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文檔簡(jiǎn)介

上海市虹口區(qū)2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題

一、選擇題

i.已知在中,NC=90°,AC=3,BC=4,則tanA的值為()

344

A.-8?D.-

45

【答案】8

【解析】

【分析】銳角A的對(duì)邊。與鄰邊人的比叫做N4的正切,記作tanA,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解:在用AABC中,

la加生,

AC3

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用,解題時(shí)注意:在m△AC8中,

ZC=90°,貝i]tanA=3.

b

2.已知向量方和B都是單位向量,那么下列等式成立的是()

A.a=bB.a+b=2C.a-b=0D.

向明

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)向量日和日都是單位向量,,可知國(guó)1=區(qū)|=1,由此即可判斷.

【詳解】解:A、向量方和5都是單位向量,但方向不一定相同,則〃=5不一定成立,故

本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

3、向量5和5都是單位向量,但方向不一定相同,則4+5=2不一定成立,故本選項(xiàng)錯(cuò)

誤.

c、向量m和5都是單位向量,但方向不一定相同,則〃-5=o不一定成立,故本選項(xiàng)錯(cuò)

誤.

。、向量方和5都是單位向量,則|源=區(qū)i=i,故本選項(xiàng)正確.

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量、單位向量,屬于概念題目,記住概念是解題的關(guān)鍵

3.下列函數(shù)中,屬于二次函數(shù)的是()

y=(x-2)--x2

【答案】C

【解析】

【分析】形如y=ax2+bx+c(a^O),a,b,c是常數(shù)的函數(shù)叫做二次函數(shù),其中a稱為二次

項(xiàng)系數(shù),b稱為一次項(xiàng)系數(shù),c為常數(shù)項(xiàng),x為自變量,y為因變量,據(jù)此解題.

【詳解】A.y=一一右邊不是整式,不是二次函數(shù),故A錯(cuò)誤;

x--2

B.y=Jx2一2右邊是二次根式,不是整式,不是二次函數(shù),故B錯(cuò)誤:

C.y=d—2是二次函數(shù),故C正確;

D.丁=(%-2)2-爐=%2-4%+4-%2=_4%+4是一次函數(shù),故D錯(cuò)誤,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義,是基礎(chǔ)考點(diǎn),難度較易,掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

4.將拋物線y=/一3向右平移2個(gè)單位后得到的新拋物線表達(dá)式是()

Ay=x2-1B.y=x2-5C.y=(x+2)2-3D.

y=(x-2)2-3

【答案】D

【解析】

【分析】先利用頂點(diǎn)式得到拋物線y=3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3),再利用點(diǎn)平移的坐

標(biāo)規(guī)律得到點(diǎn)(0,-3)平移后所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-3),然后利用頂點(diǎn)式寫出平移后

得到的拋物線的解析式.

【詳解】解:???原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3),

y=/-3向右平移2個(gè)單位后得到的新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3),

...新拋物線表達(dá)式是y=(x—2)2-3.

故答案為:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的平移;得到新拋物線的頂點(diǎn)是解決本題的突破點(diǎn),用到的

知識(shí)點(diǎn)為:二次函數(shù)的平移不改變二次項(xiàng)的系數(shù).

S.如圖,傳送帶和地面所成斜坡的坡度i=l:2.4,如果它把某物體從地面送到離地面10

米高的地方,那么該物體所經(jīng)過的路程是()

傳送帶

/^777777777777777777777

A.10米B.24米C.25米D.26米

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)坡度的定義,由勾股定理即可求得答案.

【詳解】解:如圖,

由題意得:斜坡AB的坡度:i=l:2.4,AE=10米,AE1BD,

1

?I=---=---,

BE2.4

;.BE=24米,

...在RJABE中,AB=yjAE2+BE2=26(米)?

故選:D.

【點(diǎn)睛】此題考查了坡度坡角問題.此題比較簡(jiǎn)單,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,注意

理解坡度的定義.

6.如圖,在RSABC中,ZACB=90°,。是邊A3上一點(diǎn),過。作OF_LA8交邊于

點(diǎn)E,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸,聯(lián)結(jié)AE,如果tan/E4c=g,SACEF=I,那么以"c的值

是()

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【解析】

1-1-1

【分析】根據(jù)tan/E4C=—,可得——=一,由△EFCSAAB。,可得相似比為上,

3AC33

從而得到面積比為,,進(jìn)而求出答案.

