人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪教師用書：第八章第4節(jié)　雙曲線

第4節(jié)雙曲線

課程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.了解雙曲線的實(shí)際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問

題中的作用.

2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)

(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).

3.理解數(shù)形結(jié)合思想.

4.了解雙曲線的簡單應(yīng)用.

①館激材夯實(shí)四基

必備知識(shí)?課前回顧

【亦知識(shí)梳理

1.雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F?F2(|F,F2|=2C>0)的距離差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小

于|FR|且大于零)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦

點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式:集合

P={M|||MFj-lMFj|=2a},|FEI=2c,其中a,c為常數(shù),且c>a>0.

■釋疑

(1)當(dāng)IPF』-1PF?|=2a(2a<|FF21)時(shí)一，點(diǎn)P的軌跡為靠近F2的雙曲線的

一支.當(dāng)|PFJ-1PF?|=-2a(2a<|FF21)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為靠近F,的雙曲

線的一支.

⑵若2a=2c,則軌跡是以R,F2為端點(diǎn)的兩條射線;若2a>2c,則軌跡不

存在;若2a=0,則軌跡是線段FF2的垂直平分線.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

x2y2y2x2_

標(biāo)準(zhǔn)方程———~1————■1

a2b2a2b2

(a>0,b>0)(a>0,b>0)

圖形%

y￡R,

范圍x￡R,yW-a或y》a

x2a或x<-a

對(duì)稱性對(duì)稱軸:坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心:原點(diǎn)

頂點(diǎn)A】(~~a,0),A2(a,0)Ai(0,~a),(0,a)

性

漸近線y=±-xy=±'x

ab

質(zhì)

離心率e=-,e￡(1,+8)

a

線段AA叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長度|AiAz|=2a;線段

實(shí)虛軸BB叫做雙曲線的虛軸，它的長度|BR|=2b;a叫做雙曲

線的實(shí)半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長

a,b,c

c2=a2+b2

的關(guān)系

3.等軸雙曲線

實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y=±x,

離心率為e=V2.

I座重要結(jié)論

1.過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長為空.

a

2.與雙曲線喧-1=1(a>0,b>0)有共同漸近線的方程可表示為

a?y

2-.2

-v--7=t(tr0).

azbz

3.雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.

4.若P是雙曲線右支上一點(diǎn),F?F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則

IPF1|min=a+C,|PF2|min=C_3.

5.焦點(diǎn)三角形的面積:P為雙曲線上的點(diǎn),FbF2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，

>ZF.PF2=0,則△FFF2的面積為“)

tan-

2

—自^3

22

1.設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn),F?Fz分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，

1620

若|PF』=9,則|PFz|等于(B)

A.1B.17c.i或17D.8

解析：由題意知IPF,|=9<a+c=10,

所以P點(diǎn)在雙曲線的左支，

則有|PF2|-|PFj=2a=8,

故IPF2RPF11+8=17.故選B.

22

2.若雙曲線^=1(a>0,b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長,

則該雙曲線的離心率為(A)

A.V5B.5C.V2D.2

解析：由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，雙曲線的漸近線

方程為2±白0,

ab

即bx±ay=0,

=b

所以2a=74=f-

Va2+b2

又a2+b2=c2,

所以5a2=c2,

cr2

所以e2=^=5,

所以e=V5.故選A.

3.若雙曲線C:--y2=l(m>0)的一條漸近線方程為3x+2y=0,則實(shí)數(shù)m

m

等于(A)

A.-B.-C.-D.-

9432

2門

解析:雙曲線C的漸近線方程為二v-y2=0,

m

即卷土y=0,

7m

貝!m=-.

39

故選A.

22

4.已知方程w-4—=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離

mz+n3mz-n

為4,則n的取值范圍是(A)

A.(-1,3)B.(-1,V3)

C.(0,3)D.(0,V3)

22

解析：因?yàn)榉匠淘?%=1表示雙曲線，

m」+n3mz-n

所以(m?+n),(3m2-n)>0,

解得-

由雙曲線性質(zhì)，知c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2(其中c是半焦距)，

所以焦距2c=2X2|m|=4,

解得

所以T〈n<3.故選A.

