人教A版（2019）選擇性必修第一冊3.2雙曲線同步練習(xí)（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁人教A版（2019）選擇性必修第一冊3.2雙曲線同步練習(xí)一、單選題1．設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（

）A．1 B．2 C．4 D．82．不垂直于坐標(biāo)軸的直線與雙曲線的漸近線交于，兩點，若線段的中點為，和的斜率滿足，則頂點在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，且經(jīng)過點的拋物線方程是（

）A． B． C． D．3．設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．324．已知、為雙曲線的焦點，為與雙曲線的交點，且有，則該雙曲線的離心率為（

）．A． B． C． D．5．點到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線的左右焦點分別為、，過點的直線交雙曲線右支于A、B兩點，若是等腰三角形，且，則的周長為（

）A． B． C． D．7．過雙曲線的右支上的一點分別向圓：和圓：()作切線，切點分別為、，若的最小值為，則（

）A． B． C． D．8．已知橢圓，雙曲線為的焦點，為和的交點，若的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為2，和的離心率之積為，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．59．已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．10．設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．11．如圖，O是坐標(biāo)原點，P是雙曲線右支上的一點，F(xiàn)是E的右焦點，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（

）A． B． C． D．12．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的左支交于，兩點，線段的長為5，若，那么的周長是（

）A．16 B．18 C．21 D．26二、填空題13．雙曲線的右焦點到直線的距離為________．14．已知，若圓經(jīng)過雙曲線的焦點，則______．15．過拋物線上一點P(4，4)作兩條直線PA，PB（點A,B在拋物線上），且它們的斜率之積為定值4，則直線AB恒過定點____.16．已知雙曲線C：的一個焦點是，則它的離心率為______．17．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為____________．三、解答題18．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，且滿足，點的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）設(shè)，，若過的直線與交于，兩點，且直線與交于點.證明：（i）點在定直線上；（ii）若直線與交于點，則.19．已知雙曲線方程為1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的左、右焦點，離心率為2，點P為雙曲線在第一象限上的一點，且滿足·0，|PF1||PF2|＝6．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點F2作直線交雙曲線于A、B兩點，則在x軸上是否存在定點Q(m，0)使得為定值，若存在，請求出m的值和該定值，若不存在，請說明理由．20．雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為．（1）求雙曲線的方程；（2）若雙曲線的一弦中點為，求此弦所在的直線方程．21．已知等軸雙曲線C：(a>0，b>0)經(jīng)過點(，).（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點B(0，1).①過原點且斜率為k的直線與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點，求∠EBF最小時k的值；②點A是C上一定點，過點B的動直線與雙曲線C交于P，Q兩點，為定值，求點A的坐標(biāo)及實數(shù)的值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案.【詳解】，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，即，，，，即，解得，故選：A.本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用，涉及了勾股定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.2．C運用點差法得到得解【詳解】設(shè)，則，相減得，，所以，即，所以，．由題意設(shè)拋物線方程是，則．于是所求拋物線方程是．故選：C．3．B因為，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號的焦距的最小值：故選：B.