9

【詳解】VZACB=90°,

.\ZfiAC+ZB=90°,

又;DELAB,

ZADF=90°,

:.ZBAC+ZF=9O°,

:.ZB=ZF,

又,?NECF=NACB=90°,

:./\ECF^/\ACB,

,ECCF/八1

??-----=------=tanN£L4C=—,

ACBC3

.SAECF_J_

,*1-9'

□△ACS7

又:SAECF=1,

??S&ABC=9,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的意義,相似三角形的性質(zhì)和判斷,掌握相似三角形的

性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

二、填空題

7.如果。:。=3:2,那么----=.

a+b

3

【答案】-

【解析】

【分析】設(shè)a=3k,然后用k表示出b,最后代入,一計(jì)算即可.

a+b

【詳解】解:設(shè)a=3k

■:a:b=3:2

:.3k:b=3;2,即3b=6k,解得b=2k

.a_3k_3k_3

a-vb3k+2k5k5

3

故答案為—.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例化簡(jiǎn)求值,設(shè)出中間量、分別表示出a、b成為解答本題的關(guān)

鍵.

8.計(jì)算:3?-1(2?-4^)=

【答案】2a+2b

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算,從而可得答案.

【詳解】解:3a——^2a-4b^=3a-a+2b=2a+2b.

故答案為:2a+2b-

【點(diǎn)睛】本題考查的向量的線性運(yùn)算,掌握向量的加,減,數(shù)乘運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

q.如果拋物線y=V-a經(jīng)過點(diǎn)(2,0),那么”的值是

【答案】4

【解析】

【分析】將點(diǎn)(2,0)代入拋物線解析式y(tǒng)=Y-。即可求得a的值.

【詳解】解:???拋物線y=。經(jīng)過點(diǎn)(2,0),

得:0=4-a.

解得,a=4,

故答案為:4.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),代入已知量即可求得未知量.

如果拋物線y=(Z+l)f有最高點(diǎn),那么左的取值范圍是.

【答案】k<-\

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)>=(4+l)f有最高點(diǎn),得出拋物線開口向下,即k+lVO,即可得

出答案.

詳解】解:?.,拋物線y=(z+l)f有最高點(diǎn),

.??拋物線開口向下,

.,.k+l<0,

**<k<-1>

故答案為:k<—1.

【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的最值與開口

方向的特點(diǎn).

11.如果拋物線/經(jīng)過點(diǎn)4(-2,0)和3(5,0),那么該拋物線的對(duì)稱軸是直線.

3

【答案】%=-

2

【解析】

3

【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得對(duì)稱軸為直線x=彳.

2

【詳解】?.?拋物線/經(jīng)過點(diǎn)A(—2,0)和8(5,0),

-2+53

???該拋物線的對(duì)稱軸是直線x=

22

3

故答案為:%=-.

2

【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的對(duì)稱性,掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.沿著x軸正方向看,拋物線y=/-2在V軸左側(cè)的部分是的(填“上升”或“下

降”).

【答案】下降

【解析】

【分析】畫出函數(shù)圖象,直觀判斷即可.

【詳解】拋物線y=f—2的圖象如圖所示:

可以看出,在y軸左側(cè)部分下降,

故答案為:下降

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì),根據(jù)題意畫出正確圖象是解決問題關(guān)鍵.

AP

13.點(diǎn)P是線段A8上的一點(diǎn),如果AP2=BP-AB,那么——的值是________.

AB

【答案】叵11

2

【解析】

Ap

【分析】設(shè)AB=1,AP=x,貝i]BP=l-x,代入AP2=BP?AB求出x的值,最后代入——即

AB

可.

【詳解】解:設(shè)AB=1,AP=x,則BP=l-x,

VAP2=BP?AB

/.x2=(1-x)?1,即x2+x-l=0,解得x=Yi二1或x=土史(舍)

22

V5-1

AP_[_石-1.

AB--1-2

故答案為避二1.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了成比例線段,設(shè)出合適的未知數(shù)、根據(jù)比例列式求出未知數(shù)成為解答

本題的關(guān)鍵.

14.已知VA3C:VAB'C',頂點(diǎn)A、B、C分別與頂點(diǎn)A',B',C'對(duì)應(yīng),A。、

AD分別是6C、8'C'邊上的中線,如果8C=3,AD=2A,B'C'=2,那么AD的

長(zhǎng)是.

o

【答案】I

【解析】

【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)得出相似比等于對(duì)應(yīng)邊上的中線的比進(jìn)而得出答案.