5.(選擇性必修第一冊(cè)P124練習(xí)T2改編)經(jīng)過點(diǎn)A(3,-1),且對(duì)稱軸

都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程為

22

解析:設(shè)雙曲線的方程為今-彳=±1（a>0）,

把點(diǎn)A⑶-1）代入，得a?=8（舍負(fù)），

故所求方程為1=1.

88

答案號(hào)-學(xué)1

美方考點(diǎn)點(diǎn)窠四篡

關(guān)鍵能力?課堂突破

腕考點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用

⑴已知F/2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C

上，|PF』二2|PF21，貝UcosNFFFz等于（）

A.i1B.3-C.-3D."4

4545

2222

(2)已知圓C1：(x+3)+y=l和圓C2:(x-3)+y=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓G及

圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為

解析：（1）由雙曲線的定義有|PF』-|PF21=1PF2|=2a=2或,

所以IPF』=21PF?|=4加，

,2?2?2

ni||/口DD〔PF/+PF2-F1F2I

則coSZF,PF^2PFi|.|PF2=

(4折2+尸％424c.

2X4V2X2V24

(2)

如圖所示,設(shè)動(dòng)圓M與圓G及圓C2分別外切于A和B.

根據(jù)兩圓外切的條件,

得|MC』-|AG|=|MA|,

|MC2|-|BC2|=|MB|,

因?yàn)镮MA|=IMB|,

所以|MGHAC』=|MC2HBe2I,

即|MC2HMe1|=|BC2HAe11=2,

所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2,G的距離的差是常數(shù)且小于ICQl=6.

又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距

離大，與G的距離小)，

其中a=l,c=3,則b2=8.

故點(diǎn)M的軌跡方程為x2-^=l(x^-l).

答案：(1)C(2)x2-^=l(x^-D

8

1.利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線,進(jìn)而根據(jù)

要求可求出曲線方程.

2.在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合

IIPF1HPF2Il=2a,運(yùn)用平方的方法,建立與|PF",|PFz|的聯(lián)系.

［針對(duì)訓(xùn)練］

22

(1)設(shè)雙曲線cj-卷=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fl,F,離心率

azbz2

為傷.P是C上一點(diǎn),且FF_LFzP.若△PFF2的面積為4,則a等于()

A.1B.2C.4D.8

22

(2)(2021?廣西一模)已知雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分

別為FbF2,過Fz且斜率為-遮的直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為

->—>_

A,且AFX-AF2=0,若a=V3-l,貝UF2的坐標(biāo)為()

A.(1,0)B.(V3,0)

C.(2,0)D.(73+1,0)

解析：⑴設(shè)IPF』=m,|PF2|=n,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則

2

SAPFiF2=|mn=4,m-n=2a,in"+n=4c\又e=^=V5,所以a=l.故選A.

(2)因?yàn)?0?4尸2=0,

所以AF」AF?.

又因?yàn)樾氖?二一遮，

所以NAFRW

貝!JAFi=V3c,AF2=C.

根據(jù)雙曲線的定義可得V3c-c=2a,

則c:生普工2,則F2的坐標(biāo)為⑵0).

故選C.

慢考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)

口角度—雙曲線的離心率(或范圍)

(?ED(1)已知F2分別為雙曲線馬-展1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),若

在雙曲線右支上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)F2到直線PF,的距離為a,則該雙曲

線的離心率的取值范圍是()

A(1,亨B.(當(dāng)+8)

C.(1,V5)D.(遙，+8)

(2)已知雙曲線C：4-T7=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為FbF2,過F,

a2b2

->—,—>—>

的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若FIA=AB,&B?F2B=0,

則C的離心率為

解析：(1)雙曲線的漸近線方程為y=±a-x,由極限思想，設(shè)過B且與一

條漸近線平行的直線1的方程為y2(x+c),即bx-ay+bc=O.

a

依題意,若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)F2到直線PB的距離為a,

則點(diǎn)F2到直線1距離大于a,

即d=y篝)a,

yja2+b2

所以2b>a,

所以然+(滬小+()喙即eG(當(dāng),+8).故選B.

