淺議新課標下數學開放題的類型及例析

淺議新課標下數學開放題的類型及例析淺議新課標下數學開放題的類型及例析

前蘇聯學者奧加涅認為，數學題由題目的條件、解題根據、解題的辦法、題目的結論這四個要素組成，按題目中已知要素的多少可分為四種類型：規(guī)范性題〔已知四個要素〕，訓練性題〔已知三個要素〕，探索性題〔已知兩個要素〕，問題性題〔已知一個要素〕.開放題屬于探索性題或問題性題.開放題最初只有結論開放一類，現已開展成為結論開放、條件開放、設計開放和問題本身開放等幾大類.對數學開放題的分類，從構成數學題系統的四要素〔條件、依據、辦法、結論〕出發(fā)，定性地可分成四類：如果尋求的答案是數學題的條件，那么稱為條件開放題；如果尋求的答案是依據或辦法，那么稱為策略開放題；如果尋求的答案是結論，那么稱為結論開放題；如果數學題的條件、解題策略或結論都要求解題者在給定的情境中自行設定與尋找，那么稱為綜合開放題.

從開放題答案的開口情況出發(fā)，定量地可分成三類：弱開放題――答案情況〔包括可能情況〕只有兩種的開放題；中開放題――答案情況〔包括可能情況〕超過兩種，但為數目確定的有限種；強開放題――只能給出局部答案情況，答案情況〔包括可能情況〕總數難以確定的開放題.

對開放題的分類討論，有助于理解開放題的概念，有助于把握問題的開放度，有利于教師把握一個數學開放題是否適用于課堂教學，或者有利于教師改變開放題的設問方式以輔助課堂教學，或者有利于考試評分的可操作性與公平性.

一、結論開放型

這類問題是在給定條件下探索結論的多樣性，主要考查學生的發(fā)散性思維和所學根底知識的應用能力.這類開放題是指提供一定的條件，可以是不僅滿足條件，而且所得結論的意義相同的問題.也可以是提供一定的條件，滿足條件的結論方面往往有多種.

1.同題異果型

例1：180÷12=□÷□=□÷□=……你能寫出多少個？

通過訓練加深學生對商不變性質的理解和運用.

例2：1999年上海市高考數學試卷第12題〔見前第3頁〕，學生可以根據自己的空間想象能力，可以設五條邊為1，一條邊為2；或五條2一條1；也可以兩條1四條2等多種組合，但同時又要考慮能否組成空間四面體，且不是組成正四面體，所以要先畫對圖，然后選擇適宜的辦法進行計算體積.

2.異題同果型

例3：甲乙兩艘軍艦同時從相距948千米的兩個港口對開.甲艘軍艦每小時行38千米，乙艘軍艦每小時行41千米.〔1〕幾小時后兩艘軍艦相遇？〔2〕甲艘軍艦開出幾小時后兩艘軍艦相遇？〔3〕乙艘軍艦開出幾小時后兩艘軍艦相遇？

這題的條件一樣，但問題是從三個不同的角度分別提出的，其題意、計算結果相同.加強這種開放題型的訓練，有利于深化理解掌握行程問題的解法.下面的這道題也是異題同果型.

例4：試指出以下兩個代數式的共同點：24a■bc■和18a■b■x■.

我們大家熟悉的兩個學生相距多遠的問題.1994年荷蘭數學教育學派的代表人物，德朗治〔deLange〕在上海做報告中有這樣一個題目：“如果A離學校5千米，B離學校10千米，問A、B相距幾千米？〞這一題目似乎是一道小學算術題.事實上，它的內涵很豐盛，波及從自然數相加，有理數加減，圓的幾何軌跡，點的距離，以至圓的參數表示，復數相減等許多數學知識.題目可適合各種層次的學生，可以考慮一直線的情況，可以作為平面計算，也可以在空間測量，留給學生的空間很大.

二、條件開放型

這類考題是給定結論反探滿足結論的條件，而滿足結論的條件并不唯一.這類題常以根本知識為背景加以設計而成的，主要考查學生的根底知識的掌握程度和歸納能力.

例5：1998年高考數學全國卷第18題〔見前第3頁〕，就是一道典型的條件開放題.

例6：假設二次函數f■〔x〕=a■x■+b■x+c■和f■〔x〕=a■x+b■x+c■使得f■〔x〕+f■〔x〕是〔-∞，+∞〕上單調遞增函數，試給出一組滿足上述要求的f■〔x〕=-f■〔x〕的函數式.

