|D|2＋1

2＝16，得|

1→2≥|D|2

→|D|≤2

＋4(2距 |D|＝|m|≤2，29．(2013·，5)已知過點P(2，2)的直線與圓(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線ax－y＋1＝0垂直，則a＝( 2 2【答案】 由題意知點P(2，2)在圓(x－1)2＋y2＝5上，設切線的斜率為k，則k·2 －2ax－y＋1＝0a，其與切線垂直，∴－2a＝－1，∴a＝2思路點撥：的取值范圍是 C．[－

2