突破2023年高考數(shù)學(xué)題型之2022年數(shù)學(xué)高考真題(全國通用)專題37 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計問題(解析版)

專題37成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計問題

【高考真題】

1.(2022.全國乙理)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總

材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積(單位：|蠟)和材積量(單位：m，得

到如下數(shù)據(jù)：

樣本號i12345678910總和

根部橫截面積不0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量當(dāng)0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計算得工累=0038,Zy\=1-6158,Zx/=0.2474.

i=li=li=l

(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為

186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材

積量的估計值.

附：相關(guān)系數(shù)1=,,頡，1.377.

、區(qū)(X「于之(y「寸

Vi=li=l

1.解析(1)樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值彳=辭=0.06

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值尸=3轉(zhuǎn)9=0.39

據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2,平均一棵的材積量為O.39m3

1010

⑵'g"用厝-。鏟?2")

0.2474-10x0.06x0.390.01340.01343

=―/=~/~-------~0.9/r??八Q7

7(0.038-10x0.062)(1.6158-10x0.392)V0.00018960.01377

(3)設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為yn?,

又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得黑=竿，解之得y=1209m3.

則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為1209m3.

2.（2022.新高考I）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好

和

不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病

的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該

?(B|A).P(B\A)

疾病-的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)

?(B|A)P(B|A)

為R.

P(A\B)P(A\B)

(i)證明:K=---=--------------=-

P(A|B)P(A\B)

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（AIB）,P（A|豆）的估計值，并利用（i）的結(jié)果給出R的估計值.

n(ad-hc)2

附犬尸（心“）0.0500.0100.001

(a+b)(c4-d)(a+c)(b+d)'

2.解析（1）由已知k3.8416.63510.828

n(ad-bc)2_200(40x90-60x10)2

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100

又尸(片26.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

P(8|A)P(B\A)P(48)P(A)P(而)P(A)

(2)⑴因為R=

P(B\A)P(B\A)P(A)P(AB)P(A)P(AB)

P(AB)P(B)P(AB)P(B)所以R=.小40

所以R=(ii)由已知P(A|8)=而

P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(A|B)P(A|B)

10-60--90

P(.A\B)=——，又尸(A|B)=——，P(A|B)=——，

100100100

P(A\B)P(^lg)_

所以R=6

P(A|8)P(A|B)~

【知識總結(jié)】

1.變量的相關(guān)關(guān)系

(1)相關(guān)關(guān)系

兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)

系.

(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負(fù)相關(guān).

(3)線性相關(guān)

一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變

量線性相關(guān).

一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相

關(guān).

2.樣本相關(guān)系數(shù)

(1)相關(guān)系數(shù)r的計算

變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計算公式如下：

n____

Z(X,—X)(y,—y)

i=l

二二二二

2

A/Z(XLX)X(y,—y)2

I=Iri

(2)相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)

①當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)K0時，成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)r=0時，成對樣本數(shù)據(jù)間

沒有線性相關(guān)關(guān)系.

②樣本相關(guān)系數(shù)/?的取值范圍為［-1,1J.

當(dāng)K越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；

當(dāng)|r|越接近。時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

3.一元線性回歸模型

(1)經(jīng)驗回歸方程與最小二乘法

AAA

我們將稱為￥關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗

回歸直線.這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的2,1叫做6,。的最小二乘估計，

￡(kx)Gi-y)ixiyi-nx~

=

A/=1l\A____A____

其中》==，a=y—bx

￡(XT)2

i=li=\

(2)利用決定系數(shù)R?刻畫回歸效果

￡(?-)j

/?2=1---------------,R2越大，即擬合效果越好，R2越小，模型擬合效果越差.

I(9-y)2

戶1

4.列聯(lián)表與獨立性檢驗

(1)2X2列聯(lián)表

一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和匕它們的取值分別為｛XI，洶｝和｛M，/｝，其2X2列聯(lián)表為

y

X合計

y=yiy=y2

X=X\aba+b

X=X2cdc+d

合計a+cb+dn=a+b+c+d

(2)臨界值

一=(°+份(；鬻%)(6+4忽略爐的實際分布與該近似分布的誤差后’對于任何小概率值a,可以

找到相應(yīng)的正實數(shù)X.,使得P仍落尸a成立.我們稱x.為a的臨界值，這個臨界值就可作為判斷x2大

小的標(biāo)準(zhǔn).

