幾種常用連續(xù)型隨機(jī)變量

幾種常用的連續(xù)型隨機(jī)變量給出一個(gè)新概念：廣義概率密度函數(shù)。設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量&的概率密度函數(shù)為(p(x),那么任何與之成正比的函數(shù)f(x)^^(x),都叫做f的廣義概率密度函數(shù)，或者說(shuō)，一個(gè)函數(shù)fx)是&的廣義概率密度函數(shù)，說(shuō)明存在著一實(shí)數(shù)a,使得(p(x)=af(x)(1)而知道了廣義概率密度函數(shù)，f的概率密度函數(shù)就可以根據(jù)性質(zhì)J9(x)dx=1,求出一3將(1)式代入得:J中(x)dx=Jaf(x)dx=11則a=Jf(x)dx因此，知道了廣義概率密度函數(shù)就等于知道了一般的概率密度函數(shù)，我們只需關(guān)心函數(shù)的形狀就可以了解概率密度的性質(zhì)了.因此也不必關(guān)于那個(gè)常數(shù)是什么.4.4指數(shù)分布指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為|人e-觸x>0甲⑴=10其它它的圖形如下圖所示：它的期望和方差如下計(jì)算:一800TOC\o"1-5"\h\z=-xe%+8+Je-*dx=-二e一忌=A0人人00一800=-x2e-眾"+P2xe-*dx=《Eg=—0人人20---211Dg=Eg2-(Eg)2=-=—人2人2人2指數(shù)分布常用來(lái)作為各種”壽命”分布的近似.4.5八分布如果一個(gè)隨機(jī)變量4只取正值，且在正半軸的廣義概率密度函數(shù)的形式是x的某次方x^乘上指數(shù)函數(shù)e?,即尸fxke一為x>0(k>-1,九〉0)/⑴=10其它那么就稱￡服從八分布了.上式中之所以要求k>-1,義>0,是因?yàn)閺V義積分+卜+Jf(x)dx=Jxke-招dx一80只有在這種條件下才收斂.此外，傳統(tǒng)上為了方便起見(jiàn)，用另一個(gè)常數(shù)r=k+1,因此廣義概率密度函數(shù)寫為林、fxr-ie-為x>0(r>0,九〉0)f⑴=10其它而真實(shí)的概率密度函數(shù)(p(x)=af3),可以給出常數(shù)a由下式計(jì)算：1a=土8Jxr-ie-Xdx0這樣，計(jì)算的關(guān)鍵就是要計(jì)算廣義積分丁xr-ie-Xxdx,作代換已爪，則x=tn,dx=dt/X,0則fxr-ie-Xxdx=![?j-1e-t!dt=，ftr-ie-dt,000+問(wèn)題就轉(zhuǎn)成怎樣計(jì)算廣義積分Jtr-ie-tdt,這個(gè)積分有一個(gè)參數(shù)r>0,在r為一些特定0的參數(shù)時(shí)，如當(dāng)r=i時(shí)，上面的廣義積分還是可以計(jì)算的，但是當(dāng)r為任意的正實(shí)數(shù)時(shí)，此廣義積分就沒(méi)有一般的公式，一般的原函數(shù)表達(dá)式.在這種情況下數(shù)學(xué)家常用的辦法就是定義一個(gè)新的函數(shù).比如說(shuō)，在中學(xué)學(xué)的三角函數(shù)就無(wú)法用一個(gè)加減乘除的公式表示，因此就發(fā)明了sin,cos這樣的記號(hào)來(lái)代表三角函數(shù).同樣，上面的廣義積分的取值只依賴于參數(shù)r,每給定一個(gè)r值就有一個(gè)積分值與之對(duì)應(yīng)，因此也可以定義一個(gè)函數(shù)，叫八函數(shù)，定義為r(r)=Jtr-ietdt0因此,r分布的概率密度函數(shù)的形式為Xr入/、xr-ie-Xcx>0(r>0,X>0)平⑴=〈「(r)，0其它記作^~r(A,r)r函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)是r(r+1)=rr(r)(r>0)成立證：t+G應(yīng)tre-tdt=J-trde-t=-tre-t1+8+丁e-tdtr0000+=Jrtr-ie-tdt=rr(r)上式用到了定積分的分部積分公式Judv=uvlb-fvdw此外,r(1)=1,因「(1)=ft1-1e-dt=-e-t1+8=100則r(2)=r(1+1)=1,r(3)=2r(2)=2,r(4)=3r(3)=3-2-1=3!,一般地有「(n+1)=n!r-分布的數(shù)學(xué)期望和方差計(jì)算如下:xr-1e-Xxdx=XJ八’xre-Xxd(Xx)=01+8,「(r+1)rJtre-tdt==一X「(r)X「(r)X0Eg2=h22^xr-1e-Xxdx=1f^xhie-Xxd(XEg2「(r)X2「(r)00(r+1)rX21+8…山「(r+2)(r+1)r「(r)=Jtr+1e-tdt==X2「(r)X2「(r)X2「(r)0TOC\o"1-5"\h\z/「丫、(r+1)(r+1)rX2Dg=Eg2—(Eg)2=——=-—\o"CurrentDocument"X2X2X2當(dāng)r=1時(shí),r-分布就是指數(shù)分布，當(dāng)r為正整數(shù)時(shí),Xr一、、C/、xr-1e-Xxx>0甲(x)=<(r—1)!