⑵不妨設(shè)點(diǎn)B(m,2m)(m>0),

a

故8&=(-c-m,--m),

BF=(c-m,--m).

2a

—?—>

由&B?F2B=O,

可得m2-c2+^rm2=0,解得m=a,故B(a,b).

又

故A(卓,0,代入直線y=--x,可得9上?三￡,解得c=2a,故離心率

22a2a2

為2.

答案：⑴B(2)2

解題策略

求雙曲線的離心率(或范圍).依據(jù)題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c

的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得.

口角度二雙曲線的漸近線方程

22

(SO雙曲線、力1(a>0,b>0)的離心率為遮,則其漸近線方程為

A.y=±V2xB.y=±V3x

C.y=±YxD.y=±Yx

解析:法一（直接法）由題意知,e=aj氏

所以c=V3a,

所以b=Vc2-a2=-\/2a,

BP-=V2,

Q

所以該雙曲線的漸近線方程為y=±-x=±V2x.

a

法二（公式法）由吟=[1+（￡）2=8,

得也加,

a

所以該雙曲線的漸近線方程為y=±-x=±V2x.

a

故選A.

■解題策略I

求漸近線方程時(shí),利用c2=a?+b2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b的方程.雙曲線的漸近

線的斜率與離心率的關(guān)系:k=土也土旺它=±EPl=±Ve^i.

aa7a4

除度三由幾何性質(zhì)確定標(biāo)準(zhǔn)方程

22

（SO已知雙曲線3-2=l（a>0,b>0）的離心率為2,過右焦點(diǎn)且垂直

于X軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近

線的距離分別為4和d2,且d,+d2=6,則雙曲線的方程為（）

A.--^=1B.次-竺二1

412124

C.2j=12D.2J2J

3993

解析：由di+d2=6,得雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,所以b=3.

因?yàn)殡p曲線今-言=1（心。,心。）的離心率為2,

所以匚2,

a2

a2+9

?=4,解得a2=3.

所以雙曲線的方程為

故選C.

求雙曲線的方程時(shí),將已知條件中的雙曲線的幾何性質(zhì)和幾何關(guān)系轉(zhuǎn)

化為關(guān)于a,b,c的關(guān)系式,結(jié)合c2=/+bl列出未知參數(shù)的方程,解方程

后即可求出雙曲線的方程.

［針對(duì)訓(xùn)練］

22

（1）過雙曲線C:京-臺(tái)1（a>0,b>0）的右頂點(diǎn)作X軸的垂線,與C的一條

漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A,0

兩點(diǎn)（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的方程為（）

A.口匕nB.JL1

41279

C.t*=1D.JUi

88124

（2）已知雙曲線C：4-l（a>0,b>0）的漸近線方程為y=±-x,且其右

azbz4

焦點(diǎn)為⑸0）,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.~=i

916169

C.4=1D.OJ

3443

2

（3）以橢圓？+y2=l的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),長軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的漸近線

方程是

22

(4)已知雙曲線E曝囁=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E

上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),且21ABi=3|BC|,則E的離心率

是.

⑸已知直線y=kx-l和雙曲線x2-y2=l的右支交于不同的兩點(diǎn),則k的

取值范圍是.

解析：(1)由題意知右頂點(diǎn)為(a,0),不妨設(shè)其中一條漸近線方程為

y—x,因此可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b).

a

設(shè)右焦點(diǎn)為F(c,0),由已知可得c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,

所以有(c-a)2+b2=cl

又c2=a2+b2,則c=2a,即a=j=2,

所以b2=c2-aM2-22=12,

22

故雙曲線的方程為-1.故選A.

412

⑵由題意得2二三,c2z:a2+b2：::25,

a4

所以a=4,b=3,

所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選B.

⑶由題意可知所求雙曲線方程可設(shè)為馬-*1(a〉0,b〉0),則

a2b2

a=V4-l=V3,c=2,

所以b=c2-a2=4-3=l,

故所求漸近線方程為y=±yx.

(4)如圖，由題意知團(tuán)|=空，|BC|=2c.

a

又21ABl=3|BC|,

所以2?空=3?2c,

a

即2b2=3ac,

所以2(c2-a2)=3ac,

兩邊同除以/并整理得2e2-3e-2=0,

解得e=2(負(fù)值舍去).

