（全國通用）2023高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何初步第1節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖教師用書文新人教A版

PAGEPAGE1第七章立體幾何初步[深研高考·備考導(dǎo)航]為教師授課、學(xué)生學(xué)習(xí)提供豐富備考資源[五年考情]考點2022年2022年2022年2022年2022年三視圖、空間幾何體的外表積和體積全國卷Ⅰ·T7全國卷Ⅱ·T4全國卷Ⅱ·T7全國卷Ⅲ·T10全國卷Ⅲ·T11全國卷Ⅰ·T6全國卷Ⅰ·T11全國卷Ⅱ·T6全國卷Ⅱ·T10全國卷Ⅰ·T8全國卷Ⅱ·T6全國卷Ⅱ·T7全國卷Ⅰ·T11全國卷Ⅰ·T15全國卷Ⅱ·T9全國卷Ⅱ·T15全國卷·T7全國卷·T8點、線、面的位置關(guān)系全國卷Ⅰ·T11全國卷Ⅰ·T18全國卷Ⅱ·T19全國卷Ⅲ·T19全國卷Ⅰ·T18全國卷Ⅱ·T19全國卷Ⅰ·T19全國卷Ⅱ·T18全國卷Ⅰ·T19全國卷Ⅱ·T18全國卷·T19[重點關(guān)注]綜合近5年全國卷高考試題，我們發(fā)現(xiàn)高考命題在本章呈現(xiàn)以下規(guī)律：1．從考查題型、題量兩個方面來看：一般是1～2個客觀題，一個解答題；從考查分值看，該局部大約占17～22分．2．從考查知識點看：主要考查簡單幾何體的三視圖及其外表積、體積、空間中線線、線面、面面的平行和垂直的關(guān)系，突出對空間想象能力、邏輯推理能力和正確迅速運算的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查．3．從命題思路上看：(1)空間幾何體的三視圖及其外表積、體積的計算，主要以小題的形式考查．(2)空間點、線、面之間位置關(guān)系的判斷與證明，特別是線線、線面、面面的平行與垂直，主要以解答題的形式考查．(3)根據(jù)近5年的高考試題，我們發(fā)現(xiàn)兩大熱點：①空間幾何體的三視圖及其外表積、體積的計算，空間位置關(guān)系有關(guān)命題的區(qū)分．②空間平行、垂直關(guān)系的證明．[導(dǎo)學(xué)心語]根據(jù)近5年全國卷高考命題特點和規(guī)律，復(fù)習(xí)本章時，要注意以下幾個方面：1．深刻理解以下概念、性質(zhì)、定理及公式．簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征；三視圖及其外表積、體積公式；三個公理及線面、面面平行和垂直的八個判定定理與性質(zhì)定理．2．抓住空間位置關(guān)系中平行、垂直這一核心內(nèi)容強化訓(xùn)練，不僅要注意平行與平行、垂直與垂直間的轉(zhuǎn)化，而且要重視平行與垂直間的化歸轉(zhuǎn)化．在推理證明中加強標(biāo)準(zhǔn)嚴(yán)謹(jǐn)性訓(xùn)練，防止因條件缺失、步驟混亂導(dǎo)致失分．3．把握命題的新動向，在保持命題連續(xù)性的同時，力求創(chuàng)新，空間的折疊與探索開放性問題的命題趨向值得重視．

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖————————————————————————————————[考綱]1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.3.會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式．1．簡單多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形；(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共點的三角形；(3)棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形．2．旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形任一直角邊所在的直線圓臺直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓直徑所在的直線3.空間幾何體的三視圖(1)三視圖的名稱幾何體的三視圖包括：正視圖、側(cè)視圖、俯視圖．(2)三視圖的畫法①在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線．②三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察到的幾何體的正投影圖．4．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)那么是(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．()(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)用斜二測畫法畫水平放置的∠A時，假設(shè)∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，那么在直觀圖中，∠A＝90°.()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改編)如圖7-1-1，長方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一局部，其中EH∥A′D′，那么剩下的幾何體是()圖7-1-1A．棱臺 B．四棱柱C．五棱柱 D．簡單組合體C[由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱．]3．(2022·全國卷Ⅰ)如圖7-1-2，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，那么這個幾何體是()圖7-1-2A．三棱錐B．三棱柱C．四棱錐D．四棱柱B[由題知，該幾何體的三視圖為一個三角形，兩個四邊形，經(jīng)分析可知該幾何體為如下圖的三棱柱．]4．(2022·天津高考)將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖7-1-3所示，那么該幾何體的側(cè)(左)視圖為()圖7-1-3B[由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體為圖①，故其側(cè)(左)視圖為圖②.]5．以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于________．