(3)獨立性檢驗

基于小概率值a的檢驗規(guī)則是：

當(dāng)X22/時，我們就推斷Ho不成立，即認(rèn)為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過a；

當(dāng)/〈羽時，我們沒有充分證據(jù)推斷為不成立，可以認(rèn)為X和y獨立.

這種利用犬的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為爐獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，

簡稱獨立性檢驗.

下表給出了/獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值

a0.10.050.010.0050.001

xa2.7063.8416.6357.87910.828

【題型突破】

考向一概率與回歸分析綜合問題

1.(2020?全國H)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)

某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20

個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(小y；)(i=l,2,…，20),其中x,,和y,?分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋

202020_

面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得官=60,?產(chǎn)1200,Z(為一x)2=80,

1=1<=1i=i

20_20__

E(yi~y產(chǎn)=9000,z(Xi—X)(y,—y)=800.

I=Ii=i

(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平

均數(shù)乘以地塊數(shù))；

(2)求樣本(知》)"=1,2,…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生

動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.

n____

E(Xi-X)(y,—y)

附：樣本相關(guān)系數(shù)r=-----/,也21.414.

A/X(?-x8-y)2

\1尸1<=1

-120

1.解析⑴由已知得樣本平均數(shù)為y==?產(chǎn)60,

%

從而該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為60x200=12000.

20__

ZXLxy-y

⑵…"、.JLL2-一一一"_=瑞嬴/

”/￡XLx2Xyi-y2

i=li=l

=0.94.

(3)分層隨機抽樣，根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進(jìn)行分層隨機抽樣.

理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)關(guān)系.由于各地塊間植

物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大，采用分層隨機抽樣的方法較好地

保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量

更準(zhǔn)確的估計.

2.如圖給出了根據(jù)我國2012年?2018年水果人均占有量y(單位：kg)和年份代碼x繪制的散點圖和經(jīng)驗

回歸方程的殘差圖(2012年?2018年的年份代碼x為1?7).

(8^-a我國2012年~2018年水果人均占有量散點圖

7u

elo-

6o-

il-我國2012年~2018年水果人均占有最殘差圖

^%lo

145o-

3o-

2o-車份

1234567年份代碼^0-2代碼x(l)根據(jù)散

77

點圖分析y與x之間的相關(guān)關(guān)系；(2)根據(jù)散點圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計算得074,弘必=4517,求y關(guān)于

/=!;=1

x的經(jīng)驗回歸方程(精確到0.01)；

(3)根據(jù)經(jīng)驗回歸方程的殘差圖，分析經(jīng)驗回歸方程的擬合效果.

n____

Ex)(y,—y)

附：經(jīng)驗回歸直線：=展+晨中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為;=2---------------二=3-

Z(即一X)2

/=!

A__

hx.

2.解析(1)根據(jù)散點圖可知y與x呈正線性相關(guān).

(2)由所給數(shù)據(jù)計算得x=1x(l+2+…+7)=4,

7__7_____

Z(Xi-X)(>',—y)Hxtyi-nXy

"尸?Z=1221A—A—1074

b=---------------------------=---------------------=TTT^7.893,a—y~bx~~~z——7.893><4~121.86.

7—,7,287

Z(x,—x)2?x2

<=ii=i

故所求經(jīng)驗回歸方程為j=7.89x+121.86.

(3)由題中給出的殘差圖知歷年數(shù)據(jù)的殘差均在一2到2之間，說明經(jīng)驗回歸方程的擬合效果較好.