例7：〔1〕寫出一個解集是{x？搖？搖x=2kπ+■，k∈Z}的三角方程.

〔2〕已知m0，使它的結集分別是①〔-∞，m〕∪〔n，+∞〕；②〔m，n，〕.

學生習慣解各種類型的三角方程或不等式，但是要自己寫一個滿足要求的方程或不等式，往往比擬困難，只要逆向思維、發(fā)散思維就會想出不少.

條件開放題是根據題中所給的結論、要求，從不同的角度尋找獲得解決這個結論的條件，按尋找條件的類型又可分為下列幾種：

1.補充條件型

例8：甲車間？搖？搖？搖乙車間？搖？搖？搖，丙車間？搖？搖？搖，請問三個車間共有工人多少人？〔在整數范圍內根據問題補充條件后解答〕

該題要補充的條件全部開放.要求學生展開聯想，發(fā)散思維，提出各種不同的可以解決問題的條件，當然也就不會有確定的答案.

2.選擇條件型

例9：計算圖形的面積〔單位：米〕.要求學生選擇圖形中相關的數據，算出它的面積.〔圖略〕

3.多余條件型

例10：學校圖書室有文藝書720本，科技書480本.如果把這些書全部放在書架上，平均每個書架放60本，需要這樣的書架多少個？

題中已知條件“文藝書720本〞是多余條件.這樣，將有用條件和無用條件混雜在一起，形成干擾因素，讓學生根據題意進行分析選擇.4.隱藏條件型

例11：某條公路兩天修完成.第一天修的比總長的2/3多2千米，正好相當于第二天修的4倍.這條公路原長多少米？

該題外表上看來似乎條件缺乏，但其所需的條件隱藏在題意之中，以致學生解題的失誤或無從下手.

三、操作開放題

該類題是比擬好的數學開放題形式，充沛體現了“讓學生在做中學〞的數學觀念，促進了學生動手操作實踐能力的提高.

例12：拿幾張長方形紙，分別折疊出它的1/8，你能折疊出幾種不同的圖形嗎？

學生通過折疊，加深對分數意義及“平均分〞概念的理解.

四、策略開放題

此類開放題分常規(guī)策略開放題和非常規(guī)策略開放題兩類.

1.常規(guī)策略開放題

指運用所學的知識，根據問題的條件分析、推理、判斷得到的途徑、伎倆可能是多種的，這些不同的途徑、伎倆就是不同的解題策略.

〔1〕伎倆開放型

例13：教學“三角形內角和性質〞時，為找出這一性質，可采取開放結果的伎倆組織教學.①讓學生分別量出每一個三角形的三個內角度數，并求出它們的和.再引導推測驗證性質.②讓學生把一張長方形紙沿著一條對角線剪成兩個直角三角形.根據長方形四個角的度數和求出每個直角三角形的內角和性質.

〔2〕途徑開放題

平時提倡的“一題多解〞屬于途徑開放型內容.

例14：除了通分外，你還能想出其他辦法比擬4/7和5/11的大小嗎？

本題可以采取下列兩種不同的解題途徑：①把4/7和5/11化成和原來分數相等、分子相同的分數，然后比擬它們大小；②因為4個1/7〔4/7〕比3.5個1/7〔1/2〕大，而5個1/11比5.5個1/11〔1/2〕小，由此推理判斷4/7大于5/11.

此類開放題目的在于拓寬學生解題思路，培養(yǎng)學生思維的靈活性和發(fā)明性.

2.非常規(guī)策略開放題

除了運用常規(guī)策略開放題外，還應緊密聯系實際，超越常規(guī)解題思路、辦法，讓學生學會多角度解決問題.

例15：一條麻袋裝大米100千克，現有440千克大米，需要幾條麻袋才能裝完？

計算結果是4.4條，但不能用常規(guī)的“四舍五入〞法取4條.因為使用4條麻袋不可能裝完，要用“進一法〞使用5條才能裝完.

五、綜合開放題

某一數學問題，假設題目的條件、解題策略或結論中有兩項以上不確定，那么為綜合開放題.綜合開放題可以是同學科的，也可以是跨學科的.

例16：用一根14厘米的鐵絲，可以圍成幾種形狀不同且長和寬都是整厘米數的長方形.并分別求出圍成的各長方形的面積.

這道題也可以看做是操作性開放題.題中要求所圍的長方形的長和寬數據，學生要根據條件自己尋找若，難度較大，但對創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)極有益處.

