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上海市虹口區(qū)2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題
一、選擇題
i.已知在中,NC=90°,AC=3,BC=4,則tanA的值為()
344
A.-8?D.-
45
【答案】8
【解析】
【分析】銳角A的對(duì)邊。與鄰邊人的比叫做N4的正切,記作tanA,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】解:在用AABC中,
la加生,
AC3
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用,解題時(shí)注意:在m△AC8中,
ZC=90°,貝i]tanA=3.
b
2.已知向量方和B都是單位向量,那么下列等式成立的是()
A.a=bB.a+b=2C.a-b=0D.
向明
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量日和日都是單位向量,,可知國(guó)1=區(qū)|=1,由此即可判斷.
【詳解】解:A、向量方和5都是單位向量,但方向不一定相同,則〃=5不一定成立,故
本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
3、向量5和5都是單位向量,但方向不一定相同,則4+5=2不一定成立,故本選項(xiàng)錯(cuò)
誤.
c、向量m和5都是單位向量,但方向不一定相同,則〃-5=o不一定成立,故本選項(xiàng)錯(cuò)
誤.
。、向量方和5都是單位向量,則|源=區(qū)i=i,故本選項(xiàng)正確.
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量、單位向量,屬于概念題目,記住概念是解題的關(guān)鍵
3.下列函數(shù)中,屬于二次函數(shù)的是()
y=(x-2)--x2
【答案】C
【解析】
【分析】形如y=ax2+bx+c(a^O),a,b,c是常數(shù)的函數(shù)叫做二次函數(shù),其中a稱為二次
項(xiàng)系數(shù),b稱為一次項(xiàng)系數(shù),c為常數(shù)項(xiàng),x為自變量,y為因變量,據(jù)此解題.
【詳解】A.y=一一右邊不是整式,不是二次函數(shù),故A錯(cuò)誤;
x--2
B.y=Jx2一2右邊是二次根式,不是整式,不是二次函數(shù),故B錯(cuò)誤:
C.y=d—2是二次函數(shù),故C正確;
D.丁=(%-2)2-爐=%2-4%+4-%2=_4%+4是一次函數(shù),故D錯(cuò)誤,
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義,是基礎(chǔ)考點(diǎn),難度較易,掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.
4.將拋物線y=/一3向右平移2個(gè)單位后得到的新拋物線表達(dá)式是()
Ay=x2-1B.y=x2-5C.y=(x+2)2-3D.
y=(x-2)2-3
【答案】D
【解析】
【分析】先利用頂點(diǎn)式得到拋物線y=3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3),再利用點(diǎn)平移的坐
標(biāo)規(guī)律得到點(diǎn)(0,-3)平移后所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-3),然后利用頂點(diǎn)式寫出平移后
得到的拋物線的解析式.
【詳解】解:???原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3),
y=/-3向右平移2個(gè)單位后得到的新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3),
...新拋物線表達(dá)式是y=(x—2)2-3.
故答案為:D.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的平移;得到新拋物線的頂點(diǎn)是解決本題的突破點(diǎn),用到的
知識(shí)點(diǎn)為:二次函數(shù)的平移不改變二次項(xiàng)的系數(shù).
S.如圖,傳送帶和地面所成斜坡的坡度i=l:2.4,如果它把某物體從地面送到離地面10
米高的地方,那么該物體所經(jīng)過的路程是()
傳送帶
/^777777777777777777777
A.10米B.24米C.25米D.26米
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)坡度的定義,由勾股定理即可求得答案.
【詳解】解:如圖,
由題意得:斜坡AB的坡度:i=l:2.4,AE=10米,AE1BD,
1
?I=---=---,
BE2.4
;.BE=24米,
...在RJABE中,AB=yjAE2+BE2=26(米)?
故選:D.
【點(diǎn)睛】此題考查了坡度坡角問題.此題比較簡(jiǎn)單,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,注意
理解坡度的定義.
6.如圖,在RSABC中,ZACB=90°,。是邊A3上一點(diǎn),過。作OF_LA8交邊于
點(diǎn)E,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸,聯(lián)結(jié)AE,如果tan/E4c=g,SACEF=I,那么以"c的值
是()
A.3B.6C.9D.12
【答案】C
【解析】
1-1-1
【分析】根據(jù)tan/E4C=—,可得——=一,由△EFCSAAB。,可得相似比為上,
3AC33
從而得到面積比為,,進(jìn)而求出答案.
