中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練-二次函數(shù)的最值

中考專題訓(xùn)練——二次函數(shù)的最值

1.已知二次函數(shù)y=2?-Z?x+c的圖象經(jīng)過A(1,n),B(3,n).

(1)用含〃的代數(shù)式表示c.

2

(2)若二次函數(shù)y=2?-bx+c的最小值為維，求"的值.

2.已知△ABC的面積為P,M是BC上的動(dòng)點(diǎn)，過M作AB、AC的平行線分別交AC、AB

于F、E,設(shè)誕=x,平行四邊形AEMF的面積是y.

BC

求：

(1)y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)x是何值時(shí)，y有最大或最小值？求出此值.

3.如圖，一張正方形紙板的邊長為10cm,將它割去一個(gè)正方形，留下四個(gè)全等的直角三

角形(圖中陰影部分).設(shè)AE=BF=CG=?！?x(cn^),陰影部分的面積為y(。層).

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍.

(2)當(dāng)x取何值時(shí)，陰影部分的面積達(dá)到最大，最大值為多少？

4.已知函數(shù)y=-/+bx+c(b,c,為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,-3),(-6.-3).

(1)求6,c的值.

(2)當(dāng)-4WxW0時(shí)，求y的最大值.

(3)當(dāng)機(jī)WxWO時(shí)，若y的最大值與最小值之和為2,求〃?的值.

5.如圖，在Rt/XABC中，ZB=90°,AB=6cm,BC=10c7〃，點(diǎn)尸從點(diǎn)A開始沿AB邊向

點(diǎn)B移動(dòng)，速度為點(diǎn)Q從點(diǎn)8開始沿邊向點(diǎn)C移動(dòng)，速度為2aMs,點(diǎn)P、

。分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

(1)幾秒時(shí)，PQ的長度為3遙C777?

(2)幾秒時(shí)，△PB。的面積為8s??

(3)當(dāng)？(0<r<5)為何值時(shí)，四邊形APQC的面積最??？并求這個(gè)最小值.

A

6.己知，如圖，矩形ABCO中，4。=6,DC=8,菱形EFG”的三個(gè)頂點(diǎn)E,G,，分別

在矩形A8CO的邊AB,CD,DA±,AH=2,連接CF.

(1)若。G=2,則四邊形EfGH的形狀為.

(2)若。G=5,求△FCG的面積.

(3)當(dāng)。G為何值時(shí)，AFCG的面積最小，并求這個(gè)最小值.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4,8是一次函數(shù)y=x圖象上兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別

為a,a+3,其中。>0,過點(diǎn)A,B分別作y軸的平行線，交拋物線)，=7-4x+8于點(diǎn)C,

D.

(1)若AO=BC,求a的值；

(2)點(diǎn)E是拋物線上的一點(diǎn)，求△ABE面積的最小值.

8.定義：對于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)x<0時(shí)，它們對應(yīng)的函數(shù)值互

為相反數(shù)；當(dāng)x20時(shí)，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函

-x+1(x<0)

數(shù).例如：一次函數(shù)y=x-l,它們的相關(guān)函數(shù)為y=

x-1(x》0)

(1)已知點(diǎn)A(-5,8)在一次函數(shù)y=ax-3的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a的值;

(2)已知二次函數(shù)y=-/+4x-a

①當(dāng)點(diǎn)B(〃7,3)在這個(gè)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上時(shí)，求力的值；

2

②當(dāng)-3?3時(shí)，求函數(shù)產(chǎn)-f+4x-■的相關(guān)函數(shù)的最大值和最小值.

9.如圖，四邊形ABCD中，AD//BC,BD±DC,/C=45°,80平分NA8C.

(1)求證：ABLBC；

(2)已知4￡>=AB=4,2C=8,點(diǎn)尸，。分別是線段AD,8c上的點(diǎn)，BQ=2AP,

過點(diǎn)尸作PR〃/IB交B。于R,記y表示△PR。的面積，x表示線段AP的長度.如果

在一個(gè)直角三角形中，它的兩個(gè)銳角都是45°,那么它的兩條直角邊的長度相等，請你

根據(jù)題目條件，寫出表示變量y與x關(guān)系的關(guān)系式.

(3)當(dāng)x=時(shí)，y取得最大值.

10.如圖，在菱形ABC。中，AB=6,乙4。。=120°,P為對角線AC上的一點(diǎn)，過P作

PE〃AB交A。與E,PF〃AD交CD千F,連接B￡、BF、EF.

(1)求AC的長；

(2)求證：ABEF為等邊三角形;

(3)四邊形BEPF面積的最小值為.