開放題的題型并沒有固定的規(guī)范，應當具體問題具體分析.同一個問題你可以根據教學內容要求劃定類型，不要拘泥僵化.值得一提的是，數學開放題的設計，應力求以課程規(guī)范、教材為依據，以學生的知識實際為出發(fā)點，以學生可接受性為尺度.要從心理近體原那么出發(fā)，合乎認知近體、時間近體、空間近體，體現實用，重視運用，突出靈活，把握梯度.教師應認真進行教學設計.為了配合開放題的教學，教學伎倆和辦法要開放，這樣才能促使學生學習狀態(tài)的開放.

六、設計開放型

這類題目要求學生運用學過的數學知識，通過察看、試驗、聯想、類比、演繹、歸納、分析、綜合、猜測等思維形式，對數學問題進行探索和研究，考查學生的探究能力.

例17：初中數學教學的一道開放題：“有一塊長方形的場地，現要在其中建造一些花壇，使得花壇的總面積恰好為原場地的一半，試盡量美觀而準確地做好設計.〞這道題將藝術、數學巧妙地結合起來，發(fā)人深省.

例18：“五石子問題〞：甲、乙、丙三人任意擲五粒石子，投出的石子離散程度最小者為優(yōu)，試給出判斷這五粒石子離散程度的準那么.

這個問題的關鍵是如何確定“散度〞，但題目并沒有給出什么叫“散度〞，要求學生通過想象用數值表示這個“散度〞.通常的辦法有：①任意兩點所連線段之中最長者；②連接各點所成直線形的面積之中最大者；③各點間連線長度之和中最長者；④含五點的圓的半徑之最小者，等等.

這道題不需要很深奧的理論及專門的知識，卻又不是簡單可以答復的.其答案似乎很多，又很容易得到，但要得到真正好的準那么，也不是容易的.

七、問題本身開放型

為了培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，應當聯系社會生活的實際，開發(fā)一些研究性課題，對學生進行訓練，適應新的形勢.研究型課題本身就具有開放性.比方存貸款問題、交通問題、環(huán)境愛護問題，等等.

例19：上海市新編數學教材?統計初步》中有一例，1990年人口普查時，上海共有4065274個家庭戶，總人口數12589650，于是計算得家庭平均人口數為12589650/4065274≈3.10〔人〕.用同樣的計算，可算得1982年人口普查時，上海市家庭平均人口數為3.60人.于是得到了上海市的“家庭規(guī)模正在縮小〞的結論.

如果按傳統的教法，幾乎沒有新的知識點，學生就很可能只學到平均數的計算公式，而沒有學到統計的思想和辦法.讓學生自己答復這個問題，會陸續(xù)碰到許多問題，如〔1〕家庭規(guī)模怎么刻畫？用財產數？住房大小？家庭人口數？〔2〕一家一戶的家庭規(guī)模確定之后，上海市總的家庭規(guī)模怎么刻畫？〔3〕要統計全上海的家庭工作量太大，是否可以少統計一些？如果可以，應該統計哪些家庭？這些家庭的統計結果能否代表上海市的情況？……這些問題實際上已波及了教師要教的根本內容：總體、樣本、指標、統計量、平均數等.由于它們是學生自己提出來的，因此學生研究的積極性和責任心就特別強，這是學習成功的非常重要的非智力因素.生活永遠是數學問題不枯竭的源泉.關注現實世界中的問題，特別是學生身邊的或可理解的實際問題，可使學生有一種親近感和解題欲望.

例20：上海現行的出租車收費規(guī)范是：當路程不超過3千米但不超過10千米時，超過局部的單價2元/千米〔缺乏1千米按1千米計算〕；當路程超過10千米時，超過局部的單價為3元/千米〔缺乏1千米按1千米計算〕，夜23點至第二天凌晨5點加收30%.請討論利用中途換乘出租車的辦法，可以節(jié)省費用的可能性.

如果我們對這一點有明晰的、開放式的認識，就會發(fā)現在自己熟知的日常生活中有許許多多這樣的事例。的確，生活是孕育智慧的搖籃，作為一個開放型的中學數學教師就應當善于將生活請進課堂，豐盛課堂，使學生能夠學有所思，學有所用，使教與學放得更開，從而真正培養(yǎng)學生的開放性思維.

例21：甲、乙、丙三位學生在這學期中的三次數學測驗成績如下：

要比擬這三個學生的成績好壞，讓學生根據實際的需要和自己的理解，分析數據并得出結論.其實你可以設計更復雜的表格，通過不同層次的比擬，提高學生的發(fā)