圖形的軸對稱講義

2.1圖形的軸對稱

知識點梳理

1、軸對稱的性質(zhì)

(1)如果兩個圖形關于某直線對稱,那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

由軸對稱的性質(zhì)得到一下結論：

①如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱;

②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，

就可以得到這兩個圖形的對稱軸.

(2)軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

2、作圖-軸對稱變換

幾何圖形都可看做是由點組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊

的對稱點開始的，一般的方法是：

①由已知點出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；

②直線的另一側，以垂足為一端點，作一條線段使之等于已知點和垂足之間的線段的長，得

到線段的另一端點，即為對稱點；

③連接這些對稱點，就得到原圖形的軸對稱圖形.

3、軸對稱-最短路線問題

①、最短路線問題

在直線L上的同側有兩個點A、B,在直線Z,上有到A、8的距離之和最短的點存在，可以

通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L

的交點就是所要找的點.

1

A

B

P\：

②、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理.，結合本節(jié)所學軸對稱變換來解

決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點.

題型梳理

題型一軸對稱圖形性質(zhì)直接運用

1.如圖，在2X2的方格紙中有一個以格點為頂點的△48C,則與△ABC成軸對稱且以格點

為頂點三角形共有()

A.3個B.4個C.5個D.6個

2.如圖，直線MN是四邊形AM3N的對稱軸，點尸是直線上的點，下列判斷錯誤的是

()

A.AM=BMB.AP=BNC./MAP=NMBPD./ANM=/BNM

2

3.如圖的2X4的正方形網(wǎng)格中，的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱

為格點三角形，在網(wǎng)格中與△ABC成軸對稱的格點三角形一共有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

4.如圖，若△ABC與△AbC關于直線MN對稱，BB咬MN于點、0,則下列說法不一定正

確的是（）

A.AC=A,CB.BO=B'OC.AA'LMND.AB=B'C

5.如圖，4鉆。與△￡?關于直線/對稱,BE交/于點O,則下列說法不一定正確的是（）

A.AC=DFB.BO=EOC.AD1.1D.AB//EF

題型二根據(jù)軸對稱求邊和角

1.如圖，△48C和B'C關于直線/對稱，若NA=50°,ZCZ=30°,則NB的

度數(shù)為（）

3

A.30°B.50°C.90°D.100°

2.如圖，在RtZ\ABC中，NBAC=90°,ZB=50°,ADIBC,垂足為Q,l\ADB與jl\

AZ）F關于直線AQ對稱，點B的對稱點是點5,則/。9的度數(shù)為（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

3.如圖，NMON內(nèi)有一點P,P點關于。歷的軸對稱點是G,P點關于ON的軸對稱點是

H,G”分別交OM、ON于A、B點，若/MON=35°,則NGOH=（）

A.60°B.70°C.80°D.90°

4.如圖，ZVIBC中，。點在BC上，NB=62°,NC=53°,將。點分別以AB、AC為對

稱軸，畫出對稱點E、F,并連接AE、AF.則NE4F的度數(shù)為（）

BD

4

A.124°B.115°C.130°D.106°

5.如圖，在△ABC中，點。，E分別在邊43,上，點A與點上關于直線CO對稱.若

AB=7,AC=9,8。=12,則△QBE的周長為()

A.9B.10C.11D.12

6.如圖,△ABC與B'C關于直線/對稱,若NA=50°,ZC=20°,則N8度數(shù)

為()

C.90°D.30°

7.如圖，四邊形48co中，點8關于4C的對稱點"恰好落在CO上，若NBAD

=110°,則NAC8的度數(shù)為（)

A.40B.35°C.60°D.70°

8.如圖，四邊形A3CO中，點B關于AC的對稱點夕恰好落在CO上，若NA4O

5

=a，則/ACB的度數(shù)為（)

11

A.-aB.900-4aC.45°D.a-45°

22

9.如圖，中，/ACB=90°,ZA=50°,將其折疊，使點A落在邊CB上A'處,

折痕為CQ,則NA'DB為.

