2012年北京高考數(shù)學(xué)試題與答案(理科)

數(shù)學(xué)（理）（北京卷）第頁（共5頁）2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理)(北京卷)本試卷共5頁，150分。考試時(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．（1）已知集合，，則（A）（B）（C）（D）（2）設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋趨^(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于的概率是（A）（B）（C）（D）（3）設(shè)．“”是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（4）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（A）（B）（C）（D）（5）如圖，，于點(diǎn)，以為直徑的圓與交于點(diǎn)．則（A）（B）（C）（D）（6）從中選一個(gè)數(shù)字，從中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（A）（B）（C）（D）（7）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（A）（B）（C）（D）（8）某棵果樹前年的總產(chǎn)量與之間的關(guān)系如圖所示．從目前記錄的結(jié)果看，前年的年平均產(chǎn)量最高，的值為（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．（9）直線為參數(shù)與曲線為參數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為．（10）已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和．若，，則．（11）在中，若，，，則．（12）在直角坐標(biāo)系中，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線相交于、兩點(diǎn)，其中，點(diǎn)在軸上方．若直線的傾斜角為，則的面積為．（13）已知正方形的邊長為，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為．（14）已知，．若同時(shí)滿足條件：①，或；②，．則的取值范圍是．三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．（15）（本小題共13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的定義域及最小正周期；（Ⅱ）求的單調(diào)遞增區(qū)間．（16）（本小題共14分）如圖，在中，，，，分別為上的點(diǎn)，且//，，將沿折起到的位置，使，如圖．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若是的中點(diǎn)，求與平面所成角的大??；（Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面垂直？說明理由．（17）（本小題共13分）近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：噸）：“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾可回收物其他垃圾（Ⅰ）試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；（Ⅱ）試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率；（Ⅲ）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為，其中，600．當(dāng)數(shù)據(jù)的方差最大時(shí)，寫出的值（結(jié)論不要求證明），并求此時(shí)的值．（注：…，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）（18）（本小題共13分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，求的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間上的最大值．（19）（本小題共14分）已知曲線：．（Ⅰ）若曲線是焦點(diǎn)在軸點(diǎn)上的橢圓，求的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)，曲線與軸的交點(diǎn)為（點(diǎn)位于點(diǎn)的上方），直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：三點(diǎn)共線．（20）（本小題共13分）設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于，且所有數(shù)的和為零．記為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合．對(duì)于，記為的第行各數(shù)之和≤≤，為的第列各數(shù)之和≤≤．記為，中的最小值．（Ⅰ）對(duì)如下數(shù)表，求的值；（Ⅱ）設(shè)數(shù)表形如求的最大值；（Ⅲ）給定正整數(shù)，對(duì)于所有的，求的最大值．2012高考北京數(shù)學(xué)真題答案及簡(jiǎn)析一、選擇題題號(hào)12345678答案DDBCABBC二、填空題題號(hào)91011121314答案21；41；1三、解答題15．解：（1）原函數(shù)的定義域?yàn)椋钚≌芷跒椋?）原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，16．解：（1），平面，又平面，又，平面（2）如圖建系，則，，，∴,設(shè)平面法向量為則∴∴∴又∵∴∴∴與平面所成角的大?。?）設(shè)線段上存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則則，設(shè)平面法向量為則∴∴假設(shè)平面與平面垂直則，∴，，∵∴不存在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面垂直17．（）由題意可知：（）由題意可知：（）由題意可知：，因此有當(dāng)，，時(shí)，有．18．解：（）由為公共切點(diǎn)可得：，則，，，則，，①又，，，即，代入①式可得：．（2），設(shè)則，令，解得：，；，，原函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增①若，即時(shí)，最大值為；②若，即時(shí)，最大值為③若時(shí)，即時(shí)，最大值為．綜上所述：當(dāng)時(shí)，最大值為；當(dāng)時(shí)，最大值為．19．（1）原曲線方程可化簡(jiǎn)得：由題意可得：，解得：（2）由已知直線代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：，，解得：

由韋達(dá)定理得：①，，②設(shè)，，方程為：，則，，，欲證三點(diǎn)共線，只需證，共線即成立，化簡(jiǎn)得：將①②代入易知等式成立，則三點(diǎn)共線得證。20．解：（1）由題意可知，，，，∴（2）先用反證法證明：若則，∴同理可知，∴由題目所有數(shù)和為即∴與題目條件矛盾∴．易知當(dāng)時(shí)，存在∴的最大值為1（3）的最大值為.首先構(gòu)造滿足的：，.經(jīng)計(jì)算知，中每個(gè)元素的絕對(duì)值都小于1，所有元素之和為0，且，，.下面證明是最大值.若不然，則存在一個(gè)數(shù)表，使得.由的定義知的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都不小于，而兩個(gè)絕對(duì)值不超過1的數(shù)的和，其絕對(duì)值不超過2，故的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都在區(qū)間中.由于，故的每一列兩個(gè)數(shù)符號(hào)均與列和的符號(hào)相同，且絕對(duì)值均不小于.設(shè)中有列的列和為正，有列的列和為負(fù)，由對(duì)稱性不妨設(shè)，則.另外，由對(duì)稱性不妨設(shè)的第一行