例談簡單不定方程(組)的計算機程序語句及其初等解法

xx例簡不方（）計機序句其等法摘要本文是以古代數(shù)學文化中的不定方程（組）問題的算法為例，引導學生利用發(fā)散式思維通過一題多解方式拓展學生思考維度從計算機程序語句方面來看運用較復雜的循環(huán)語句來處理是學生不難理解和接受嘗試編寫程序語句來求解使學生感受到現(xiàn)代科技在數(shù)學上帶來的革命在引入歐幾里德的輾轉相除法和貝祖等式的前提下適當采用初等數(shù)論知識進行轉化通過不等式約束條件等途徑，從而尋求多種解決途徑?？傊?，在強化學生的數(shù)學素養(yǎng)之際，同時賦予學生數(shù)學文化的薰陶。關鍵詞：不定方程（組）計算機程序語句初等解法二十世紀中葉以來由于計算機的發(fā)展和世界各國數(shù)學家的努力下計算機成為數(shù)學的工具已達成共識。值得中國人驕傲的是，1959美藉華裔數(shù)學家王浩率先提出了“走向數(shù)學的機械化”口號。作為高中數(shù)學《必修三第一章算法初步》的課程設置正是“教育面向現(xiàn)代化、面向世界、面向未來”的高瞻遠矚的重要舉措。毫無疑問，方程的思想是中學數(shù)學的重要思想。高中數(shù)學《必修三》教材恰巧在方程的思想基礎上導入算法的基礎知識文秉承古代算法的核心素養(yǎng)思想來詮釋不定方（組及其解法從而引導學生達到既能運用計算機程序語言處理，又能運用方程本身的轉化思維的初等方法來解答簡單不定方程（組）問題。下面通過幾個例題加以說明：例題1求方程

y280

的所有正整數(shù)解。解法一：計算機程序解法；由題意得，，x=1WHILEx<=40y=1WHILEy<=28

。具體計算機程序語句如下：IF7*x+10*y=280THENPRINTx,yENDIFy=y+1WENDx=x+1

WENDEND解法二：輾轉相除法和貝祖等式在解二元一次不定方程上的應用；求的輾轉相除法如下表271016713330由貝祖等式可得：

1=7-6=7-23=7-2所以，

840+10）則滿足方程

7x

的一切整數(shù)解為：

t560t

，其中t是整數(shù)。由題意知，

所以

解這個不等式組得：

80當t時，x30,7;當t時xy當tx。解法三：轉化約束條件的初等解法。由原方程得:y

x因為x和y都是正整數(shù)，所以：令

x

,則y28k

。所以

10k

0

；解這個不等式組得：

0

。

k

時，時，,即

k

。（1）

當k

yk

；（2）

當k

時，

；（3）

當

，28k

。例題2求不定方程

y

的正整數(shù)解。解法一：轉化為二元一次不定方程求解。令

z23

，則：

2y

.由題意知，

;

則：當

z

m

而

+3y

在正整數(shù)解的條件下是無解；當

時，

m

,

的正整數(shù)解為：

xy

;當

時，

m

,

xy

的正整數(shù)解為：x2,或xy

。綜上所述，

3,z或x4,z或x5,z

。解法二：計算機程序解法；x=1WHILEx<=11y=1WHILEy<=7z=1WHILEz<=3IF2*x+3*y+7*z=23THENPRINTx,y,zENDIFz=z+1WENDy=y+1WENDx=x+1WENDEND例題中國古張邱建算經的百雞百錢問題今有公雞每只五個錢，母雞每只三個錢，小雞每個錢三只．用個錢買100只雞，問公雞、母雞、小雞各買了多少只？

解法一：轉化約束條件的初等解法；設公雞、母雞、小雞各買x，y，z只，由題意列方程組①×3－②：

xy

③由③得：

y

;令

x

,則：

y25

；其中k為正整數(shù)。把k

，

k

代入②得：

75k

.由題意可得，

>0y>0>0

；即：

解這個不等式組得：0

257

,即

1,2,3

.當k4,kz75當k時k2575k當時,xy4,z解法二：轉化為輾轉相除法和貝祖等式在解二元一次不定方程上的應用x100

③求13

gcd(7,4)743

431

的輾轉相除法如下表130由貝祖等式可得：

所以，

；

則滿足方程

xy100

的一切正整數(shù)解為：y=200-7t

，其中t是正整數(shù)。由題意知，

，所以解這個不等式組得：

28

。txyz=78;tx8,y時，xy得：解法三：計算機程序解法。x=1WHILEx<=20y=1WHILEy<=33z=1WHILEz<=100ANDz>=47IF5x+3y+1/3z=100ANDx+y+z=100THENPRINTx,y,zENDIFz=z+1WENDy=y+1WENDx=x+1WENDEND通過上面三個例題的學習我們不難總結出其中的數(shù)學思想計算機程序語句解答簡單不定方（組的思路是通過多層循環(huán)結構語句并同時嵌套條件結構語句來處理其邏輯結構具有一定的復雜性需要在加深理解的基礎上正確運用程序語句書寫簡單不定方（組的初等解法是建立在化歸的數(shù)學思想基

礎上用約束條件通過解不等式組來處理或者運用輾轉相除法和貝祖等式的相