10.如圖所示，點P為NAOB內(nèi)一點，分別作出P點關于OA、08的對稱點Pi,Pi,連接

P1P2交OA于交。8于N,PIP2=15,則△2m可的周長為

X

0J/VA

耳

11.如圖，把一張長方形的紙按圖那樣折疊后，13、。兩點落在B'、。'點處，若得NAOB'

=70°,則/夕OG的度數(shù)為____.

6

12.如圖，正方形A8C。的邊長為4c〃?，則圖中陰影部分的面積為cm2.

13.如圖，/MON內(nèi)有一點P,點P關于0M的軸對稱點是G,點P關于ON的軸對稱點

是H,GH分別交。例、ON于A、B點，若NMON=35°,則NGO，=.

14.如圖，/BAC=110°,若A,8關于直線M尸對稱，A,C關于直線NQ對稱，則/B4Q

的度數(shù)是.

15.如圖，在RtZ\ABC中，NB4c=90°,ZB=50°,ADLBC,垂足為￡>,AADB與^

關于直線AO對稱，點8的對稱點是點8,則NCAS的度數(shù)為.

16.如圖是小明制作的風箏，為了平衡制成了軸對稱圖形，已知OC是對稱軸，NA=35°,

/BCO=30°,那么N4OB=度.

7

A

17.如圖，△AOB與ACOB關于邊OB所在的直線成軸對稱，AO的延長線交BC于點D.若

ZBOD=46°,ZC=22°,則NADC=°.

18.在△4BC中，AB=AC,NABC=75°,AO_LBC于點。，點。關于AB、AC對稱的點

分別為E、F,連接EF分別交AB、AC于點M、N,分別連接￡>M、DN,若49=6,則

△DMN的周長為.

題型三軸對稱與最值問題

I.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線，P是4。上一個動點，則

下列線段的長度等于8P+EP最小值的是（）

8

A

A.BCB.CEC.ADD.AC

2.如圖所示，正方形ABC。的面積為12,△A8E是等邊三角形，點E在正方形A8CQ內(nèi),

在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）

A.2V3B.2V6C.3D.V6

3.如圖，已知NO,點尸為其內(nèi)一定點，分別在NO的兩邊上找點A、B,使△必8周長最

小的是（）

A.B.

C.D.

4.某平原有一條很直的小河和兩個村莊，要在此小河邊的某處修建一個水泵站向這兩個村

莊供水.某同學用直線（虛線）/表示小河，P,。兩點表示村莊，線段（實線）表示鋪

設的管道，畫出了如下四個示意圖，則所需管道最短的是（)

9

5.如圖，N4O8=30°,0C為/AOB內(nèi)部一條射線，點P為射線0c上一點，0P=6,

點M、N分別為。4、。8邊上動點，則△MNP周長的最小值為（）

A.3B.6C.3V3D.673

6.如圖，在銳角三角形ABC中4B=2,/BAC=45°,NBAC的平分線交BC于點。，M、

N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是（）

C.2D.V6

7.如圖，正方形A8CZ）的邊長為4,/D4c的平分線交。C于點E,若點P、Q分別是4。

和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值是.

10

8.如圖，在△ABC中，AC=BC=2,乙4c8=90°,。是BC邊的中點，E是AB邊上一動

點，則EC+ED的最小值是.

9.如圖所示，正方形ABC。的面積為12,ZXABE是等邊三角形，點E在正方形A8CD內(nèi),

在對角線AC上有一點產(chǎn)，使PD+PE的和最小，則這個最小值為.

10.如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90",AC=6,BC=8,AO平分/CAB交8c于。點,

E,尸分別是A。，AC上的動點，則CE+EF的最小值為

11.(1)如圖1,在AB直線一側C、。兩點，在AB上找一點P,使C、。、P三點組成的

三角形的周長最短，找出此點并說明理由.