⑸由直線y=kxT和雙曲線x2-y2=l聯(lián)立方程組,消y得

(1-k2)x2+2kx-2=0,

因?yàn)樵摲匠逃袃蓚€(gè)不等且都大于1的根，

fl-k2W0,

/=4/c2+8(W2)>0,

所以1

<(l-/c2+2/c-2)(1-k2)>0,

解得l<k<V2.

答案：⑴A(2)B(3)y=±/x(4)2

(5)(1,V2)

啜考點(diǎn)三直線與雙曲線的位置關(guān)系

已知雙曲線=1的左焦點(diǎn)為過B的直線1交雙曲線的左

支于A,B兩點(diǎn),則直線1斜率的取值范圍為()

A.(一常

B.(-°°,--)U(-,+8)

D.(-8,一,U(|)+oo)

解析:雙曲線的漸近線方程為y=±-x,當(dāng)直線1與漸近線平行時(shí),直線

4

1與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)直線1的斜率大于零時(shí),要使直線1與雙

曲線的左支交于A,B兩點(diǎn),則需直線1的斜率k〉j;當(dāng)直線1的斜率小

于零時(shí),要使直線1與雙曲線的左支交于A,B兩點(diǎn),則需直線1的斜率

k<-又當(dāng)直線1的斜率k=0時(shí),不滿足題意,故直線1斜率的取值范

圍為(-8,U(|,+8).故選B.

解題策略1

解決與直線與雙曲線的位置關(guān)系有關(guān)的問題時(shí),有時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思

想,有時(shí)利用方程思想.根據(jù)直線的斜率k與漸近線的斜率或某切線

的斜率的關(guān)系來判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系會(huì)比較快捷.

［針對(duì)訓(xùn)練］

22

(1)已知F.(-c,0),F2(C,0)分別為雙曲線C:^-^=l(a>0,b>0)的左、

右焦點(diǎn)，直線與C交于M,N兩點(diǎn),線段MN的垂直平分線與x

cb

軸交于點(diǎn)T(-5c,0),則C的離心率為()

A.—B.V2C.V3D.—

22

⑵過雙曲線x2-^-=l的右焦點(diǎn)作直線1交雙曲線于A,B兩點(diǎn),則滿足

|AB|=6的直線1有()

A.4條B3條C2條D1條

解析：⑴設(shè)M(xi,y),N(X2,丫2),線段MN的中點(diǎn)為S(x(),y。)，則

b2xf-a2yf=a2b2,b力-a》］=a2b；兩式相減可得b?(注-媛)=a?(yf-yf),

2222

可得b(xi-x2)(xi+x2)-a(yi-y2)(yi+y2),即2b(x-x2)x0=2a(y-y2)y0,

所以媼=一絲迎二學(xué),即心.應(yīng)二號(hào)①

CX1-X2CLyQCXQQN

由km,ksT=-1,可得-2?y°=--l.②

cx0+5c

由①②可得x=-—,y=5b,即S,5b).

0c0c

又點(diǎn)s在直線MN上,所以-考+5=1,解得e=-=^.故選D.

cla2

(2)當(dāng)直線1的傾斜角為90°時(shí)，|AB|=空=6,故當(dāng)直線1與雙曲線的

a

右支交于A,B兩點(diǎn)時(shí),滿足題意的直線1有1條；當(dāng)直線1的傾斜角為

0°時(shí)，|AB|=2<6,故當(dāng)直線1與雙曲線的左、右兩支分別交于一點(diǎn)時(shí),

還可作出2條直線1,使得|AB|=6,故滿足題意的直線1有3條.故選

B.

扈備選例題

CHD已知雙曲線C:馬-白l(a>0,b>0)的離心率為2,左、右焦點(diǎn)分別

為F?點(diǎn)A在雙曲線C上,若△AFE的周長為10a,則△AFF2的面積

為()

A.2V15a2B.V15a2C.30a2D.15a2

解析：由雙曲線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)A在雙曲線的右支上，由e=J2,

a

得c=2a,

所以△AFE的周長為|AF』+|AF2|+|FF2|=|AF』+|AF2|+4a.