2π[由題意得圓柱的底面半徑r＝1，母線l＝1，所以圓柱的側(cè)面積S＝2πrl＝2π.]空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)以下說法正確的選項是()【導(dǎo)學(xué)號：31222239】A．有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．四棱錐的四個側(cè)面都可以是直角三角形C．有兩個平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺D．棱臺的各側(cè)棱延長后不一定交于一點(2)以下命題：①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．其中正確命題的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3(1)B(2)B[(1)如圖①所示，可知A錯．如圖②，當(dāng)PD⊥底面ABCD，且四邊形ABCD為矩形時，那么四個側(cè)面均為直角三角形，B正確．①②根據(jù)棱臺的定義，可知C，D不正確．(2)由圓錐、圓臺、圓柱的定義可知①②錯誤，③正確．對于命題④，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，④不正確．][規(guī)律方法]1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進(jìn)行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例即可．2．圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系．3．因為棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐〞的解題策略．[變式訓(xùn)練1]以下結(jié)論正確的選項是()A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，那么此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線D[如圖①知，A不正確．如圖②，兩個平行平面與底面不平行時，截得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，那么B不正確．①②C錯誤．假設(shè)六棱錐的所有棱長都相等，那么底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，假設(shè)以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長．由母線的概念知，選項D正確．]空間幾何體的三視圖eq\a\vs4\al(?)角度1由空間幾何體的直觀圖判斷三視圖一幾何體的直觀圖如圖7-1-4，以下給出的四個俯視圖中正確的選項是()ABCD圖7-1-4B[該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個五面體，下面是一個長方體，且五面體的一個面即為長方體的一個面，五面體最上面的棱的兩端點在底面的射影距左右兩邊距離相等，因此選項B適合．]eq\a\vs4\al(?)角度2三視圖，判斷幾何體(1)某四棱錐的三視圖如圖7-1-5所示，該四棱錐最長棱棱長為()圖7-1-5A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2(2)(2022·全國卷Ⅱ)如圖7-1-6是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，那么該幾何體的外表積為()圖7-1-6A．20πB．24πC．28πD．32π(1)C(2)C[(1)由三視圖知，該四棱錐的直觀圖如下圖，其中PA⊥平面ABCD.又PA＝AD＝AB＝1，且底面ABCD是正方形，所以PC為最長棱．連接AC，那么PC＝eq\r(AC2＋PA2)＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3).(2)由三視圖可知圓柱的底面直徑為4，母線長(高)為4，所以圓柱的側(cè)面積為2π×2×4＝16π，底面積為π·22＝4π；圓錐的底面直徑為4，高為2eq\r(3)，所以圓錐的母線長為eq\r(2\r(3)2＋22)＝4，所以圓錐的側(cè)面積為π×2×4＝8π.所以該幾何體的外表積為S＝16π＋4π＋8π＝28π.][規(guī)律方法]1.由實物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖，按照“正側(cè)一樣高，正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬〞的特點確認(rèn)．2．根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體．(1)對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉．(2)明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖復(fù)原為直觀圖．(3)根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)．易錯警示：對于簡單組合體的三視圖，應(yīng)注意它們的交線的位置，區(qū)分好實線和虛線的不同.空間幾何體的直觀圖(2022·桂林模擬)正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()【導(dǎo)學(xué)號：31222240】A.eq\f(\r(3),4)a2 B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2 D.eq\f(\r(6),16)a2D[如圖①②所示的實際圖形和直觀圖，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，那么C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a，所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.][規(guī)律方法]1.畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規(guī)那么可以用“斜〞(兩坐標(biāo)軸成45°或135°)和“二測〞(平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z軸的線段長度不變)來掌握．對直觀圖的考查有兩個方向，一是原圖形求直觀圖的相關(guān)量，二是直觀圖求原圖形中的相關(guān)量．2．按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．[變式訓(xùn)練2]等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，那么由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________．eq\f(\r(2),2)[如下圖：因為OE＝eq\r(\r(2)2－1)＝1，所以O(shè)′E′＝eq\f(1,2)，E′F＝eq\f(\r(2),4)，那么直觀圖A′B′C′D′的面積S′＝eq\f(1＋3,2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).][思想與方法]1．畫三視圖的三個原那么：(1)畫法規(guī)那么：“長對正，寬相等，高平齊〞．(2)擺放規(guī)那么：側(cè)視圖在正視圖的右側(cè)，俯視圖在正視圖的正下方．(3)實虛線的畫法規(guī)那么：可見輪廓線和棱用實線畫出，不可見線和棱用虛線畫出．2．棱臺和圓臺是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐后得到的，所以在解決棱臺和圓臺的相關(guān)問題時，常“還臺為錐〞，表達(dá)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．[易錯與防范]1．確定正視、側(cè)視、俯視的方向，觀察同一物體方向不同，所畫的三視圖也不同．2．對于簡單幾何體的組合體，在畫其三視圖時首先應(yīng)分清它是由哪些簡單幾何體組成的，然后再畫其三視圖，易無視交線的位置，實線與虛線的不同致誤．課時分層訓(xùn)練(三十八)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖A組根底達(dá)標(biāo)(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以下說法不正確的選項是()A．棱柱的側(cè)棱長都相等B．棱錐的側(cè)棱長都相等C．三棱臺的上、下底面是相似三角形D．有的棱臺的側(cè)棱長都相等B[根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，棱錐的側(cè)棱長不一定都相等．]2．某空間幾何體的正視圖是三角形，那么該幾何體不可能是()A．圓柱 B．圓錐C．四面體 D．三棱柱A[由三視圖知識知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形，而圓柱的正視圖不可能為三角形．]3．(2022·云南玉溪一中月考)將長方體截去一個四棱錐后得到的幾何體如圖7-1-7所示，那么該幾何體的側(cè)視圖為()圖7-1-7ABCDD[易知側(cè)視圖的投影面為矩形．又AF的投影線為虛線，∴該幾何體的側(cè)視圖為選項D.]4．一個幾何體的三視圖如圖7-1-8所示，那么該幾何體的外表積為()【導(dǎo)學(xué)號：31222241】圖7-1-8A．3π B．4πC．2π＋4 D．3π＋4D[由幾何體的三視圖可知，該幾何體為半圓柱，直觀圖如下圖．外表積為2×2＋2×eq\f(1,2)×π×12＋π×1×2＝4＋3π.]5．(2022·全國卷Ⅱ)一個正方體被一個平面截去一局部后，剩余局部的三視圖如圖7-1-9，那么截去局部體積與剩余局部體積的比值為()圖7-1-9A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,7)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,5)D[由三視圖知該幾何體是由一個正方體截去了一個“大角〞后剩余的局部，如下圖，截去局部是一個三棱錐．設(shè)正方體的棱長為1，那么三棱錐的體積為V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，剩余局部的體積V2＝13－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,6),\f(5,6))＝eq\f(1,5)，應(yīng)選D.]二、填空題6．(2022·福建龍巖聯(lián)考)一水平放置的平面四邊形OABC，用斜二測畫法畫出它的直觀圖O′A′B′C′如圖7-1-10所示，此直觀圖恰好是一個邊長為1的正方形，那么原平面四邊形OABC的面積為________．【導(dǎo)學(xué)號：31222242】圖7-1-102eq\r(2)[因為直觀圖的面積是原圖形面積的eq\f(\r(2),4)倍，且直觀圖的面積為1，所以原圖形的面積為2eq\r(2).]7．如圖7-1-11所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動點，那么三棱錐P-ABC的正視圖與側(cè)視圖的面積的比值為________.【導(dǎo)學(xué)號：31222243】圖7-1-111[三棱錐P-ABC的正視圖與側(cè)視圖為底邊和高均相等的三角形，故它們的面積相等，面積比值為1.]8．某三棱錐的三視圖如圖7-1-12所示，那么該三棱錐最長棱的棱長為________．圖7-1-122eq\r(2)[由題中三視圖可知，三棱錐的直觀圖如下圖，其中PA⊥平面ABC，M為AC的中點，且BM⊥AC，故該三棱錐的最長棱為PC.在Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).]三、解答題9．某幾何體的三視圖如圖7-1-13所示．圖7-1-13(1)判斷該幾何體是什么幾何體？(2)畫出該幾何體的直觀圖．[解](1)該幾何體是一個正方體切掉兩個eq\f(1,4)圓柱后的幾何體.5分(2)直觀圖如下圖.12分10．如圖7-1-14，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，如圖7-1-15為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長為6cm的全等的等腰直角三角形．圖7-1-14圖7-1-15(1)根據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