(2)如圖2,在/AOB內(nèi)部有一點尸，是否在0A、上分別存在點E、凡使得E、

11

F、P三點組成的三角形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由.

（3）如圖3,在/AOB內(nèi)部有兩點M、N,是否在OA、0B上分別存在點E、F,使得E、

F、M、N,四點組成的四邊形的周長最短，找出E、F兩點,并說明理由.

題型四周長最值求角

1.如圖，點P是NAOB內(nèi)任意一點，0P=5c/n,點M和點N分別是射線04和射線上

的動點，△「〃代周長的最小值是5c/n,則/A08的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

2.如圖，點P是乙4OB內(nèi)任意一點，且408=40°,點M和點N分別是射線04和射

線08上的動點，當周長取最小值時，則NMPN的度數(shù)為（）

A.140°B.100°C.50°D.40°

3.如圖，四邊形A8C。中，ZBAD=nO°,NB=/￡>=90°,在BC、CD上分別找一點

M、N,使△AMN周長最小時，則NAMN+/AMW的度數(shù)為（）

12

A.130°B.120°C.110°D.100°

4.如圖，在銳角aABC中，ZACB=50°；邊A8上有一定點尸，M、N分別是AC和BC

邊上的動點，當?shù)闹荛L最小時，NMPN的度數(shù)是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

5.如圖，點P是/AOB內(nèi)任意一點，OP=8cm,點M和點N分別是射線OA和射線08上

的動點，△PMN周長的最小值是8cm,則NAOB的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

6.已知點P在NMON內(nèi).

（1）如圖1,點尸關于射線0M的對稱點是G,點尸關于射線ON的對稱點是H,連接

OG、OH、OP.

①若NMON=50。，則/GOH=；

②若PO=5,連接GH,請說明當NMON為多少度時，GH=10；

13

(2)如圖2,若NMON=60°,A、8分別是射線。M、ON上的任意一點，當?shù)?/p>

周長最小時，求NAPB的度數(shù).

14

答案與解析

題型一軸對稱圖形性質(zhì)直接運用

1.如圖，在2X2的方格紙中有一個以格點為頂點的△力BC,則與△ABC成軸對稱且以格點

為頂點三角形共有（）

15

A.3個B.4個C.5個D.6個

【分析】解答此題首先找到△ABC的對稱軸，EH、GC、AO,BF等都可以是它的對稱軸，

然后依據(jù)對稱找出相應的三角形即可.

【解答】解：與△ABC成軸對稱且以格點為頂點三角形有aASG、/XCDF,AAEF.△

DBH,ABCG共5個，

故選：C.

2.如圖，直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，點P是直線MN上的點，下列判斷錯誤的是

()

A.AM=BMB.AP=BNC.NMAP=/MBPD.NANM=NBNM

【分析】根據(jù)直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，得到點A與點B對應，根據(jù)軸對稱的

性質(zhì)即可得到結論.

(解答［解：,??直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，

16

...點A與點8對應,

：.AM=BM,AN=BN,/ANM=NBNM,

?點P時直線MN上的點，

：.ZMAP=ZMBP,

C,。正確，B錯誤，

故選:B.

3.如圖的2X4的正方形網(wǎng)格中，△A8C的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱

為格點三角形，在網(wǎng)格中與△A8C成軸對稱的格點三角形一共有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，找出對稱軸及相應的三角形即可.

【解答】解:如圖:

共3個，

故選：B.

4.如圖，若△ABC與△A5C,關于直線對稱，BB咬MN于點0,則下列說法不一定正

確的是（）

17

A.AC=A'CB.BO=B'OC.AA'LMND.AB=B'C

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：..?△48C與aA'B'C關于直線MN對稱，

：.AC=A'C',A4'LMN,BO=B'0,故4、B、C選項正確，

AB=B'C不一定成立，故。選項錯誤，

所以，不一定正確的是D

故選：D.

5.如圖,AABC與△。所關于直線/對稱,BE交/于點0,則下列說法不一定正確的是（）

A.AC=DFB.B0=E0C.ADA.ID.AB//EF

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解決問題即可.