【詳解】解:如圖,

VAABC^AAiBiCi,BC=3,AD=2.4,B'C=2,

.BC_AD3_2.4

"B'CA'D''2A'D'

Q

5

Q

故答案為:

【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì),正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

rs.如圖,AB//CD,A。、8c相交于點(diǎn)E,過E作EF//CD交BD于點(diǎn)、F,如果

AB=3,CD=6,那么EE的長(zhǎng)是—

【答案】2

【解析】

APAR71

【分析】選證明得到一=一利用比例性質(zhì)得到

EDCD62

DE2

—=一,再證明£F〃AB,則可判斷△OEF'sqiB,然后利用相似比可得到

DA3

EF2

—問題可解.

AB3

【詳解】解:?.?AB〃CD,

:./\ABE^/\DEC

?_A___E_____A___B_____3_____I

"ED~CD~6~2

DE2

——=-,

DA3

[]EF//CD,AB//CD,

DEF//AB,

:.ADEFSADAB,

EFDE_2

AS-AD-3

22

/.EF=—AB=—x3=2,

33

故答案為:2

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì):在判定兩個(gè)三角形時(shí),應(yīng)注意利用圖中已

有的公共角、公共邊等隱含條件,以充分發(fā)揮基本圖形的作用,尋找相似三角形的一般方

法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形.

16.如圖,梯形488中,AD//BC,ZA=90°,ZBDC=90°,49=4,

BC=9,那么

【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知△ABDS/XDCB,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例,即可求出答案.

【詳解】解:在直角梯形A8CO中,

VAD//BC,ZA=90。,ZBDC=90°,

.*.ZADB=ZDBC,NA=NBDC,

.".△ADB^ADCB,

.ADBD

又:AD=4,,BC=9,

;.BD=6

故答案為:6.

【點(diǎn)睛】本題考察了直角梯形和相似三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是得出

△ABD^ADCB.

17.如圖,圖中提供了一種求C0tl50的方法,作&“WC,使NC=90°,

ZABC=30°,再延長(zhǎng)C3到點(diǎn)。,使班>=54,聯(lián)結(jié)AO,即可得NO=15°,如果設(shè)

則可得(那么cotl5°=cot£>=C2=2+百,運(yùn)用以上方

AC=fCO=2+6/

AC

法,可求得cot22.5°的值是

【答案】J^+l

【解析】

【分析】作使NC=90°,ZABC=45°,再延長(zhǎng)BC到點(diǎn)。,使團(tuán)>=84,

聯(lián)結(jié)AO,即可得/£>=22.5°,設(shè)AC=r,然后用t表示出CD,最后根據(jù)余切的定義

作答即可.

【詳解】解:如圖:作使NC=90°,ZABC=45°,再延長(zhǎng)CB到點(diǎn)。,使

BD=BA,聯(lián)結(jié)AO,即可得ND=22.5°

設(shè)4C=f,則BC=t,AB=BD=V2t

所以DC=BC+AB=t+V^t=(1+V2)t

所以cot22.5o=生=°+夜”=1+6?

ACt

故答案為l+正.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是解直角三角形和三角函數(shù),構(gòu)造出含45。的直角三角形,再作

輔助線得到22.5。角的直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵.

18.如圖,在ZC=90°,AC=6,BC=8,。是8C的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊

ABk,將△5汨沿直線OE翻折,使得點(diǎn)8落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)8'處,線段夕。交邊

AB于點(diǎn)尸,聯(lián)結(jié)AB',當(dāng)AAB'/Z是直角三角形時(shí),8E的長(zhǎng)為

【答案】2或一

17

【解析】

【分析】分兩種情況討論,當(dāng)乙4尸8'=90。時(shí),則NBED=90°,利用銳角三角函數(shù)先

求解DE,BF,B'F,設(shè)BE=x,再表示B'E,EF,再利用勾股定理求解x即可得到答

案;當(dāng)NA?尸=90°時(shí),如圖,連接AD,過E作EHLBD于H,先證明:

Rt^ADC^ADB',再證明NAOE=90。,設(shè)BE=5x,利用B8的銳角三角函數(shù)可得

EH=3,BH=4x,DH=4-4x,AE=10-5x,利用勾股定理求解x可得答案.