11.某企業(yè)為杭州計(jì)算機(jī)產(chǎn)業(yè)基地提供電腦配件.受美元走低的影響，從去年1至9月，該

配件的原材料價(jià)格一路攀升，每件配件的原材料價(jià)格yi(元)與月份x(lWx《9,且x

取整數(shù))之間的函數(shù)關(guān)系如下表：

月份X123456789

價(jià)格yi(元/件)560580600620640660680700720

隨著國家調(diào)控措施的出臺(tái)，原材料價(jià)格的漲勢趨緩，10至12月每件配件的原材料價(jià)格

心（元）與月份尤（I0WxW12,且x取整數(shù)）之間存在如圖所示的變化趨勢：

（1）請觀察題中的表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，直

接寫出），1與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)如圖所示的變化趨勢，直接寫出”與x之間滿足

的一次函數(shù)關(guān)系式；

（2）若去年該配件每件的售價(jià)為1000元，生產(chǎn)每件配件的人力成本為50元，其它成本

30元，該配件在1至9月的銷售量pi（萬件）與月份x滿足關(guān)系式”=0.￡+1.1（IWX

W9,且x取整數(shù)），10至12月的銷售量9（萬件）辟=-O.lx+2.9（10WxW12,且x

取整數(shù)）.求去年哪個(gè)月銷售該配件的利潤最大，并求出這個(gè)最大利潤.

12.對稱軸為直線x=-1的拋物線y=/+/zr+c,與x軸相交于A,B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐

標(biāo)為（-3,0）.

（1）求點(diǎn)8的坐標(biāo).

（2）點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)。是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QOLx軸交拋物線于

點(diǎn)。，求線段。。長度的最大值.

13.己知邊長為6的正方形48CD,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位長度/秒順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

。從A點(diǎn)出發(fā)，以3個(gè)單位長度/秒逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，當(dāng)尸、。兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)

時(shí)間為八

（1）當(dāng)/=1秒時(shí)，求△APQ的面積；

（2）△AP。的面積等于華時(shí)，求f的值；

（3）求△APQ面積的最大值.

14.定義：對于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)xVO時(shí)，它們對應(yīng)的函數(shù)值

互為相反數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函

數(shù).例如：一次函數(shù)y=x-l,它的相關(guān)函數(shù)為、

lx-l(x>0)

已知二次函數(shù)y=-f+6元V

(1)直接寫出已知二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為丁=;

(2)當(dāng)點(diǎn)8(m,3)在這個(gè)二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上時(shí)，求根的值；

2

(3)當(dāng)-3WxW7時(shí)，求函數(shù)y=-f+6xV的相關(guān)函數(shù)的最大值和最小值.

15.定義：對于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)x<0時(shí)，它們對應(yīng)的函數(shù)值

互為相反數(shù)；當(dāng)x20時(shí)，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函

數(shù).例如：一次函數(shù)y=x-l,它的相關(guān)函數(shù)為>=卜+1

Ix-1(x>0)

2,

己知二次函數(shù)y=-x+6x+y

(1)直接寫出已知二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為)，=.已知點(diǎn)4(-5,8)在一次函數(shù)

)，=以-3的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a的值；

(2)當(dāng)點(diǎn)8Cm,3)在這個(gè)二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上時(shí)，求加的值；

2

(3)當(dāng)-3<xW7時(shí)，求函數(shù)y=-/+6x+/■的相關(guān)函數(shù)的最大值和最小值.

16.設(shè)〃、b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，用"以￥{〃，/?}表示〃、b兩數(shù)中較大者，例如：/加比{-1,-

1}=-1,mcix{1,2}=2,max{4f3}=4,參照上面的材料，解答下列問題：

(1)max{5,2}=,max{0,3}=；

(2)若能ar{3x+l,-x+\}=-x+1,求x的取值范圍；

(3)求函數(shù)>=%2-2%-4與》=7+2的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，函數(shù)y=7-2冗-4的圖象如

圖所示，請你在圖中作出函數(shù)y=-x+2的圖象，并根據(jù)圖象直接寫出加6{-x+2,

2x-4}的最小值.

17.已知關(guān)于x的函數(shù)y=fc?+(2Jt-1)x-2(%為常數(shù)).

(1)試說明：不論左取什么值，此函數(shù)圖象一定經(jīng)過(-2,0)；

(2)在x>0時(shí)，若要使y隨x的增大而減小，求上的取值范圍；

(3)試問該函數(shù)是否存在最小值-3?若存在，請求出此時(shí)左的值；若不存在，請說明

理由.

18.設(shè)a,h是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式的實(shí)數(shù)x的所有取值的

全體叫做閉區(qū)間，表示為［a,b］.對于任何一個(gè)二次函數(shù)，它在給定的閉區(qū)間上都有最

小值.

(1)函數(shù)y=-f+4x-2在區(qū)間［0,5)上的最小值是

(2)求函數(shù)了=5+)24在區(qū)間［0,卷］上的最小值.