【解答】解：:△ABC與△DEF關于直線/對稱，

:.△ACBQXDFE,直線/垂直平分線段A。，直線/垂直平分線段BE,

：.AC=DF,ADLl,OB=OE,

18

故選項A,B,C正確，

故選：D.

題型二根據(jù)軸對稱求邊和角

1.如圖，△48C和B'C關于直線/對稱，若NA=50°,ZCZ=30°,則NB的

度數(shù)為（）

A.30°B.50°C.90°D.100°

【分析】先根據(jù)△ABC和△A'B'C關于直線/對稱得出△ABCgZVl'B,Cf,故可

得出NC=NU,再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結論.

【解答】解：VAABCaiAA/4C關于直線/對稱，NA=50°,NC'=30°,

???△ABC絲BrC,

/.ZC=ZCZ=30°,

.,.ZB=I80°-ZA-ZC=180°-50°-30°=100°.

故選：Q.

2.如圖，在RtAABC中，ZBAC=90°,ZB=50°,ADLBC,垂足為O,△A￡>3與4

A。笈關于直線AQ對稱，點5的對稱點是點8,則NC4笈的度數(shù)為（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

19

【分析】由余角的性質(zhì)可求NC=40°,由軸對稱的性質(zhì)可得N488=N5=50°,由外

角性質(zhì)可求解.

【解答】解：?.?N8AC=90°,NB=50°,

???NC=40°,

??,XADB與△AO8關于直線AD對稱，點B的對稱點是點

???NA88=N8=50°,

：.ZCAB'=AAB'B-ZC=10°,

故選：A.

3.如圖，NMON內(nèi)有一點P,尸點關于OM的軸對稱點是G,P點關于ON的軸對稱點是

H,G"分別交OM、ON于A、B點，若NMON=35°,則NGO”=()

A.60°B.70°C.80°D.90°

【分析】連接OP,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得NGOM=NMOP,ZPON=ZNOH,然后求

出NGO”=2NMON,代入數(shù)據(jù)計算即可得解.

【解答】解：如圖，連接OP,

???P點關于OM的軸對稱點是G,尸點關于ON的軸對稱點是H,

：.NGOM=/MOP,/PON=/NOH,

JZGOH=ZGOM+ZMOP+ZPON+ZNOH=2AMON,

???/MON=35°，

：.ZGOH=2X35°=70°.

20

故選：B.

4.如圖，ZVIBC中，力點在BC上，NB=62°,/C=53°,將。點分別以A8、AC為對

稱軸，畫出對稱點E、F,并連接AE、AF.則NEA尸的度數(shù)為（）

A.124°B.115°C.130°D.106°

【分析】連接4。利用軸對稱的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：連接AO,

?.?。點分別以AB、AC為對稱軸，畫出對稱點E、F,

:.NEAB=/BAD,ZFAC=ZCAD,

VZB=62°,ZC=53°,

：.ZBAC=ZBAD+ZDAC=\SQO-620-53°=65°,

：.ZEAF=2ZBAC^130Q,

21

5.如圖，在AABC中，點。，E分別在邊AB,BC上，點A與點E關于直線CQ對稱.若

AB=7,AC=9,BC=12,則△￡>?￡：的周長為（）

A.9B.10C.11D.12

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到：AD=DE,AC=CE,結合已知條件和三角形周長公式

解答.

【解答】解：???點A與點E關于直線C。對稱，

：.AD=DE,AC=CE=9,

；AB=7,AC=9,BC=12,

：.ADBE的周長=BQ+QE+BE=BQ+AO+BC-AC=AB+BC-AC=7+12-9=10.

故選：B.

6.如圖，ZVIBC與B'C關于直線/對稱，若NA=50°,NC=20°,則Nb度數(shù)

為（）

22

23

A.110°B.70°C.90°D.30°

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求出N5,再利用軸對稱的性質(zhì)解決問題即可.