【詳解】解:?.?AC=6,BC=8,ZC=90°,

..AB=10,

1??。是3c的中點(diǎn),

.-.BD=COMB'D=4,

當(dāng)NAFB'=90°時(shí),則/BFD=90°,

...sin/八"、=竺

AB5DB

設(shè)BE=x,則=EF=BF-x=--x,

5

2

/.x=2,

即:BE=2.

當(dāng)NABN=90°時(shí),如圖,連接AO,過E作石HJL3D于“,

同理可得:CD=BD=B'D=4,

\AD=AD,NC=90°,

/.RMADgAADB'(HL)

:.ZADC=ZADB',

?;ZBDE=ABDE,

:.ZADB'+NB'DE=90°=ZADE,

設(shè)BE=5x,

由sin八把二二里

AB5BE

EH=3x,BH=4x,

..DH=4-4x,

.?.0^2=(3x)2+(”4x)2,

4爐=(10-5x「

A£)2=62+42=52,

.-.(10-5x)2=52+(3x『+(4_旬2,

8

BE=5x=竺

17

當(dāng)NB'AF=90。,不合題意,舍去.

綜上:8E的長(zhǎng)為2或4,0.

17

40

故答案為:2或萬.

【點(diǎn)睛】本題考查的是折疊的性質(zhì),軸對(duì)稱的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,銳角三角函數(shù)的應(yīng)

用,掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵,要注意分情況討論.

三、解答題

tan?45。

工Q.計(jì)算:-2sin60°.

cot30°-2cos45°

【答案】五

【解析】

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案.

【詳解】解:原式=三上外生息J-g

=百+"6=啦.

2

【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值,正確記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)

鍵.

2.0.已知二次函數(shù)的解析式為丁=:/一2》.

(1)用配方法把該二次函數(shù)解析式化為y=a(x+m)2+Z的形式;

(2)選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表,并在圖中所示的平面直角坐標(biāo)系X。),內(nèi)描點(diǎn),畫出該函

數(shù)的圖像.

【解析】

【分析】(1)直接利用配方法即可把該二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式;

(2)列表、描點(diǎn)、連線,畫出函數(shù)的圖象即可.

1,

【詳解】解:(1)y=-JC-2x

2

=1(X2-4X)

1,

=-(X2-4X+4-4)

[(XT-2

1

y=/(x-2)-7-2;

(2)填表如下:

......-20246......

......60-206......

圖像如下:

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象,正確掌握配方法以及畫二次

函數(shù)圖象的步驟是解題關(guān)鍵.

2,.如圖,在A/WC中,點(diǎn)G是AABC的重心,聯(lián)結(jié)AG,聯(lián)結(jié)BG并延長(zhǎng)交邊AC于

點(diǎn)。,過點(diǎn)G作GE〃BC交邊AC于點(diǎn)E.

(1)如果而=£,AC^h<用£、B表示向量而;

(2)當(dāng)AG_L8O,BG=6,NG4T>=45°時(shí),求AE的長(zhǎng).

D

G

BC

—21「

【答案】(1)BG=——ci+—br;(2)AE=4^2'

【解析】

—>i—>—>2f

【分析】(1)由G是重心,可得AO=]力,BG=-BD,因?yàn)樵L=函+筋,可得

->->1->

BD=-a+^b,進(jìn)而求出33;

(2)根據(jù)G是重心,求出OG=3,因?yàn)椤鰽GO是等腰直角三角形,勾股定理計(jì)算出AZ)二

3亞,由4O=OC,Z)C=3Z)E求出QE=0,相加即可.

【詳解】解:()

1-BD=BA+AD'

:點(diǎn)G是放△A8C的重心,

:.AD=^AC,

??—>—>—>—>

,AB=afAC=b1

-1f

AD=—a,

2

fT1T

???BD=-a+-h

2

-2f2^1―

???BG=—BD=—(-a+—b),

332

t2fL

BG=——a+—b.

33

(2)???G是三角形的重心,

;?BG=2GD,AD=DC,

?:BG=6,

:?GD=3,

VAGLBD,NGAZ)=45°,

:.AG=GD=3,

">=6+32=3萬

?:GE//BC,

.DEGD\

"DC~BD~3'

:,DE=yj2,

/.AE=AD+DE=4-72

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行線分線段成比例定理;

熟練掌握三角形重心的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理,能夠熟練運(yùn)用向量的運(yùn)算、勾

股定理解題是關(guān)鍵.

