matlab解常微分方程的特別方法

應(yīng)用matlab軟件對(duì)常微分方程求解matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!前沿：科學(xué)技術(shù)和工程中許多問(wèn)題是用微分方程的形式建立數(shù)學(xué)模型，因此微分方程的求解有很實(shí)際的意義。一、常微分方程（組）的符號(hào)解二、常微分方程（組）數(shù)值解matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!一、常微分方程（組）的符號(hào)解函數(shù)dsolve格式：r=dsolve('eq1,eq2,…’,'cond1,cond2,…','v')說(shuō)明

(1)對(duì)給定的常微分方程（組）eq1,eq2,…中指定的符號(hào)自變量v，與給定的邊界條件和初始條件cond1,cond2,….求符號(hào)解（即解析解）r；(2)若沒(méi)有指定變量v，則缺省變量為t；matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!(3)在微分方程（組）的表達(dá)式eq中，大寫(xiě)字母D表示對(duì)自變量(設(shè)為x)的微分算子：D=d/dx，D2=d2/dx2，…。微分算子D后面的字母則表示為因變量，即待求解的未知函數(shù)。初始和邊界條件由字符串表示：y(a)=b，Dy(c)=d，D2y(e)=f，等等，分別表示matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!(6)若沒(méi)有給定輸出參量，則在命令窗口顯示解列表。若該命令找不到解析解，則返回一警告信息，同時(shí)返回一空的sym對(duì)象。這時(shí)，用戶(hù)可以用命令ode23或ode45求解方程組的數(shù)值解。matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!例2>>[u,v]=dsolve('Du=v,Dv=u')u=C1*exp(-t)+C2*exp(t)V=-C1*exp(-t)+C2*exp(t)matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!二、常微分方程（組）數(shù)值解[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0,options)[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0,options,p1,p2…)matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!參數(shù)說(shuō)明：（4）y0包含初始條件的向量。（5）options用命令odeset設(shè)置的可選積分參數(shù).（6）p1,p2,…傳遞給函數(shù)odefun的可選參數(shù)。matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!用參數(shù)options（用命令odeset生成）設(shè)置屬性（代替了缺省的積分參數(shù)），再進(jìn)行操作。常用的屬性包括相對(duì)誤差值RelTol（缺省值為1e-3）與絕對(duì)誤差向量AbsTol（缺省值為每一元素為1e-6）。[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0,options)matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!求解具體ODE的基本過(guò)程：（1）根據(jù)問(wèn)題所屬學(xué)科中的規(guī)律、定律、公式，用微分方程與初始條件進(jìn)行描述。F(y,y’,y’’,…,y(n),t)=0y(0)=y0,y’(0)=y1,…,y(n-1)(0)=yn-1而y=[y;y(1);y(2);…,y(m-1)]，n與m可以不等matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!（3）根據(jù)（1）與（2）的結(jié)果，編寫(xiě)能計(jì)算導(dǎo)數(shù)的M-函數(shù)文件odefile。（4）將文件odefile與初始條件傳遞給求解器Solver中的一個(gè)，運(yùn)行后就可得到ODE的、在指定時(shí)間區(qū)間上的解列向量y（其中包含y及不同階的導(dǎo)數(shù)）。matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!求解器SolverODE類(lèi)型特點(diǎn)說(shuō)明ode113非剛性多步法；Adams算法；高低精度均可到10-3～10-6計(jì)算時(shí)間比ode45短ode23t適度剛性采用梯形算法適度剛性情形ode15s剛性多步法；Gear’s反向數(shù)值微分；精度中等若ode45失效時(shí)，可嘗試使用matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!參數(shù)設(shè)置屬性名取值含義AbsTol有效值：正實(shí)數(shù)或向量缺省值：1e-6絕對(duì)誤差對(duì)應(yīng)于解向量中的所有元素；向量則分別對(duì)應(yīng)于解向量中的每一分量RelTol有效值：正實(shí)數(shù)缺省值：1e-3相對(duì)誤差對(duì)應(yīng)于解向量中的所有元素。在每步(第k步)計(jì)算過(guò)程中，誤差估計(jì)為：e(k)<=max(RelTol*abs(y(k)),AbsTol(k))matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)!參數(shù)設(shè)置屬性名取值含義OutputFcn有效值：odeplot、odephas2、odephas3、odeprint缺省值：odeplot若無(wú)輸出參量，則solver將執(zhí)行下面操作之一：畫(huà)出解向量中各元素隨時(shí)間的變化；畫(huà)出解向量中前兩個(gè)分量構(gòu)成的相平面圖；畫(huà)出解向量中前三個(gè)分量構(gòu)成的三維相空間圖；隨計(jì)算過(guò)程，顯示解向量matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!參數(shù)設(shè)置屬性名取值含義Jacobian有效值：on、off缺省值：off若為‘on’時(shí)，返回相應(yīng)的ode函數(shù)的Jacobi矩陣Jpattern有效值：on、off缺省值：off為‘on’時(shí)，返回相應(yīng)的ode函數(shù)的稀疏Jacobi矩陣matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!例3創(chuàng)建函數(shù)function2,保存在function2.m中functionf=function2(t,x)f=-x.^2;在命令窗口中執(zhí)行>>[t,x]=ode45('function2',[0,1],1);>>plot(t,x,'-',t,x,'o');>>xlabel('timet0=0,tt=1');>>ylabel('xvaluesx(0)=1');matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)!例4創(chuàng)建函數(shù)function3,保存在function3.m中：functionf=function3(t,x)f=[x(1)-0.1*x(1)*x(2)+0.01*t;...-x(2)+0.02*x(1)*x(2)+0.04*t];matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)!matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!創(chuàng)建函數(shù)function4，存在function4.m中functionf=function4(t,x)globalUf=[x(2);U*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];再運(yùn)行命令文件runf4.m：globalUU=7;Y0=[1;0];[t,x]=ode45('function4',0,40,Y0);x1=x(:,1);x2=x(:,2);plot(t,x1,t,x2)matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!(4)若邊界條件少于方程（組）的階數(shù)，則返回的結(jié)果r中會(huì)出現(xiàn)任意常數(shù)C1，C2，…；(5)dsolve命令最多可以接受12個(gè)輸入?yún)⒘浚òǚ匠探M與定解條件個(gè)數(shù)，當(dāng)然我們可以做到輸入的方程個(gè)數(shù)多于12個(gè)，只要將多個(gè)方程置于一字符串內(nèi)即可）。matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!例1>>