【解答】解：?.?△ABC與B'C關于直線/對稱，

:?/B'=/B,

VZB=180°-ZA-ZC=180°-50°-20°=110°,

：.ZBf=110°,

故選：A.

7.如圖，四邊形ABC。中，點8關于AC的對稱點"恰好落在C。上，若NBA。

=110°,則NAC5的度數(shù)為（）

A.40°B.35°C.60°D.70°

【分析】連接AS,BB\過A作AE_LCD于￡依據(jù)N3AC=N8AC,ZDAE=ZB'AEf

即可得出NCAE=4/84。，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)，即可得到/AC8

1

=ZACB'=90°-"BAD.

【解答】解：如圖，連接AS,BB',過A作AEJ_CQ于七，

23

點8關于AC的對稱點8恰好落在CD上，

??.AC垂直平分8B，，

：.AB=AB\

：.ZBAC=ZB'AC,

\'AB=AD9

：.AD=AB\

又YA及LC。，

???ZDAE=ZB'AE,

i

/.ZCAE=|ZBAD=55°,

又???NAEC=90°,

AZACB=ZACB,=35°,

故選:B.

8.如圖，四邊形ABC。中，A8=A。，點8關于AC的對稱點夕恰好落在CD上，若NB4O

=a,則NAC3的度數(shù)為（）

24

D

1i

A.-aB.900-4aC.45°D.a-45°

22

【分析】連接AB',BB',過A作AE_LC￡)于E,依據(jù)NB'AC,ZDAE^ZB'AE,

即可得出NC4E=；NBA￡),再根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)，即可得到NAC8

1

=ZACB'=90°-^BAD.

【解答】解：如圖，連接A8,BB\過A作AEJ_CD于E,

,/點B關于AC的對稱點8恰好落在CD上,

???AC垂直平分BB',

：.AB=AB\

；?NBAC=NB，AC,

VAB=ADf

：.AD=AB\

又???AEJ_CO,

：.ZDAE=ZB'AEf

25

.".ZCAE^^ZBAD=^a,

又；/4￡：3'=/4。8'=90°,

二四邊形AOB'E中，NEB'O=180°-1a,

1i

AZACB'=ZEB'O-ZCOB'=180°-*a-90°=90°-1a,

i

AZACB=ZACB'=90Q-^a,

故選：B.

9.如圖，RtZXABC中，/ACB=90°,ZA=50°,將其折疊，使點A落在邊CB上A'處,

折痕為CD,則/A'DB為10°.

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知NCA'￡>=NA=50°,然后根據(jù)外角定理可得出/A'

DB.

【解答】解：由題意得：ZCA'O=NA=50°,ZB=40°,

由外角定理可得：NCA'￡>=/8+NA'DB,

可得：NA'DB=\0°.

故答案為：10°.

10.如圖所示，點P為/AOB內(nèi)一點，分別作出P點關于OA、。8的對稱點尸1,Pi,連接

P1P2交0A于M,交。8于N,P\P2=\5,則△PMN的周長為交.

26

p

2B

□J/VA

耳

【分析】P點關于的對稱是點Pi,P點關于0B的對稱點P2,故有PM=P\M,PN

=P1N.

【解答】解：點關于04的對稱是點P，P點關于0B的對稱點P2,

：.PM=P\M,PN=P1N.

/XPMN的周長為PM+PN+MN=MN+PIM+P2N=PiP2=15.

故答案為：15

11.如圖，把一張長方形的紙按圖那樣折疊后，B、。兩點落在B'、D'點處，若得NAOB'

=70°,則/夕0G的度數(shù)為55°.

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得NB'OG=NBOG,再根據(jù)NAOB'=70°,可得出NB'

0G的度數(shù).

【解答】解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得：/B'OG=NBOG

又NAOB'=70°,可得NB'OG+/BOG=110°

1

；.NB'<?G=|xllO°=55°.