9
【詳解】VZACB=90°,
.\ZfiAC+ZB=90°,
又;DELAB,
ZADF=90°,
:.ZBAC+ZF=9O°,
:.ZB=ZF,
又,?NECF=NACB=90°,
:./\ECF^/\ACB,
,ECCF/八1
??-----=------=tanN£L4C=—,
ACBC3
.SAECF_J_
,*1-9'
□△ACS7
又:SAECF=1,
??S&ABC=9,
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的意義,相似三角形的性質(zhì)和判斷,掌握相似三角形的
性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.
二、填空題
7.如果。:。=3:2,那么----=.
a+b
3
【答案】-
【解析】
【分析】設(shè)a=3k,然后用k表示出b,最后代入,一計(jì)算即可.
a+b
【詳解】解:設(shè)a=3k
■:a:b=3:2
:.3k:b=3;2,即3b=6k,解得b=2k
.a_3k_3k_3
a-vb3k+2k5k5
3
故答案為—.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例化簡(jiǎn)求值,設(shè)出中間量、分別表示出a、b成為解答本題的關(guān)
鍵.
8.計(jì)算:3?-1(2?-4^)=
【答案】2a+2b
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算,從而可得答案.
【詳解】解:3a——^2a-4b^=3a-a+2b=2a+2b.
故答案為:2a+2b-
【點(diǎn)睛】本題考查的向量的線性運(yùn)算,掌握向量的加,減,數(shù)乘運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.
q.如果拋物線y=V-a經(jīng)過點(diǎn)(2,0),那么”的值是
【答案】4
【解析】
【分析】將點(diǎn)(2,0)代入拋物線解析式y(tǒng)=Y-。即可求得a的值.
【詳解】解:???拋物線y=。經(jīng)過點(diǎn)(2,0),
得:0=4-a.
解得,a=4,
故答案為:4.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),代入已知量即可求得未知量.
如果拋物線y=(Z+l)f有最高點(diǎn),那么左的取值范圍是.
【答案】k<-\
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)>=(4+l)f有最高點(diǎn),得出拋物線開口向下,即k+lVO,即可得
出答案.
詳解】解:?.,拋物線y=(z+l)f有最高點(diǎn),
.??拋物線開口向下,
.,.k+l<0,
**<k<-1>
故答案為:k<—1.
【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的最值與開口
方向的特點(diǎn).
11.如果拋物線/經(jīng)過點(diǎn)4(-2,0)和3(5,0),那么該拋物線的對(duì)稱軸是直線.
3
【答案】%=-
2
【解析】
3
【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得對(duì)稱軸為直線x=彳.
2
【詳解】?.?拋物線/經(jīng)過點(diǎn)A(—2,0)和8(5,0),
-2+53
???該拋物線的對(duì)稱軸是直線x=
22
3
故答案為:%=-.
2
【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的對(duì)稱性,掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
12.沿著x軸正方向看,拋物線y=/-2在V軸左側(cè)的部分是的(填“上升”或“下
降”).
【答案】下降
【解析】
【分析】畫出函數(shù)圖象,直觀判斷即可.
【詳解】拋物線y=f—2的圖象如圖所示:
可以看出,在y軸左側(cè)部分下降,
故答案為:下降
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì),根據(jù)題意畫出正確圖象是解決問題關(guān)鍵.
AP
13.點(diǎn)P是線段A8上的一點(diǎn),如果AP2=BP-AB,那么——的值是________.
AB
【答案】叵11
2
【解析】
Ap
【分析】設(shè)AB=1,AP=x,貝i]BP=l-x,代入AP2=BP?AB求出x的值,最后代入——即
AB
可.
【詳解】解:設(shè)AB=1,AP=x,則BP=l-x,
VAP2=BP?AB
/.x2=(1-x)?1,即x2+x-l=0,解得x=Yi二1或x=土史(舍)
22
V5-1
AP_[_石-1.
AB--1-2
故答案為避二1.
2
【點(diǎn)睛】本題考查了成比例線段,設(shè)出合適的未知數(shù)、根據(jù)比例列式求出未知數(shù)成為解答
本題的關(guān)鍵.