3.小區(qū)門口有一個熟食攤位，經(jīng)過一段時間的統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)菜品種類和日銷售收入之間有一定關(guān)系，具體

統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

菜品種類145678910

日銷售收入了147159171184197210221

(1)建立y關(guān)于i的線性回歸方程；(y保留整數(shù))

(2)根據(jù)所求線性回歸方程，預(yù)測如果希望日銷售收入超過300元，則菜品種類至少多少種？

X(。-t)8-y)

A尸1A—A—

附：線性回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b=----------------,a=y—bt,

ZU—t)2

/=i

7__7_

參考數(shù)據(jù)：z（ti—t）8—y）=350,Z（6—t）2=28.

i=li=l

..［目工土/口—4+5+6+7+8+9+10—147+159+171+184+197+210+221

3.解析（1）由磔意付=7,二184,

t—yy—7

E(ti-t)(v,—y)

A尸IA_A_

b=----------------=12.5,a=y—bt=184-12.5x7=96.5,

￡(A-ty

尸1

所以線性回歸方程為f=12.5/+96.5.（2）由￡=12.5f+96.5>300,解得/>16.28,所以菜品種類至少17種.

4.配速是馬拉松運動中常使用的一個概念，是速度的一種，是指每千米所需要的

時間，相比配速，把心率控制在一個合理水平是安全理性跑馬拉松的一個重要策略.圖①是一個馬拉

松跑者的心率y（單位：次/分鐘）和配速N單位：分鐘/千米）的散點圖，圖②是一次馬拉松比賽（全程約42

千米）前3000名跑者成績（單位：分鐘）的頻率分布直方圖.

（1）由散點圖看出，可用線性回歸模型擬合

y與x的關(guān)系，求y與x的線性回歸方程;

（2）該跑者如果參加本次比賽，將心率控制在160左右跑完全程，估計他跑完全程花費的時間，并估計

他能獲得的名次.

AAA"Zxiyi-nx-yI：（x,-x）（j,—y）

參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程），=以+”的系數(shù)：---------------------二----

￡甫一〃X2￡（為-x產(chǎn)

A——A——

a=y—bx.

參考數(shù)據(jù)：y=135.

—45+5+6+7+75—

4.解析（1）由散點圖中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得x------=6,y=135,

5__

E(Xi-x)(y,—y)

A_________________一1.5x36+(-l)x30+0x(-5)+lx(-26)+1.5x(-35)

b=jZ=(-1.5)2+(-l)2+02+l2+1.52

E(XLX)2

a=y-^7=135-(-25)x6=285,

所以y與x的線性回歸方程為￡=-25x4-285.

（2）將y=160代入回歸方程得x=5,所以該跑者跑完馬拉松全程所花的時間為42x5=210（分鐘）.從馬拉

松比賽前3000名跑者成績的頻率分布直方圖可知成績好于210分鐘的累計頻率為0.0008x50

4-0.0024x（210-200）=0.064,有6.4%的跑者成績超過該跑者，

則該跑者在本次比賽獲得的名次大約是0.064x3000=192.

5.某機構(gòu)為研究某種圖書每冊的成本費M單位：元）與印刷數(shù)量M單位：千冊）的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)

并進(jìn)行了初步處理，得到了下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

20

15

10

O51()152()253(135404550

印刷數(shù)量X/千冊

8-8-

Z(XLX)y(出一

8―8-u)

￡(Xi—X)21=1X(%—w)2產(chǎn)i

X)'U

i=\/=!

?(y)-y)?⑴-y)

15.253.630.2692085.5一230.30.7877.049

1—18

表中Ui——,U

XiV1

（1）根據(jù)散點圖判斷y=a+bx與），=c+j哪一個模型更適合作為該圖書每冊的成本費y（單位：元）與印

刷數(shù)量M單位：千冊）的經(jīng)驗回歸方程？（只要求給出判斷，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立），關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程（回歸系數(shù)的結(jié)果精確到0.01）.

（3）若該圖書每冊的定價為10元，則至少應(yīng)該印刷多少冊才能使銷售利潤不低于78840元？（假設(shè)能夠

全部售出.結(jié)果精確到1）

附：對于一組數(shù)據(jù)（<01，D|）,（<02，。2）,…，（必，，"），其經(jīng)驗回歸直線t>=a+￡<y的斜率和截距的最小

Z(co,—COV)

Al_\A____A______

二乘估計分別為/?=------------------,a=v一夕a>.

y.(@-co)2

產(chǎn)?