又AAFF2的周長為10a,

所以|AF"+|AF2]=6a.

又因?yàn)閨AF】HAF21=2a,

所以|AFi|=4a,|AF21=2a,

在△AFE中，|FE|=4a,

22222

SFi，+AF2~FIF2（4a）+（2a）-（4a）1

所以COSZFIAF=-

221AF1.AF22?4a?2a4

又0<NFAF2<n,

所以sinZFiAFo=—,

4

所以SaAFm-AFI|?|AFz|,sinNFiAF2=2,4a?2a?^=V15a\故

選B.

CfflD已知雙曲線7=1上存在兩點(diǎn)P,Q關(guān)于直線y=x+b對(duì)稱,且PQ

的中點(diǎn)M在拋物線y2=9x上,則實(shí)數(shù)b的值為()

A.0或T0B.0或-2

C.-2D.-10

解析：因?yàn)辄c(diǎn)P,Q關(guān)于直線y=x+b對(duì)稱,

所以PQ的垂直平分線為丫=*+>

所以直線PQ的斜率為-1.

設(shè)直線PQ的方程為y=-x+m,

y=-x+m,

由I/y2得x2+4mx-2m2-6=0,

I—2—-3=1,

所以Xp+XQ=-4m,

所以xM=-2m,

所以M(-2m,3m).

因?yàn)镻Q的中點(diǎn)M在拋物線y2=9x上，

所以9m2=9,(-2m),

解得m=0或m=-2,

又PQ的中點(diǎn)M也在直線y=x+b上，

得b=5m,

所以b=0或TO.故選A.

靈活方醫(yī)方致偎影

課時(shí)作業(yè)

0選題明細(xì)表

知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練

雙曲線的定義及應(yīng)用4,511

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程9,10

雙曲線的幾何性質(zhì)1,2,3,6,714,1517

綜合問題812,13,1618

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固練

_22

1.經(jīng)過點(diǎn)M（2V3,2e）且與雙曲線氤-5=1有相同漸近線的雙曲線方

程是（D）

A.二-匕=1B,3-匕=1

18121218

C.^-―=1D.^-―=1

18121218

22

解析:設(shè)所求雙曲線的方程為（與=人，

將點(diǎn)M（2V3,26）代入得等二等M人，

解得人=-6,

22

所以雙曲線方程為9-3=1.

1218

故選D.

2222

2.若實(shí)數(shù)k滿足0<k<9,則曲線？-士=1與曲線4-？=1的（D）

A.離心率相等B.虛半軸長相等

C.實(shí)半軸長相等D.焦距相等

解析：由0<k<9,易知兩曲線均為雙曲線且焦點(diǎn)都在x軸上,

由，25+9M425M+9,得兩雙曲線的焦距相等.故選D.

22

3.已知雙曲線,囁=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(2,0),漸近線方程為

遮x±y=0,則該雙曲線實(shí)軸長為(A)

A.2B.1C.V3D.2V3

解析：由題意知,漸近線方程為y=±V3x,則也8，

a

又焦點(diǎn)為F(2,0),即c=2,

所以c2=a2+b2=4a2=4,則a2=l,

即a=l或T(舍去)，

則實(shí)軸長為2a=2.故選A.

22

4.已知雙曲線會(huì)曦=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F?點(diǎn)P在雙

曲線的右支上，若|PF』-|PF21=4b,且雙曲線的焦距為2V5,則該雙曲

線的方程為(A)

A.^-y2=lB.或匕1

432

C.X2-^=1D.玖匕1

423

<

\PF1\-\PF2\=2a=4b,

解析：由題意可得，c2=a2+b2,

、2c=2V5,

解得?則該雙曲線的方程為y2=l.

2

kb=1,4

故選A.

20

5.已知雙曲線yv-y2=l的左、右焦點(diǎn)分別為F?F2,點(diǎn)P在雙曲線上，

且滿足|PFI|+|PF2]=2遮，則△PFFz的面積為(A)

A.1B.V3C.V5D.-

2

2

解析:在雙曲線+y2=l中,a=V3,b=l,c=2.不妨設(shè)P點(diǎn)在雙曲線的

右支上，

則有IPF』一|PF21=2a=2g,

X|PF1|+|PF2|=2V5,

所以IPF』=V5+A/3,IPF2|=V5-A/3.