14.已知VA3C:VAB'C',頂點(diǎn)A、B、C分別與頂點(diǎn)A',B',C'對(duì)應(yīng),A。、
AD分別是6C、8'C'邊上的中線,如果8C=3,AD=2A,B'C'=2,那么AD的
長(zhǎng)是.
o
【答案】I
【解析】
【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)得出相似比等于對(duì)應(yīng)邊上的中線的比進(jìn)而得出答案.
【詳解】解:如圖,
VAABC^AAiBiCi,BC=3,AD=2.4,B'C=2,
.BC_AD3_2.4
"B'CA'D''2A'D'
Q
5
Q
故答案為:
【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì),正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
rs.如圖,AB//CD,A。、8c相交于點(diǎn)E,過E作EF//CD交BD于點(diǎn)、F,如果
AB=3,CD=6,那么EE的長(zhǎng)是—
【答案】2
【解析】
APAR71
【分析】選證明得到一=一利用比例性質(zhì)得到
EDCD62
DE2
—=一,再證明£F〃AB,則可判斷△OEF'sqiB,然后利用相似比可得到
DA3
EF2
—問題可解.
AB3
【詳解】解:?.?AB〃CD,
:./\ABE^/\DEC
?_A___E_____A___B_____3_____I
"ED~CD~6~2
DE2
——=-,
DA3
[]EF//CD,AB//CD,
DEF//AB,
:.ADEFSADAB,
EFDE_2
AS-AD-3
22
/.EF=—AB=—x3=2,
33
故答案為:2
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì):在判定兩個(gè)三角形時(shí),應(yīng)注意利用圖中已
有的公共角、公共邊等隱含條件,以充分發(fā)揮基本圖形的作用,尋找相似三角形的一般方
法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形.
16.如圖,梯形488中,AD//BC,ZA=90°,ZBDC=90°,49=4,
BC=9,那么
【答案】6
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知△ABDS/XDCB,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例,即可求出答案.
【詳解】解:在直角梯形A8CO中,
VAD//BC,ZA=90。,ZBDC=90°,
.*.ZADB=ZDBC,NA=NBDC,
.".△ADB^ADCB,
.ADBD
又:AD=4,,BC=9,
;.BD=6
故答案為:6.
【點(diǎn)睛】本題考察了直角梯形和相似三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是得出
△ABD^ADCB.
17.如圖,圖中提供了一種求C0tl50的方法,作&“WC,使NC=90°,
ZABC=30°,再延長(zhǎng)C3到點(diǎn)。,使班>=54,聯(lián)結(jié)AO,即可得NO=15°,如果設(shè)
則可得(那么cotl5°=cot£>=C2=2+百,運(yùn)用以上方
AC=fCO=2+6/
AC
法,可求得cot22.5°的值是
【答案】J^+l
【解析】
【分析】作使NC=90°,ZABC=45°,再延長(zhǎng)BC到點(diǎn)。,使團(tuán)>=84,
聯(lián)結(jié)AO,即可得/£>=22.5°,設(shè)AC=r,然后用t表示出CD,最后根據(jù)余切的定義
作答即可.
【詳解】解:如圖:作使NC=90°,ZABC=45°,再延長(zhǎng)CB到點(diǎn)。,使
BD=BA,聯(lián)結(jié)AO,即可得ND=22.5°
設(shè)4C=f,則BC=t,AB=BD=V2t
所以DC=BC+AB=t+V^t=(1+V2)t
所以cot22.5o=生=°+夜”=1+6?
ACt
故答案為l+正.
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是解直角三角形和三角函數(shù),構(gòu)造出含45。的直角三角形,再作
輔助線得到22.5。角的直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵.
18.如圖,在ZC=90°,AC=6,BC=8,。是8C的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊
ABk,將△5汨沿直線OE翻折,使得點(diǎn)8落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)8'處,線段夕。交邊
AB于點(diǎn)尸,聯(lián)結(jié)AB',當(dāng)AAB'/Z是直角三角形時(shí),8E的長(zhǎng)為
【答案】2或一
17
【解析】
【分析】分兩種情況討論,當(dāng)乙4尸8'=90。時(shí),則NBED=90°,利用銳角三角函數(shù)先
求解DE,BF,B'F,設(shè)BE=x,再表示B'E,EF,再利用勾股定理求解x即可得到答
案;當(dāng)NA?尸=90°時(shí),如圖,連接AD,過E作EHLBD于H,先證明:
Rt^ADC^ADB',再證明NAOE=90。,設(shè)BE=5x,利用B8的銳角三角函數(shù)可得
EH=3,BH=4x,DH=4-4x,AE=10-5x,利用勾股定理求解x可得答案.