5.解析（1）由散點圖判斷，y=c+：更適合作為該圖書每冊的成本費y（單位：元）與刷數(shù)量x（單位：千

冊）的經(jīng)驗回歸方程.

⑵令”,先建立y關(guān)于〃的經(jīng)臉回歸方程,

X

8__

Z(Ui-u)8—y)

人尸]7()49a一A一

由于d=----------------=:擊心8.96,所以c=y-du=3.63—8.96X0.26921.22,所以y關(guān)于“

8___v./o/

E(小一w)2

(=i

A

的經(jīng)驗回歸方程為y=1.22+8.96“，

Aoqs

所以y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗回歸方程為)=1.22+第.

⑶假設(shè)印刷x千冊，依題意得10x—(1.22+手%》78.840,所以應(yīng)10,所以至少印刷10000冊才能使

銷售利潤不低于78840元.

6.艾滋病是一種危害性極大的傳染病，由感染艾滋病病毒(HIV病毒)引起，它把人體免疫系統(tǒng)中最重要

的CD4-T淋巴細(xì)胞作為主要攻擊目標(biāo)，使人體喪失免疫功能.下表是近八年來我國艾滋病病毒累計

(1)請根據(jù)該統(tǒng)計表，畫出這八年我國艾滋病病毒累計感染人數(shù)的折線圖；

(2)請用相關(guān)系數(shù)說明：能用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系；

(3)建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2024年我國艾滋病病毒累計感染人數(shù).

,-88/-8—.—fl—

2

參考數(shù)據(jù)：45^6.48；區(qū)v=449.6,￡孫=2319.5,\l(x,-x)=y/42f弋百⑴-y產(chǎn)=46.2,

n__n__

T.(Xi-x)(y,—j)AAAA石(XLX)8-y)A

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=/“,回歸方程：y=%x+a中，h=——--------二----,a

(kx產(chǎn)￡](yt-y)2,5,(XLx)2

——A—

=y—bx.

6.解析(I)所求折線圖如圖所示:

9

--8--8

56工XV

-y-XyI=

/A

2,2,te

8__

X(為一x)(y,—y)

說明y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.

8__

zN(kx)(y,-y)2963A_A_

⑶---------------------=-^-^1.05,。=)，~bx=56.2-7.05x4.5-24.48,

(?-x)2

AA

.??y=7.05x+24.48.當(dāng)x=ll時，y=7.05xl1+24.48=102.03.

預(yù)測2024年我國艾滋病累計感染人數(shù)為102.03萬人.

7.近年來，高鐵的發(fā)展逐漸改變了人們的出行方式，我國2016?2020年高鐵運營里程的數(shù)據(jù)如下表所

示.

年份20162017201820192020

年份代碼X12345

高鐵運營里程M萬千米)1.92.22.52.93.5

(1)若X與y具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；

(2)每一年與前一年的高鐵運營里程之差即為該年新增的里程，根據(jù)這五年的數(shù)據(jù)，若用2017?2020年

每年新增里程的頻率代替之后每年新增相應(yīng)里程的概率，求2024年中國高鐵運營里程大于或等于5萬

千米的概率.

n__

AAA-Y..xtyi-nxy

附：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：力=々-----

Ex?-nx2

Z=1

A—A一

a=y-bx.

7.解析(1)JC=|X(|+2+3+4+5)=3,y=1x(l.9+2.2+2.5+2.9+3.5)=2.6.

55

X孫?=1x1.9+2x2.2+3x2.5+4x2.9+5x3.5=42.9,萬=1+4+9+16+25=55,

「石孫―5xy42.9-5x3x2.6A

所以b=1------=刀—=0.39,4=2.6-0.39x3=1.43,

W755—5x3/

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為;=0.39x+1.43.

相應(yīng)概率為自4+?（界4+3（凱凱=a,

所以2024年中國高鐵運營里程大于或等于5萬千米的概率為1—七=||.