又|FE|=2c=4,

而|PFI|2+|PF2|2=|FE,|)

所以PF」PFz,

所以5匕「抵=卜|PF"X|PF21gx(V5+V3)X(V5-V3)=l.故選A.

6.已知雙曲線C:(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半

徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若NMAN=60°,

則雙曲線C的離心率為(A)

A.—B.-V2C.V3D.2

32

解析：由題意，可得A到漸近線bx+ay=O的距離為bcos30°=^b,

可得理/當(dāng),

即衿，

可得離心率為e=平.

故選A.

7.已知雙曲線C:^-^=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且垂直于x

a2b2

軸的直線與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A(A在第一象限內(nèi))，以0A為直徑

的圓與雙曲線的另一條漸近線交于點(diǎn)B,若BF〃0A,則雙曲線C的離心

率為(A)

A.言B.V2C,V3D.2

解析：因?yàn)锳FLOF,

所以點(diǎn)F在圓上.

又BF〃OA,

所以NAOF=NOFB,

而NAOF=NBOF,

所以AOBF是等腰三角形，

所以NOAB=NBAF=NBOF=NAOF.

又因?yàn)镹0AB+NBAF+NA0F=90°,

所以NA0F=30°,

所以2=tan30°=—,

a3

所以所（J亨Rl+GY=V-故選A-

22

8.（多選題）（2021?廣東深圳一模）設(shè)R,Fz分別是雙曲線C:j-二=

m+nm-n

1的左、右焦點(diǎn)，且|FE|=4,則下列結(jié)論正確的有（AC）

A.m=2

B.當(dāng)n=0時(shí),雙曲線C的離心率是2

C.F.到漸近線的距離隨著n的增大而減小

D.當(dāng)n=l時(shí),雙曲線C的實(shí)軸長是虛軸長的兩倍

解析:對(duì)于選項(xiàng)A,由雙曲線的方程可得a2=m+n,b2=m-n,

所以c2=a2+b2=m+n+m-n=2m,

因?yàn)?c=4,

所以c=2,

所以c'=2m=4,可得m=2,故選項(xiàng)A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)n=0時(shí),雙曲線C。-?=1,此時(shí)a?=b2=2,c?=4,

所以離心率e=J^=V^,故選項(xiàng)B不正確；

22

對(duì)于選項(xiàng)C,在雙曲線C:--^=1中，由選項(xiàng)A

m+nm-n

知,m=2,a2=2+n,b2=2-n,且雙曲線的漸近線方程為y=±-x,

a

不妨取焦點(diǎn)Fi（-2,0）,則F,到漸近線的距離d=*=b=VF五

所以日到漸近線的距離隨著n的增大而減小，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)n=l時(shí),a=V2+1=V3,b=，2T=l,

所以實(shí)軸長為2V3,虛軸長為2,不滿足雙曲線C的實(shí)軸長是虛軸長的

兩倍,故選項(xiàng)D不正確.

故選AC.

9.（2021?廣東汕頭高三一模）寫一個(gè)焦點(diǎn)在y軸上且離心率為V3

的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解析：取c=V3,則e=￡=g,可得a=l,

a

所以b=Vc2-a2=V2,

2

因此,符合條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2-y=l.

答案:y29=l（答案不唯一，符合要求就可以）

22

10.（2021?遼寧鐵嶺高三一模）已知雙曲線與橢圓3+9=1有相同的

166

焦點(diǎn),且雙曲線的漸近線方程為y=±|x,則此雙曲線的方程為一.