【詳解】解:?.?AC=6,BC=8,ZC=90°,
..AB=10,
1??。是3c的中點(diǎn),
.-.BD=COMB'D=4,
當(dāng)NAFB'=90°時(shí),則/BFD=90°,
...sin/八"、=竺
AB5DB
設(shè)BE=x,則=EF=BF-x=--x,
5
2
/.x=2,
即:BE=2.
當(dāng)NABN=90°時(shí),如圖,連接AO,過E作石HJL3D于“,
同理可得:CD=BD=B'D=4,
\AD=AD,NC=90°,
/.RMADgAADB'(HL)
:.ZADC=ZADB',
?;ZBDE=ABDE,
:.ZADB'+NB'DE=90°=ZADE,
設(shè)BE=5x,
由sin八把二二里
AB5BE
EH=3x,BH=4x,
..DH=4-4x,
.?.0^2=(3x)2+(”4x)2,
4爐=(10-5x「
A£)2=62+42=52,
.-.(10-5x)2=52+(3x『+(4_旬2,
8
BE=5x=竺
17
當(dāng)NB'AF=90。,不合題意,舍去.
綜上:8E的長(zhǎng)為2或4,0.
17
40
故答案為:2或萬.
【點(diǎn)睛】本題考查的是折疊的性質(zhì),軸對(duì)稱的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,銳角三角函數(shù)的應(yīng)
用,掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵,要注意分情況討論.
三、解答題
tan?45。
工Q.計(jì)算:-2sin60°.
cot30°-2cos45°
【答案】五
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案.
【詳解】解:原式=三上外生息J-g
=百+"6=啦.
2
【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值,正確記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)
鍵.
2.0.已知二次函數(shù)的解析式為丁=:/一2》.
(1)用配方法把該二次函數(shù)解析式化為y=a(x+m)2+Z的形式;
(2)選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表,并在圖中所示的平面直角坐標(biāo)系X。),內(nèi)描點(diǎn),畫出該函
數(shù)的圖像.
【解析】
【分析】(1)直接利用配方法即可把該二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式;
(2)列表、描點(diǎn)、連線,畫出函數(shù)的圖象即可.
1,
【詳解】解:(1)y=-JC-2x
2
=1(X2-4X)
1,
=-(X2-4X+4-4)
[(XT-2
1
y=/(x-2)-7-2;
(2)填表如下:
......-20246......
......60-206......
圖像如下:
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象,正確掌握配方法以及畫二次
函數(shù)圖象的步驟是解題關(guān)鍵.
2,.如圖,在A/WC中,點(diǎn)G是AABC的重心,聯(lián)結(jié)AG,聯(lián)結(jié)BG并延長(zhǎng)交邊AC于
點(diǎn)。,過點(diǎn)G作GE〃BC交邊AC于點(diǎn)E.
(1)如果而=£,AC^h<用£、B表示向量而;
(2)當(dāng)AG_L8O,BG=6,NG4T>=45°時(shí),求AE的長(zhǎng).
D
G
BC
—21「
【答案】(1)BG=——ci+—br;(2)AE=4^2'
【解析】
—>i—>—>2f
【分析】(1)由G是重心,可得AO=]力,BG=-BD,因?yàn)樵L=函+筋,可得
->->1->
BD=-a+^b,進(jìn)而求出33;
(2)根據(jù)G是重心,求出OG=3,因?yàn)椤鰽GO是等腰直角三角形,勾股定理計(jì)算出AZ)二
3亞,由4O=OC,Z)C=3Z)E求出QE=0,相加即可.
【詳解】解:()
1-BD=BA+AD'
:點(diǎn)G是放△A8C的重心,
:.AD=^AC,
??—>—>—>—>
,AB=afAC=b1
-1f
AD=—a,
2
fT1T
???BD=-a+-h
2
-2f2^1―
???BG=—BD=—(-a+—b),
332
t2fL
BG=——a+—b.
33
(2)???G是三角形的重心,
;?BG=2GD,AD=DC,
?:BG=6,
:?GD=3,
VAGLBD,NGAZ)=45°,
:.AG=GD=3,
">=6+32=3萬
?:GE//BC,
.DEGD\
"DC~BD~3'
:,DE=yj2,
/.AE=AD+DE=4-72
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行線分線段成比例定理;
熟練掌握三角形重心的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理,能夠熟練運(yùn)用向量的運(yùn)算、勾
股定理解題是關(guān)鍵.