本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.4．A設(shè)，則，將、用表示，即可求得該雙曲線的離心率.【詳解】由題意知，在中，，可設(shè)，則，由勾股定理可得，又由得，所以，.故選：A.5．A首先確定漸近線方程，然后利用點到直線距離公式求得點到一條漸近線的距離即可.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結(jié)合對稱性，不妨考慮點到直線的距離：.故選：A.6．A設(shè)，．根據(jù)雙曲線的定義和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，從而可得的周長.【詳解】由雙曲線可得．設(shè)，．則，，所以，．因為是等腰三角形，且，所以，即，所以，所以，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，的周長．故選：A．關(guān)鍵點點睛：根據(jù)雙曲線的定義求解是解題關(guān)鍵.7．A求得兩圓的圓心和半徑，則雙曲線的左右焦點為，，運用勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合三點共線時，距離之和取得最小值，計算即可得到所求值．【詳解】設(shè)、是雙曲線的左、右焦點，也是、的圓心，∴，顯然其最小值為，.故選：A.8．C設(shè)點在第一象限內(nèi)，的內(nèi)切圓與邊的切點分別為，雙曲線的焦距為，可得，結(jié)合雙曲線的定義，可得，即可求出，由和的離心率之積為，分別求出兩個曲線的離心率的表達(dá)式，可建立等式關(guān)系，進(jìn)而可求出的值.【詳解】不妨設(shè)點在第一象限內(nèi)，的內(nèi)切圓與邊的切點分別為，雙曲線的焦距為.則，因為點在雙曲線上，所以，則，又因為和的離心率之積為，而橢圓的離心率，雙曲線的離心率為，所以，解得.故選：C.關(guān)鍵點點睛：本題考查橢圓、雙曲線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)和的離心率之積為，建立等式關(guān)系.本題中根據(jù)的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)，可建立等式關(guān)系，得到4，可求出的值，再分別表示出和的離心率，由兩個離心率之積為，可求出的值.考查學(xué)生的邏輯推理能力，計算求解能力，屬于中檔題.9．A根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A關(guān)鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.10．D由拋物線的焦點可求得直線的方程為，即得直線的斜率為，再根據(jù)雙曲線的漸近線的方程為，可得，即可求出，得到雙曲線的方程．【詳解】由題可知，拋物線的焦點為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，因為，解得．故選：．本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．B令雙曲線E的左焦點為，連線即得，設(shè)，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【詳解】如圖，令雙曲線E的左焦點為，連接，由對稱性可知，點是線段中點，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，設(shè)，則，，，在中，，解得或m＝0（舍去），從而有，中，，整理得，，所以雙曲線E的離心率為．故選：B12．D根據(jù)雙曲線定義知，，，結(jié)合，從而計算出的周長的值.【詳解】∵，，∴，∴，∴的周長為．故選：D13．先求出右焦點坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式求解.【詳解】由已知，，所以雙曲線的右焦點為，所以右焦點到直線的距離為.故答案為：14．求雙曲線的焦點，代入圓的方程，即可求得的值.【詳解】雙曲線的焦點坐標(biāo)是，代入圓的方程，得，，，解得：.故答案為：15．設(shè)出點A和點B坐標(biāo)，表示出直線PA，PB的斜率，利用斜率之積等于4，得到坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后表示出直線AB，找到直線AB恒過的定點.【詳解】設(shè)A，B，則kPA=，同理，kPB=，kAB=.因為kPA·kPB=4，所以·=4，所以y1y2+4(y1+y2)+12=0.所以y1y2=-12-4(y1+y2).直線AB的方程為y-y1=，即(y1+y2)y-y1y2=4x.將y1y2=-12-4(y1+y2)代入上式得:(y1+y2)(y+4)=4(x-3)，所以直線AB恒過定點(3,-4).故答案為：(3,-4).16．##根據(jù)題意求出即可得出離心率.【詳解】由題可得，所以，所以離心率.故答案為：.17．2.通過向量關(guān)系得到和，得到，結(jié)合雙曲線的漸近線可得從而由可求離心率.【詳解】如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得則有，又OA與OB都是漸近線，得又，得．又漸近線OB的斜率為，所以該雙曲線的離心率為．