12.如圖，正方形ABC。的邊長為4c加，則圖中陰影部分的面積為」a〃2.

27

【分析】正方形為軸對稱圖形，一條對稱軸為其對角線；由圖形條件可以看出陰影部分

的面積為正方形面積的一半.

【解答】解：依題意有5牌=3乂4乂4=8。m2.

故答案為：8.

13.如圖，NMON內(nèi)有一點P,點P關于0M的軸對稱點是G,點P關于ON的軸對稱點

是H,GH分別交OM、ON于A、8點，若NMON=35°,則/GOH=70°.

【分析】連接0P，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得/GOM=/MOP,4P0N=NN0H,然后求

出NGO//=2/MON,代入數(shù)據(jù)計算即可得解.

【解答】解：如圖，連接。P,

點關于OM的軸對稱點是G,P點關于ON的軸對稱點是H,

:.NGOM=/MOP,NPON=NNOH,

：.ZGOH=ZGOM+ZMOP+ZPON+ZNOH=2ZMON,

■:NMON=35°,

：.ZGOH=2X35°=70°.

故答案為：70。.

28

14.如圖，NBAC=110°,若A,B關于直線MP對稱，A,C關于直線NQ對稱，則N41Q

的度數(shù)是40。.

【分析】由/54C的大小可得與NC的和，再由線段垂直平分線，可得

/QAC=NC,進而可得/%。的大小.

【解答】解：,??NBAC=110°,

：.ZB+ZC=70°,

B關于直線MP對稱，4,C關于直線N。對稱，

又；MP,NQ為AB，4c的垂直平分線，

:.NBAP=NB,ZQAC=ZC,

：.ZBAP+ZCAQ^10°,

：.ZPAQ^ZBAC-ZBAP-ZCAQ=l\00-70°=40°

故答案為：40°.

15.如圖，在RtZ\ABC中，NBAC=90°,ZB=50°,ADLBC,垂足為￡),△AOB與4

AD9關于直線AO對稱，點B的對稱點是點片，則/。81的度數(shù)為10°.

29

A

【分析】求出/C,ZAB'D,利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：VZB=50°,NA8C=90°,

.\ZC=90°-50°=40°,

'.'AD1BC,△408與△AOS關于直線AO對稱，

AZAB'O=N8=50°,

,：ZAB1D^ZC+ZCAB',

：.ZCAB'=500-40°=10°,

故答案為為。.

16.如圖是小明制作的風箏，為了平衡制成了軸對稱圖形，已知。C是對稱軸，NA=35°,

/BCO=30°,那么/COB=130度.

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，軸對稱圖形的兩部分是全等的.

【解答】解：依題意有N4OB=2（NA+NAC。）=2（NA+NBC。）=130°.

17.如圖，△AOB與△COB關于邊。8所在的直線成軸對稱，A。的延長線交BC于點D若

/80。=46°,NC=22°,則NAZ）C=70°.

30

B

【分析】根據(jù)求出/A,/ABD即可.

【解答】解：???△AOB與aCOB關于邊。8所在的直線成軸對稱，

二△AOBdCOB,

AZA=ZC=22°,NABO=NCBO,

,：ZBOD^ZA+ZABO,

，NABO=46°-22°=24°,

...NA8O=2NABO=48°,

AZADC^ZA+ZABD=220+48°=70°,

故答案為：70.

18.在△ABC中，AB=AC,/A3C=75°,A￡>_L2C于點￡),點。關于AB、AC對稱的點

分別為E、F,連接EF分別交AB、AC于點M、N,分別連接DM、DN,若40=6,則

ADMN的周長為6.

【分析】連接AE,AF,依據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可得到△AEF是等邊三角形，進而得出

31

AE

32

=EF=6,依據(jù)EM=OM,FN=QM即可得到△DMN的周長=DM+MN+DF=EM+MN+NF

=6.