dsolve('D2y=-a^2*y,y(0)=1,Dy(pi/a)=0','x')ans=cos(a*x)>>

dsolve(‘D2y=-a^2*y’,‘y(0)=1,Dy(pi/a)=0’)matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!二、常微分方程（組）數(shù)值解Matlab專(zhuān)門(mén)用于求解常微分方程的函數(shù)，主要采用Runge-Kutta方法：ode23,ode45,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tbmatlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁(yè)!參數(shù)說(shuō)明：（1）solver為命令Ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb之一。（2）odefun為常微分方程y’=f(x,y)，或?yàn)榘换旌暇仃嚨姆匠?x,y)*y’=f(x,y).（3）tspan積分區(qū)間（即求解區(qū)間）的向量tspan=[t0,tf]。要獲得問(wèn)題在其他指定時(shí)間點(diǎn)t0,t1,t2,…上的解，則令tspan=[t0,t1,t2,…,tf]（要求是單調(diào)的）。matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁(yè)!在區(qū)間tspan=[t0,tf]上，從t0到tf，用初始條件y0求解顯式微分方程y’=f(t,y)。對(duì)于標(biāo)量t與列向量y，函數(shù)f=odefun(t,y)必須返回一f(t,y)的列向量f。解矩陣Y中的每一行對(duì)應(yīng)于返回的時(shí)間列向量T中的一個(gè)時(shí)間點(diǎn)。要獲得問(wèn)題在其他指定時(shí)間點(diǎn)t0,t1,t2,…上的解，則令tspan=[t0,t1,t2,…,tf]（要求是單調(diào)的）。[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁(yè)!將參數(shù)p1,p2,p3,..等傳遞給函數(shù)odefun，再進(jìn)行計(jì)算。若沒(méi)有參數(shù)設(shè)置，則令options=[]。[T,Y]=

solver(odefun,tspan,y0,options,p1,p2…)matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁(yè)!求解具體ODE的基本過(guò)程：（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)中的變量替換：yn=y(n-1),yn-1=y(n-2),…,y2=y‘,y1=y，把高階（大于2階）的方程（組）寫(xiě)成一階微分方程組：matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁(yè)!不同求解器Solver的特點(diǎn)求解器SolverODE類(lèi)型特點(diǎn)說(shuō)明ode45非剛性一步算法；4，5階Runge-Kutta方程；累計(jì)截?cái)嗾`差達(dá)(△x)3大部分場(chǎng)合的首選算法ode23非剛性一步算法；2，3階Runge-Kutta方程；累計(jì)截?cái)嗾`差達(dá)(△x)3使用于精度較低的情形matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁(yè)!不同求解器Solver的特點(diǎn)求解器SolverODE類(lèi)型特點(diǎn)說(shuō)明ode23s剛性一步法；2階Rosebrock算法；低精度當(dāng)精度較低時(shí)，計(jì)算時(shí)間比ode15s短ode23tb剛性梯形算法；低精度當(dāng)精度較低時(shí)，計(jì)算時(shí)間比ode15s短matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁(yè)!參數(shù)設(shè)置屬性名取值含義NormControl有效值：on、off缺省值：off為‘on’時(shí)，控制解向量范數(shù)的相對(duì)誤差，使每步計(jì)算中，滿(mǎn)足：norm(e)<=max(RelTol*norm(y),AbsTol)Events有效值：on、off為‘on’時(shí)，返回相應(yīng)的事件記錄matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁(yè)!參數(shù)設(shè)置屬性名取值含義OutputSel有效值：正整數(shù)向量缺省值：[]若不使用缺省設(shè)置，則OutputFcn所表現(xiàn)的是那些正整數(shù)指定的解向量中的分量的曲線或數(shù)據(jù)。若為缺省值時(shí)，則缺省地按上面情形進(jìn)行操作Refine有效值：正整數(shù)k>1缺省值：k=1若k>1，則增加每個(gè)積分步中的數(shù)據(jù)點(diǎn)記錄，使解曲線更加的光滑matlab解常微分方程的特別方法共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁(yè)!參數(shù)設(shè)置屬性名取值含義Mass有效值：none、M、M(t)、M(t,y)缺省值：noneM：不隨時(shí)間變化的常數(shù)矩陣M(t)：隨時(shí)間變化的矩陣M(t,y)：隨時(shí)間、地點(diǎn)變化的矩陣MaxStep有效值：正實(shí)數(shù)缺省值：tspans/10最大積分步長(zhǎng)matlab解常微分方程的特別方法共3