本題考查平面向量結(jié)合雙曲線的漸進(jìn)線和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．18．（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.（1）根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式，由題中條件，得到，再由雙曲線的定義，即可得出結(jié)果；（2）（i）設(shè)直線的方程為，，，其中，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，得到，，表示出直線與的方程，兩直線方程聯(lián)立，求出交點橫坐標(biāo)為定值，即可證明結(jié)論成立；（ii）先同理得到點也在定直線上，設(shè)，，代入（i）中直線與的方程，得出，再計算，即證結(jié)論成立.【詳解】（1）由題意可知：，所以點到點與到點的距離之差為2，且，所以動點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支，設(shè)其方程為，其中，，所以，，所以，所以曲線的方程為.（2）（i）設(shè)直線的方程為，，，其中，.聯(lián)立，消去，可得，由題意知且，所以，.直線：，直線：①，由于點在曲線上，可知，所以，所以直線：②.聯(lián)立①②，消去可得，即，所以，所以，所以，所以點在定直線上.（ii）由題意，與（i）同理可證點也在定直線上.設(shè)，，由于在直線：上，在直線：上，所以，，所以，又因為，，所以，所以.思路點睛：求解圓錐曲線中動點在定直線上的問題時，一般需要根據(jù)題中條件，設(shè)出所需直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及題中條件，求出動點的坐標(biāo)滿足的關(guān)系時，從而可確定結(jié)果（一般得到動點橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為定值）.19．(1)x21(2)存在，m＝﹣1，定值為0（1）由離心率得，從而得，再由數(shù)量積為0得垂直，利用勾股定理得的關(guān)系式，從而求得得雙曲線方程；（2）直線斜率為0時，直接求出坐標(biāo)，計算出數(shù)量積，當(dāng)l的斜率不為0時，設(shè)l：x＝ty+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線方程代入雙曲線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入，由它為定值求得值，得結(jié)論．(1)由題意可得e2，可得c＝2a，b2＝c2﹣a2＝3a2，所以ba，又因為·0，|PF1||PF2|＝6．所以,由|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以可得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|＝4a2，而|PF1|2+|PF2|2＝4c2，所以4c2﹣12＝4a2，可得b2＝3，a2＝1，所以雙曲線的方程為：x21；(2)由(1)可得F2(2，0)，當(dāng)直線l的斜率為0時，l：y＝0，此時A(﹣1，0)，B(1，0)，由M(m，0)，則·m2﹣1，當(dāng)l的斜率不為0時，設(shè)l：x＝ty+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立，整理可得：(3t2﹣1)y2+12ty+9＝0，因為t2，y1+y2，y1y2，因為·(x1﹣m，y1)·(x2﹣m，y2)＝(ty1+2﹣m)(ty2+2﹣m)+y1y2＝(t2+1)y1y2+(2﹣m)t(y1+y2)+(2﹣m)2＝(t2+1)·(2﹣m)t·(2﹣m)2(2﹣m)2，要使?為定值，則，解得m＝﹣1，則，所以Q(﹣1，0)．定值為0．20．（1）；（2）.（1）求出橢圓焦點坐標(biāo)，得雙曲線的半焦距，再由準(zhǔn)線方程求得，從而可得，然后可得雙曲線方程．（2）設(shè)弦的兩端分別為，，代入雙曲線方程相減利用中點坐標(biāo)可求得弦所在直線斜率，從而得直線方程．【詳解】∵橢圓的焦點為，

∴∵一條準(zhǔn)線方程為，，解得，∴，∴雙曲線的方程為．（2）設(shè)弦的兩端分別為，．則有：．∵弦中點為，∴．故直線的斜率．則所求直線方程為：．思路點睛：本題考查雙曲線的中點弦方程，解題方法是點差法，已知圓錐曲線的弦的中點坐標(biāo)，可設(shè)弦兩端點坐標(biāo)為，代入圓錐曲線方程相減，結(jié)合中點坐標(biāo)得出弦所在直線的斜率，從而可得直線方程．注意橢圓、拋物線的弦中點需在曲線內(nèi)部，雙曲線的弦中點只要不在雙曲線即可．21．（1）；（2）①；②或者.（1）由題意，代入已知點建立方程，解之可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）①由對稱性可設(shè)，且，運用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算表示，又由可得，由此可得最小時，的值.②設(shè)過點的動直線為：設(shè)與雙曲線的方程聯(lián)立得，根據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系可求得且，由直