解析：由題意得橢圓焦點(diǎn)為（±國,0）,

所以c=VTo,

設(shè)雙曲線的方程為土方l(a>O,b>。)，則衿

a=3,

a3，解得

a2+b2=c2=10,b=1.

v20

所以雙曲線的方程為+y2=l.

v2八

答案:j-y=l

B級(jí)綜合運(yùn)用練

22

11.已知雙曲線=-9=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為3(-2,0),

a?y

F2(2,0),P為雙曲線上位于第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在y軸上運(yùn)動(dòng),

若IPQI+IQF2I-|PFj的最小值為雪，則雙曲線的離心率為(B)

A.V3B.2V3C.3V3D.48

解析：如圖所示，連接PF2,

因?yàn)閨PQ|+|QF2HPF"2|PF2HPF"=2a,

當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,F2三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立，

所以IPQI+IQF2I-|PFj的最小值為2a,

所以2a=乎,解得a=^.

由題意知c=2,所以e=-=2V3.故選B.

a

22

12.(多選題)已知雙曲線立弓-2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F(-l,0),過F

且與X軸垂直的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，AA0B的

面積為|,則下列結(jié)論正確的有(ABD)

A.雙曲線C的方程為4X2-^=1

B.雙曲線C的兩條漸近線所成的銳角為60°

C.F到雙曲線C的漸近線的距離為V3

D.雙曲線C的離心率為2

解析：因?yàn)殡p曲線的左焦點(diǎn)為F(T,0),所以c=l,

又因?yàn)檫^F與x軸垂直的直線與雙曲線交于A(-1,-),B(-1,--),

aa

所以aAOB的面積為S=；X1?即貯4

2a2a2

又a2+b2=c2=l,

所以a=pb"=*

所以雙曲線C的方程為4x2-誓=1,故A正確；

則雙曲線C的漸近線方程為y=±V3x,

所以兩漸近線的夾角為60°,故B正確；

F到雙曲線C的漸近線的距離為d=苧,故C錯(cuò)誤；

雙曲線C的離心率為e=-4=2,故D正確.故選ABD.

a-

2

22

13.(多選題)已知雙曲線C:=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為件產(chǎn)2,

直線y=kx(kWO)與C交于A,B兩點(diǎn),AE±x軸，垂足為E,直線BE與C

的另一個(gè)交點(diǎn)為P,則下列結(jié)論正確的是(AC)

A.四邊形AF1BF2為平行四邊形

B.NFiPFz〈90°

C.直線BE的斜率為?

D.ZPAB>90°

解析:如圖,雙曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

又直線y=kx過原點(diǎn)，

所以A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

由|OA|=|OB|,|0Fj=|0F2|得四邊形ARBF2為平行四邊形,A正確；

當(dāng)kf0,P點(diǎn)趨近于右頂點(diǎn),此時(shí)NFFF2趨近于平角，因此不可能有

NFFF2〈90°,B錯(cuò)誤；

設(shè)A（xo,y。）,則B（-Xo,-y0）,

由AEJ_x軸知E（x。,0）,k=",

%o

而1^=岑嗎=4=夫，c正確；

△APB中，ZAPB>ZAEB>ZAE0=90°,

因此NPAB〈90°,D錯(cuò)誤.故選AC.

14.（2021?浙江寧波高三開學(xué)考試）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)到雙曲線

1-y2=l的一條漸近線的距離是y,則雙曲線的實(shí)軸長是,離

心率是.

解析：由題意，得拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為（1,0）,雙曲線捻-y2=l的一條

漸近線為x+ay=0,

因?yàn)閽佄锞€yMx的焦點(diǎn)到雙曲線盤-丫2=1的一條漸近線的距離是日,

所以端當(dāng)=日,解得a=l.

所以雙曲線方程為x2-y2=l,

所以c=Va2+b2=V2,

所以雙曲線的實(shí)軸長為2,離心率e=^=V2.

a

答案：2V2

15.(2021?廣東廣州高三一模)已知圓(x-l)2+y2=4與雙曲線

C：馬一1=1的兩條漸近線相交于四個(gè)點(diǎn)，按順時(shí)針排列依次記為

a2b2

M,N,P,Q,且|MN|=21PQ|,則C的離心率為.

解析:設(shè)k2,漸近線方程是y=±kx,由對(duì)稱性可設(shè)

a

M(xbkxi),N(xi,-kxi),P(x2,kx2),Q(x2,-kx2),

貝iJ|MN|=2kxi/PQ|=-