8.每年春天，婺源的油菜花海吸引數(shù)十萬游客紛至沓來，油菜花成為“中國最美鄉(xiāng)村”的特色景觀，三

月，婺源篁嶺油菜花海進(jìn)入最佳觀賞期.現(xiàn)統(tǒng)計了近七年每年（2015年用x=l表示，2016年用x=2表

示）來篁嶺旅游的人次y（單位：萬人次）相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：

Xi234567

y29333644485259

AAA

（1）若y關(guān)于x具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程y=fcc+“，并預(yù)測2022年來篁嶺

旅游的人次；

（2）為維持旅游秩序，今需4,B,C,。四位公務(wù)員去各景區(qū)值班，已知A,B,C去篁嶺值班的概率均

為。去篁嶺值班的概率為小且每位公務(wù)員是否去篁嶺值班不受影響，用X表示此4人中去篁嶺值

班的人數(shù)，求X的分布列與均值.

Z(X,-X)8—y)

八尸］A-----A-----

參考公式：b=-----------------,a=y-Z?x.

Z(XLx)2

i=\

77_—

參考數(shù)據(jù)：Z>/=301,Z8-x)8—y)=140.

i=li=\

8.解析(1)由表知T=；X(1+2+3+4+5+6+7)=4,~=|x(29+33+36+44+48+52+59)=43,

7__

Z(Xi—x)8-y)

A產(chǎn)［140A—A——

則6=-----------------=9+4+1+0+1+4+9=5,a=y-"43—5x4=23,

7_

E(樂一X)2

所以f=5x+23,

A

因為2015年用x=l表示，所以2022年時x=8,得y=5x8+23=63（萬人次）.

（2）X的可能取值是0,1,2,3,4,

尸(X=l)=c4x(l—§2號號+c5x(l—|)3x|=11,

P(X=2)=CML|X§2X,+CM1一|卜基=得=募

P(X=3)=CM|>號+0x(1_|乂|居=||,

P(X=4)=C§,x(<j2y\x§1=酉8.

則X的分布列為

X01234

21310288

P8787278?81

4c2,13,10,28,87

故E（X）=0x^-j-+lx^j-+2x—+3x—+4x—=-.

9.研究機構(gòu)對某校學(xué)生往返校時間的統(tǒng)計資料表明：該校學(xué)生居住地到學(xué)校的距離x（單位：千米）和學(xué)生

花費在上學(xué)路上的時間y（單位：分鐘）有如下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

到學(xué)校的距離x（千米）1.82.63.14.35.56.1

花費的時間M分鐘）17.819.627.531.336.043.2

由統(tǒng)計資料表明y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.

（1）判斷y與x的相關(guān)程度;（相關(guān)系數(shù)r的絕對值大于0.75時,認(rèn)為兩個變量相關(guān)程度很強，精確到0.01）

AAA

⑵求線性回歸方程y=〃x+a（精確至IJ0.01）；

AAA

（3）將），＜27的時間數(shù)據(jù)v稱為美麗數(shù)據(jù)，現(xiàn)從這6個時間數(shù)據(jù)M中任取2個，求抽取的2個數(shù)據(jù)全部為

美麗數(shù)據(jù)的概率.

n__n__

AAA“Lxiyt-nx-yE(為-x)(y<—y)

參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程y=6x+a的系數(shù)：b=一,---------------------二----

￡甫一〃X2,￡(XL%)2

A—A一

a=y-bx?

6-6-

Z(XLx)2=i4.3o,zu，—y)2

尸1i=l

9.

____166____6__

⑵由題意得x=3.9,y=7Xy^29.23,Z(x—x)(y,—y)=8030,Z(x—x)2=14.30,

I=I尸i尸i

6____

X(XLX)8-y)

“尸?8030A—A—

所以6=----------------=77^7=5.62,a=y~hx~29.23-5.62x3.9~7.31,

6__14.JU

E(.Xi—X)2

i=l

所以線性回歸方程為f=5.62x+7.31.