22.圖1是一款家用落地式取暖器,如圖2是其放置在地面上時(shí)的側(cè)面示意圖,其中矩形

ABC。是取暖器的主體,等腰梯形是底座,BE=CF,烘干架連桿GH可繞邊

CO上一點(diǎn)H旋轉(zhuǎn),以調(diào)節(jié)角度,已知C£>=50C7〃,BC=Scm,EF=20cm,

DH=Ucm,GH=15cm,ZCFE=30°,當(dāng)NG”Z)=53°時(shí),求點(diǎn)G到地面的距

離.(精確到0/cm)【參考數(shù)據(jù):5m53°?0.80,cos530*06(),tan530-l.33,

百a1.73J

圖1圖2

【答案】點(diǎn)G到地面的距離為50.5cm.

【解析】

【分析】過H作HRLAB,在RSHGR中,利用三角函數(shù)求出GR的長(zhǎng),再根據(jù)

RB=CH=DC-DH,求出RB長(zhǎng),即可求出G到B的長(zhǎng)度,過C作CT_LEF,過B作

BQ±EF,通過證明ABEQ之△CFT,得出EQ=FT,在RtaCFT中,利用三角函數(shù)求出

CT=BQ的長(zhǎng),由GQ=GB+BQ即可求出答案;

【詳解】解:如圖,過H作HRLAB,

VZGHD=53°,且AB//CD,

/.ZHGR=53°,

在Rt^HGR中,GR=COS53°XGH=COS53°X15=9,

.\GB=GR+RB=9+(50-12)=47,

過C作CT_LEF,過B作BQ_LEF,則NCTF=NBQE=90。,

VBE=CF,

ZE=ZF,

.?.△BEQ絲△CFT,

.\EQ=FTBQ=CT,

?.,BC=8cm,EF=20cm,

EQ=FT=6cm,

在RtACFT中,NCFT=30。,

.".CT=BQ=tan30°xFT=-x6=273,

3

GQ=GB+BQ=47+26a47+2x1.73=50.46a50.5(cm),

答:點(diǎn)G到地面的距離約為50.5cm.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用、銳角三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn),解題的關(guān)鍵是構(gòu)

造直角三角形利用三角函數(shù)值求線段長(zhǎng).

23.如圖,在AABC中,點(diǎn)。、G在邊AC上,點(diǎn)E在邊BC上,DB=DC,

EG//AB,AE、BD交于點(diǎn)、F,BF=AG.

(1)求證:△BEE?△CGE;

(2)當(dāng)ZA£G=NC時(shí),求證:AB2=AG-AC.

D

FG

BE

【答案】(1)證明見詳解;(2)證明見詳解.

【解析】

【分析】(1)由EG〃/3易證aCGEs^CAB,由性質(zhì)得生=笠由比例性質(zhì)得

CACB

—,由已知BF=AG比例式變?yōu)?9=笠,由已知。5=£心,利用等邊對(duì)等角

AGBEBFBE

得NFBE=NGCE,利用兩邊成比例夾角相等知^BFE^ACGE,

(2)由EG〃43,利用性質(zhì)內(nèi)錯(cuò)角相等/BAE=/AEG,由已知NAEG=NC,推出

ABBE

ZBAE=ZC,又/ABE=/CBA共用,可證AABES^CBA,由性質(zhì)一=——,

BCAB

/BEA=/BAC,把比例變等積得ABJBGBE,由(1)利用性質(zhì)

ZBEF=ZCEG,ZBFE=ZCGE,推出/BAC=/GEC=/ABC=NEGC,利用等角對(duì)等邊

得AC=BC,GC=EC,利用等量代換得AG=BE,可證AB?=AC.AG.

【詳解】(1),/EG//AB,

.?.NCGE=NCAB,ZCEG=ZCBA,

.?.△CGEs/xCAB,

.CGCE

"CA"CB'

CGCECGCE

?.-------=-------即P1tl=:

CA-CGCB-CEAGBE

VBF=AG

,CG_CE

BF-BE'

DB=DC,

,NDBC=NDCB,即NFBE=NGCE,

ABFESACGE,

(2),/EG//AB,

.\ZBAE=ZAEG,

又???NAEG=NC,

;./BAE=/C,

又?.,NABE=NCBA共用,

.".△ABEcoACBA,

ABBE

-----=------,NBEA=NBAC,

BCAB

???AB2=BC.BE-

由(1)ABFE^/\CGE,

.*.ZBEF=ZCEG,ZBFE=ZCGE,

:EG//AB,

NABC=NGEC,ZBAC=ZEGC,

/.ZBAC=ZGEC=ZABC=ZEGC,

.\AC=BC,GC=EC,

;.AG=BE,

AB2=BC.BE=AC.AG.