為r階愛(ài)爾朗分布或稱厄蘭分布(Erlang),在排隊(duì)論中用到，如，在接完一個(gè)電話之后又接了r次電話所需要的時(shí)間，在設(shè)備出了一次故障之后又出了r次故障的時(shí)間.當(dāng)r=n/2(n是正整數(shù)),2=1/2時(shí)，1nxX2~le一2x>0中(x)=國(guó)n)02其它稱為具有n個(gè)自由度的尸-分布，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要的幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量之一.一個(gè)重要結(jié)論，當(dāng)有若干個(gè)參數(shù)2都相同的相互獨(dú)立的服從八分布的隨機(jī)變量相加得到新的隨機(jī)變量，則此新的隨機(jī)變量也服從八分布，其2參數(shù)仍然不變，而r參數(shù)則是各個(gè)隨機(jī)變量的r參數(shù)相加.即如果弓?廠(2，r])M2?r(2，r2),...,4n?r(2，rn)兩兩相互獨(dú)立，貝^=^1+^2+-+^n~r(2，ri+r2+-+rn)此性質(zhì)最常用到的地方，就是當(dāng)有k個(gè)相互獨(dú)立的服從自由度為%，%,...,nk的％2一分布的隨機(jī)變量弓總,...&相加得到的隨機(jī)變量4=4+42+...+￡服從自由度為n=n1+n2+.+nk的分布4.6正態(tài)分布正態(tài)分布也叫高斯分布，是最常用的一種分布，用來(lái)描述許多誤差或者大量隨機(jī)變量之和的分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在討論正態(tài)分布之前，先討論標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。說(shuō)隨機(jī)變量￡服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，是指它的概率密度函數(shù)為甲(x)=-^eTOC\o"1-5"\h\z0<2k證明丁中(x)dx=1如下:0+t+t1x2Jp(x)dx=Je—2dx0、；2兀x令u=—2，dx=J2d"，貝g…1+■?斥.上式=e~u2du=1冗W冗s

上式利用了普阿松廣義積分公式-X2dx=?加-8上式利用了普阿松廣義積分公式-X2dx=?加普阿松積分公式的證明：假設(shè)I=丁e-x2dx則12=j+8e-x2dxj+8e-y2dy=ffe-(x2+y2)dxdy-8-8-8-8積分范圍在整個(gè)平面，作極坐標(biāo)變換，令X=rcos0,y=rsin0,dxdy=rdrd。上式=TPe-r2rdrd0=-2兀上e-r21+8=K因此I=v兀00由于％(x)為偶函數(shù)，因此龐=0,2o100由于％(x)為偶函數(shù)，因此龐=0,利用定積分的分部積分公式j(luò)udv=uvlb-fvdwaax2x22,x2x22,貝gdv=-xe一2de2k7—X

=.——ex2冗_(dá)X2I213-8+J」e2、:2k-8因此標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望為0,方差為1.一個(gè)一般定理，如果￡削的,n=ox+",^>0,則En=oE&+?,n的分布函數(shù)為F(x)=P{n<x}=P{b&+^<x}=P{^<M