(3)由(2)可知，當(dāng)x=3.1時，)=24.732<27,當(dāng)x=4.3時，立=31.476>27,

所以滿足;<27的美麗數(shù)據(jù)共有3個.從這6個數(shù)據(jù)中任取2個共有CW=15(種)情況，其中，抽取的2

個數(shù)據(jù)全部為美麗數(shù)據(jù)的有0=3(種)情況，

所以從這6個數(shù)據(jù)￡中任取2個，抽取的2個數(shù)據(jù)全部為美麗數(shù)據(jù)的概率為*

10.隨著中美貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級，越來越多的國家科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度.中華技術(shù)有限公

司擬對“麒麟”手機芯片進(jìn)行科技升級，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技升級投入M億元)與科技升級

直接收益)，(億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:

序號123456789101112

X2346810132122232425

y1322314250565868.56867.56666

A八L

當(dāng)0<xW17時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：y=4.1x+11.8；模型②：>-=21.3^—14.4；

AA

當(dāng)x>17時，確定y與x滿足的線性回歸方程為y=-0.7x+a.

⑴根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)04W17時模型①、②的相關(guān)指數(shù)R2的大小，并選擇擬合精度更

高、更可靠的模型，預(yù)測對“麒麟”手機芯片科技升級的投入為17億元時的直接收益

回歸模型模型①模型②

回歸方程y=4.1x+11.8>=21.3寸一14.4

7A

篙（yr）2182.479.2

nA

高(yi-y：)2

(附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)------,4萬比4.1)

,5,8-y)2

(2)為鼓勵科技創(chuàng)新，當(dāng)科技升級的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼5億元，以回歸方程為

預(yù)測依據(jù)，比較科技升級投入17億元與20億元時公司實際收益的大??；

n__n__

AAA入Lxiyi-nx-ygx)&「y)

(附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)：6=號---------------------二——，

^xr-nx2玄(X)-x>

A—A—

a=y-bx)

(3)科技升級后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高,經(jīng)實際試驗得X大致服從正態(tài)分布N(0.52,0.012).公

司對科技升級團隊的獎勵方案如下：若芯片的效率不超過50%,不予獎勵；若芯片的效率超過50%但

不超過53%,每部芯片獎勵2元；若芯片的效率超過53%,每部芯片獎勵4元，記丫為每部芯片獲得

的獎勵，求E(V)(精確到0.01).

(附：若隨機變量X~NQ，，/)(。>0),則尸3一<T<XW〃+。)=0.6827,Pa-2b<XW〃+2。)=0.9545)

10.解析⑴由表格中的數(shù)據(jù)，182.4>79.2,

.182.4_______79.2,182.4,79.2

?_>_7_=1_~_<1_~_*

工(y1-VAXy)2工(yt-y)2工(y,—y)2

模型①的相關(guān)指數(shù)心小于模型②的相關(guān)指數(shù)咫,

回歸模型②的擬合效果更好，

...當(dāng)x=17億時，科技升級直接收益的預(yù)測值為￡=21.3?萬一14.4=72.93(億元).

,,匚一4三河一21+22+23+24+25-68.5+68+67.5+66+66

⑵當(dāng)x>17時，由已知可得x=---------;---------=23,y=-----------；----------=67.2,

55

A——

：.a=y+0.7x=67.2+0.7x23=83.3,

...當(dāng)x>17時，y與x滿足的線性回歸方程為f=-0.7x+83.3,

當(dāng)x=20億元，科技升級直接收益的預(yù)測值為￡=-0.7x20+83.3=69.3(億元),

當(dāng)x=20億元時，實際收益的預(yù)測值為69.3+5=74.3億元>72.93億元.

技術(shù)升級投入20億元時，公司的實際收益更大.

(3)—2a—0.50,/z+cr—0.53,

???P(0.50vXW0.53)=Pa—2KX%+O)=P(/L2KX&LO)+P(/LKX3，+。)

0.9545-0.6827

240.6827=0.8186.

11-0.6827

P(X>0.53)=P(X邛+o)=-------------