【解答】解：如圖，連接AE,AF,

??,點。關于AB、AC對稱的點分別為E、F,

???48垂直平分QE,AC垂直平分。凡

：.AE=AD=AF=6,ABIDE,AC1DF,

：.ZEAB=ZDAB,ZCAF=ZCAD,

???A8=AC,ZABC=15°,

：.ZBAC=30°,

：.ZEAF=60°,

；?AAEF是等邊三角形，

：.AE=EF=6,

：?EM+MN+NF=6,

TAB垂直平分OE,AC垂直平分。尺

:?EM=DM,FN=DN,

：.XDMN的周長=￡>M+MN+OF=EM+MN+NF=6,

BDC

32

題型三軸對稱與最值問題

I.如圖，在△4BC中，AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線，P是4。上一個動點，則

下列線段的長度等于BP+EP最小值的是（）

A.BCB.CEC.ADD.AC

【分析】如圖連接PC,只要證明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+POCE,

推出尸、C、E共線時，P8+PE的值最小，最小值為CE的長度.

【解答】解：如圖連接PC,

'：AB=AC,BD=CD,

J.ADLBC,

：.PB=PC,

：.PB+PE=PC+PE,

,:PE+PC'CE,

；.P、C、E共線時，尸8+PE的值最小，最小值為CE的長度,

故選：B.

33

2.如圖所示，正方形A8C。的面積為12,△ABE是等邊三角形，點E在正方形A8C。內(nèi),

在B對角線AC上有一：點P,使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）

A.2V3B.25/6C.3D.V6

【分析1由于點B與D關于AC對稱，所以連接BD,BE與AC的交點為P,此時PD+PE

=BE最小，而8E是等邊△ABE的邊，BE=AB,由正方形ABCD的面積為12,可求出

AB的長，從而得出結果.

【解答】解：設BE與AC交于點F（尸’），連接8。，

:點B與Z）關于4c對稱，

：.P'D=P'B,

：.P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.

即P在AC與BE的交點上時，PD+PE最小，為BE的長度；

,/正方形ABCD的面積為12,

；.AB=2V5.

又「△ABE是等邊三角形，

：.BE=AB=2^3.

故所求最小值為2H.

故選：A.

34

3.如圖，已知NO,點P為其內(nèi)一定點，分別在NO的兩邊上找點A、8,使周長最

小的是（）

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得到結論.

【解答】解：分別作點尸關于NO的兩邊的對稱點P\,P2,連接P1P2交NO的兩邊于A,

B,連接B4,PB,此時的周長最小.

故選：D.

4.某平原有一條很直的小河和兩個村莊，要在此小河邊的某處修建一個水泵站向這兩個村

莊供水.某同學用直線（虛線）/表示小河，P,Q兩點表示村莊，線段（實線）表示鋪

設的管道，畫出了如下四個示意圖，則所需管道最短的是（）

35

o

D.

【分析】利用對稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉化為兩定點之間的距離.

【解答】解：作點P關于直線/的對稱點C,連接QC交直線/于M.

根據(jù)兩點之間，線段最短，可知選項C鋪設的管道最短.

故選：C.

C

5.如圖，ZAOB=30°,0C為NA02內(nèi)部一條射線，點尸為射線0C上一點，。尸=6,

點M、N分別為。4、08邊上動點，則△MNP周長的最小值為（）

A.3B.6C.3V3D.673

【分析】作點P關于0A的對稱點Pi,點P關于0B的對稱點P2,連接P1P2,與0A的

交點即為點與08的交點即為點M則此時M、N符合題意，求出線段PiP2的長即

可.

【解答】解：作點P關于0A的對稱點Pi,點P關于0B的對稱點尸2,連接P1P2

與0A的交點即為點M,與0B的交點即為點N,

APMN的最小周長為PM+MN+PN=PiM+MN+PzN=P1P2,即為線段P1P2的長，

36

連接0P1、OP2,則OPi=O尸2=0尸=6,

又,.?NROP2=2/AQB=60°,

...△0PlP2是等邊三角形，

；.P1P2=OP1=6,

即△PMN的周長的最小值是6.