BE

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),掌握相似三角形

的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),會(huì)利用換比的方法證三角形相似,會(huì)利用相似

證角等轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵.

24.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)4(一1,0)、8(3,0)、C(0,3),拋物線

y+Z?x+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn).

(1)當(dāng)該拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),求該拋物線的表達(dá)式;

(2)在(1)題的條件下,點(diǎn)尸為該拋物線上一點(diǎn),且位于第三象限,當(dāng)

NPBC=NACB時(shí),求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(3)如果拋物線y="2+0x+c的頂點(diǎn)。位于ABOC內(nèi),求。的取值范圍.

【解析】

【分析】(1)將點(diǎn)A(-1,0)、8(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=謁+法+。,利用待定

系數(shù)法即可求解:

(2)先證明△AOC絲aEOBlASA)得出E(0,-1),利用待定系數(shù)法求出直線PB的解析

式,根據(jù)P是直線與拋物線的交點(diǎn),聯(lián)立解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)根據(jù)拋物線丁=。無2+以+。經(jīng)過4(—1,0)、8(3,0),求得拋物線解析式,從而表

示出頂點(diǎn)D的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,當(dāng)x=l時(shí),y=2,根據(jù)D位

于ABOC內(nèi)部,列出關(guān)于a的不等式即可求解.

【詳解】(1)將點(diǎn)A(T,0)、B(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=ax2+bx+c

a-b+c=O

得:<9a+3>b+c=0,

c=3

a=-1

解得:"=2,

c=3

拋物線的解析式為:y=-x2+2x+3.

(2)如圖:

.\OB=OC

ZOBC=ZOCB

當(dāng)NPBC=/ACB時(shí),則NPBC-/OBC=NACB-/OCB

E|JZPBO=ZACO

設(shè)PB交y軸于點(diǎn)E,

在4AOCWAEOB中

ZPBO=NACO

<OB=OC,

ZEOB=ZAOC

:.AAOC^AEOB(ASA)

/.OE=OA=1

AE(O,-1)

設(shè)PB的解析式為y=mx+n

將B(3,0),E(0,-1)代入

3m+n=0

得《

n=-1

1

m=—

解得《3,

n=-1

直線PB的解析式為y=;x-l,

y=-_1

聯(lián)立解析式彳3x,

y——x~+2x+3

4

x——

x,=32

解得《3

IM=o13

29

413

P(-7

(3)如圖,

?.,y=ax2+bx+c經(jīng)過A(T,0)、B(3,0)

y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a

一2。

???對(duì)稱軸為直線x=-——=1,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4a)

2a

由B(3,0)、C(0,3)易得BC解析式為y=-x+3

當(dāng)x=l時(shí),y=2

因此當(dāng)D位于ABOC內(nèi)時(shí)

0<-4a<2

解得一,VaVO

2

即a的取值范圍是<a<0.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次

函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、全等三角形的性質(zhì)和判定,證得AAOC絲aEOB,從而得到E

的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

25如圖,在AABC中,ZABC=90°,AB=3,8C=4,過點(diǎn)A作射線

點(diǎn)。、E是射線4W上的兩點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)A重合,點(diǎn)E在點(diǎn)。右側(cè)),連接3D、BE

分別交邊AC于點(diǎn)/、G,NDBE=NC.

(1)當(dāng)AD=1時(shí),求FB的長(zhǎng)

(2)設(shè)AD=x,FG=y,求>關(guān)于》的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;

(3)聯(lián)結(jié)力G并延長(zhǎng)交邊8c于點(diǎn)H,如果△08〃是等腰三角形,請(qǐng)直接寫出A。的

長(zhǎng).

4/—4V-+36937

【答案】(1)FB=-M;(2)y=(0<x<4);(3)AO=一或一或一.

5.5x+2()\'428

【解析】

4(f+9)

【分析】

4x+9

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