22.圖1是一款家用落地式取暖器,如圖2是其放置在地面上時(shí)的側(cè)面示意圖,其中矩形
ABC。是取暖器的主體,等腰梯形是底座,BE=CF,烘干架連桿GH可繞邊
CO上一點(diǎn)H旋轉(zhuǎn),以調(diào)節(jié)角度,已知C£>=50C7〃,BC=Scm,EF=20cm,
DH=Ucm,GH=15cm,ZCFE=30°,當(dāng)NG”Z)=53°時(shí),求點(diǎn)G到地面的距
離.(精確到0/cm)【參考數(shù)據(jù):5m53°?0.80,cos530*06(),tan530-l.33,
百a1.73J
圖1圖2
【答案】點(diǎn)G到地面的距離為50.5cm.
【解析】
【分析】過H作HRLAB,在RSHGR中,利用三角函數(shù)求出GR的長(zhǎng),再根據(jù)
RB=CH=DC-DH,求出RB長(zhǎng),即可求出G到B的長(zhǎng)度,過C作CT_LEF,過B作
BQ±EF,通過證明ABEQ之△CFT,得出EQ=FT,在RtaCFT中,利用三角函數(shù)求出
CT=BQ的長(zhǎng),由GQ=GB+BQ即可求出答案;
【詳解】解:如圖,過H作HRLAB,
VZGHD=53°,且AB//CD,
/.ZHGR=53°,
在Rt^HGR中,GR=COS53°XGH=COS53°X15=9,
.\GB=GR+RB=9+(50-12)=47,
過C作CT_LEF,過B作BQ_LEF,則NCTF=NBQE=90。,
VBE=CF,
ZE=ZF,
.?.△BEQ絲△CFT,
.\EQ=FTBQ=CT,
?.,BC=8cm,EF=20cm,
EQ=FT=6cm,
在RtACFT中,NCFT=30。,
.".CT=BQ=tan30°xFT=-x6=273,
3
GQ=GB+BQ=47+26a47+2x1.73=50.46a50.5(cm),
答:點(diǎn)G到地面的距離約為50.5cm.
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用、銳角三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn),解題的關(guān)鍵是構(gòu)
造直角三角形利用三角函數(shù)值求線段長(zhǎng).
23.如圖,在AABC中,點(diǎn)。、G在邊AC上,點(diǎn)E在邊BC上,DB=DC,
EG//AB,AE、BD交于點(diǎn)、F,BF=AG.
(1)求證:△BEE?△CGE;
(2)當(dāng)ZA£G=NC時(shí),求證:AB2=AG-AC.
D
FG
BE
【答案】(1)證明見詳解;(2)證明見詳解.
【解析】
【分析】(1)由EG〃/3易證aCGEs^CAB,由性質(zhì)得生=笠由比例性質(zhì)得
CACB
—,由已知BF=AG比例式變?yōu)?9=笠,由已知。5=£心,利用等邊對(duì)等角
AGBEBFBE
得NFBE=NGCE,利用兩邊成比例夾角相等知^BFE^ACGE,
(2)由EG〃43,利用性質(zhì)內(nèi)錯(cuò)角相等/BAE=/AEG,由已知NAEG=NC,推出
ABBE
ZBAE=ZC,又/ABE=/CBA共用,可證AABES^CBA,由性質(zhì)一=——,
BCAB
/BEA=/BAC,把比例變等積得ABJBGBE,由(1)利用性質(zhì)
ZBEF=ZCEG,ZBFE=ZCGE,推出/BAC=/GEC=/ABC=NEGC,利用等角對(duì)等邊
得AC=BC,GC=EC,利用等量代換得AG=BE,可證AB?=AC.AG.
【詳解】(1),/EG//AB,
.?.NCGE=NCAB,ZCEG=ZCBA,
.?.△CGEs/xCAB,
.CGCE
"CA"CB'
CGCECGCE
?.-------=-------即P1tl=:
CA-CGCB-CEAGBE
VBF=AG
,CG_CE
BF-BE'
DB=DC,
,NDBC=NDCB,即NFBE=NGCE,
ABFESACGE,
(2),/EG//AB,
.\ZBAE=ZAEG,
又???NAEG=NC,
;./BAE=/C,
又?.,NABE=NCBA共用,
.".△ABEcoACBA,
ABBE
-----=------,NBEA=NBAC,
BCAB
???AB2=BC.BE-
由(1)ABFE^/\CGE,
.*.ZBEF=ZCEG,ZBFE=ZCGE,
:EG//AB,
NABC=NGEC,ZBAC=ZEGC,
/.ZBAC=ZGEC=ZABC=ZEGC,
.\AC=BC,GC=EC,
;.AG=BE,
AB2=BC.BE=AC.AG.