故選:B.

6.如圖，在銳角三角形ABC中AB=2,N54C=45°,NBAC的平分線交BC于點O,M、

N分別是A。和A8上的動點，則BM+MN的最小值是（）

A.1B.V2C.2D.V6

【分析】從已知條件結合圖形認真思考，通過構造全等三角形，利用三角形的三邊的關

系確定線段之和的最小值.

【解答】解：如圖，在AC上截取AE=AM連接BE,

37

VABAC的平分線交BC于點D,

：.NEAM=NNAM,

在△AME與△AMN中，

AE=AN,ZEAM=ZNAM,AM=AM,

.?.△AME也△AMN(SAS),

:.ME=MN.

：.BM+MN=BM+ME2E,

當BE是點B到直線AC的距離時，BE1.AC,此時BM+MN有最小值，

"：AB=2,N8AC=45°,此時aABE為等腰直角三角形，

BE=V2,即BE取最小值為VL

BM+MN的最小值是魚.

故選:B.

7.如圖，正方形ABCD的邊長為4,/D4c的平分線交。C于點E,若點尸、。分別是AO

和AE上的動點，則OQ+PQ的最小值是，夜

38

【分析】過。作AE的垂線交AE于F,交AC于O',再過。'作AP'VAD,由角平

分線的性質(zhì)可得出是。關于AE的對稱點，進而可知O'P'即為OQ+PQ的最小值.

【解答】解：作DD'J_AE于尸，交AC于。'，再過。'作O'P'于尸'，

*：DD'LAE,

：.ZAFD^ZAFD',

'：AF=AF,ZDAE=ZCAE,

.?.△D4F妾△￡)'AF,

：.D'是。關于AE的對稱點，AD'=AD=4,

.MP'即為QQ+PQ的最小值，

?.?四邊形ABC。是正方形，

：.ZDAD'=45°,

：.AP'=P，D',

.,.在RtzMP'D'中，

P'D'2+AP'2=A?2,AD'2=16,

"：AP'=P'O',

2P'D'2=AZ)'2,g|j2P'D，2=[6,

：.P'D'=2&,

即DQ+PQ的最小值為2企，

故答案為：2口.

39

8.如圖，在△ABC中，AC=BC=2,乙4c8=90°,。是BC邊的中點，E是AB邊上一動

點，則EC+ED的最小值是_b_.

【分析】首先確定DC'=DE+EC'=OE+CE的值最小.然后根據(jù)勾股定理計算.

【解答】解：過點C作COJ_AB于O,延長CO到C',使OC'=0C,連接。C',交

AB于E,連接CE,

llhff'j-DE+CE=DE+EC=DC'的值最小.

連接BC',由對稱性可知/C'BE=NCBE=45°,

:.NCBC'=90°,

：.BCIBC,ZBCC=NBC'C=45°,

：.BC=BC'=2,

?.?。是BC邊的中點，

：.BD=1,

根據(jù)勾股定理可得DC=7BC'2+BD2=V22+I2=V5.

故答案為：V5.

40

9.如圖所示，正方形ABC。的面積為12,△A8E是等邊三角形，點E在正方形ABC。內(nèi),

在對角線4C上有一點P,使PO+PE的和最小，則這個最小值為，、月

【分析】由于點B與。關于4C對稱，所以連接BD,與AC的交點即為F點.此時PD+PE

=BE最小，而8E是等邊AABE的邊，BE=AB,由正方形ABC。的面積為12,可求出

AB的長，從而得出結果.

【解答】解：連接80,與AC交于點F.

;點B與。關于AC對稱，

：.PD=PB,

PD+PE=PB+PE=BE最小.

:正方形ABCQ的面積為12,

.?.AB=2V1

又?:△ABE是等邊三角形，

:.BE=AB=2?

故所求最小值為2g.

故答案為：2次.

41

10.如圖，在Rt/XABC中，NACB=90°,AC=6,BC=8,