BE
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),掌握相似三角形
的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),會(huì)利用換比的方法證三角形相似,會(huì)利用相似
證角等轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵.
24.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)4(一1,0)、8(3,0)、C(0,3),拋物線
y+Z?x+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn).
(1)當(dāng)該拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),求該拋物線的表達(dá)式;
(2)在(1)題的條件下,點(diǎn)尸為該拋物線上一點(diǎn),且位于第三象限,當(dāng)
NPBC=NACB時(shí),求點(diǎn)尸的坐標(biāo);
(3)如果拋物線y="2+0x+c的頂點(diǎn)。位于ABOC內(nèi),求。的取值范圍.
【解析】
【分析】(1)將點(diǎn)A(-1,0)、8(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=謁+法+。,利用待定
系數(shù)法即可求解:
(2)先證明△AOC絲aEOBlASA)得出E(0,-1),利用待定系數(shù)法求出直線PB的解析
式,根據(jù)P是直線與拋物線的交點(diǎn),聯(lián)立解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)根據(jù)拋物線丁=。無2+以+。經(jīng)過4(—1,0)、8(3,0),求得拋物線解析式,從而表
示出頂點(diǎn)D的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,當(dāng)x=l時(shí),y=2,根據(jù)D位
于ABOC內(nèi)部,列出關(guān)于a的不等式即可求解.
【詳解】(1)將點(diǎn)A(T,0)、B(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=ax2+bx+c
a-b+c=O
得:<9a+3>b+c=0,
c=3
a=-1
解得:"=2,
c=3
拋物線的解析式為:y=-x2+2x+3.
(2)如圖:
.\OB=OC
ZOBC=ZOCB
當(dāng)NPBC=/ACB時(shí),則NPBC-/OBC=NACB-/OCB
E|JZPBO=ZACO
設(shè)PB交y軸于點(diǎn)E,
在4AOCWAEOB中
ZPBO=NACO
<OB=OC,
ZEOB=ZAOC
:.AAOC^AEOB(ASA)
/.OE=OA=1
AE(O,-1)
設(shè)PB的解析式為y=mx+n
將B(3,0),E(0,-1)代入
3m+n=0
得《
n=-1
1
m=—
解得《3,
n=-1
直線PB的解析式為y=;x-l,
y=-_1
聯(lián)立解析式彳3x,
y——x~+2x+3
4
x——
x,=32
解得《3
IM=o13
29
413
P(-7
(3)如圖,
?.,y=ax2+bx+c經(jīng)過A(T,0)、B(3,0)
y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a
一2。
???對(duì)稱軸為直線x=-——=1,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4a)
2a
由B(3,0)、C(0,3)易得BC解析式為y=-x+3
當(dāng)x=l時(shí),y=2
因此當(dāng)D位于ABOC內(nèi)時(shí)
0<-4a<2
解得一,VaVO
2
即a的取值范圍是<a<0.
2
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次
函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、全等三角形的性質(zhì)和判定,證得AAOC絲aEOB,從而得到E
的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
25如圖,在AABC中,ZABC=90°,AB=3,8C=4,過點(diǎn)A作射線
點(diǎn)。、E是射線4W上的兩點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)A重合,點(diǎn)E在點(diǎn)。右側(cè)),連接3D、BE
分別交邊AC于點(diǎn)/、G,NDBE=NC.
(1)當(dāng)AD=1時(shí),求FB的長(zhǎng)
(2)設(shè)AD=x,FG=y,求>關(guān)于》的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
(3)聯(lián)結(jié)力G并延長(zhǎng)交邊8c于點(diǎn)H,如果△08〃是等腰三角形,請(qǐng)直接寫出A。的
長(zhǎng).
4/—4V-+36937
【答案】(1)FB=-M;(2)y=(0<x<4);(3)AO=一或一或一.
5.5x+2()\'428
【解析】
4(f+9)
【分析】
4x+9
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