(3)求函數(shù)y=7-4x-4在區(qū)間［-2,L1］。為任意實(shí)數(shù))上的最小值加加的解析式.

19.閱讀下面的材料：

小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問題：若iWxW/n,求二次函數(shù)y=f-6尤+7的最大值.他

畫圖研究后發(fā)現(xiàn)，x=l和x=5時(shí)的函數(shù)值相等，于是他認(rèn)為需要對〃，進(jìn)行分類討論.

他的解答過程如下：

?.?二次函數(shù)-6x+7的對稱軸為直線x=3,

由對稱性可知，x=l和x=5時(shí)的函數(shù)值相等.

.,.若lWmV5,則x=l時(shí)，y的最大值為2；

若"??5,則x=，w時(shí)，y的最大值為，“2-6〃?+7.

請你參考小明的思路，解答下列問題：

⑴當(dāng)-2WxW4時(shí)，二次函數(shù)y=2x2+4x+l的最大值為；

(2)若pWxW2,求二次函數(shù)y=2；+4x+l的最大值；

(3)若t^x^t+2時(shí)，二次函數(shù)y=2?+4x+l的最大值為31,貝Ur的值為

20.如圖所示，在邊長為1的正方形A8CC中，一直角三角尺PQR的直角頂點(diǎn)尸在對角線

AC上移動(dòng)，直角邊PQ經(jīng)過點(diǎn)。，另一直角邊與射線BC交于點(diǎn)E.

(1)試判斷PE與PO的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論：

(2)連接P8,試證明：△PBE為等腰三角形；

(3)設(shè)AP=x,△PBE的面積為y,

①求出y關(guān)于x函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)點(diǎn)P落在AC的何處時(shí)，△)?后的面積最大，此時(shí)最大值是多少？

BC

R

參考答案與試題解析

1.已知二次函數(shù)':寸-bx+c的圖象經(jīng)過A(1,〃)，B(3,n).

(1)用含〃的代數(shù)式表示c.

2

(2)若二次函數(shù)y=2?-bx+c的最小值為求"的值.

【分析】(1)由拋物線經(jīng)過4(1,〃)，8(3,”)可得拋物線解析式為y=2(x-1)(x

-3)+n,把x=0代入解析式求解.

(2)由拋物線的對稱性可得拋物線對稱軸為直線》=-二0=2,從而可得b的值，根據(jù)

4

函數(shù)最值為馴上求解.

4a

【解答】解：⑴設(shè)y=2(x-1)(x-3)+〃，

把x=0代入y=2(x-1)(x-3)+〃得y=2X(-1)X(-3)+〃=6+〃.

；.c=6+w.

(2)?.,圖象經(jīng)過A(1,〃)，B(3,〃)，

拋物線對稱軸為直線x=-3=2,

4

解得b=8,

Ay=2x2-8X+6+H,

???函數(shù)最小值為8(6%)-64=/=(6切)2,

88181

整理得〃2-69"+198=0,

解得"=3或"=66.

2.已知△ABC的面積為P,M是BC上的動(dòng)點(diǎn)，過M作AB、AC的平行線分別交AC、AB

于F、E,設(shè)誕=x,平行四邊形AEMF的面積是y.

BC

求：

(1)y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)x是何值時(shí)，y有最大或最小值？求出此值.

【分析】(1)由ME〃CA,MF〃A8可得△BMES/\BCA,AMCF^ABCA,從而可得S

△BME=P/,S&MCF=P(1-X)2,進(jìn)而求解.

(2)將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解.

【解答】解：(1),：ME//CA,MF//AB,

:.ABMEsABCA,XMCFSXBCA*

???BJXf

BC

.SABMESABME/CMx2-2

2ABCAPBC

Sahcf-(CM)2=(黑二則.)2=(i-x)2,

PBCBC

:?S〉BME=P?，S\MCF=P(1-X)之,

：.y=P-Px1-P(1-x)2=P(-2J?+2X).

(2)'：y=P(-2?+2x)=-IP(x-A)2+Ap,

22

；.y有最大值，當(dāng)犬=/時(shí)，y=》為最大值.

3.如圖，一張正方形紙板的邊長為10cm將它割去一個(gè)正方形，留下四個(gè)全等的直角三

角形(圖中陰影部分).設(shè)4￡=8尸=?6=。”=1(0九)，陰影部分的面積為y(cm?).

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍.

(2)當(dāng)x取何值時(shí)，陰影部分的面積達(dá)到最大，最大值為多少？

【分析】(1)由AE=BB=CG=OH=X(CTH)得出BE=CF=DG=AH=(10-x)(cw),

然后根據(jù)三角形面積求解.

(2)將解析式配方求解.

【解答】解：(1)VAE=BF=CG=DH=xCem),

；.BE=CF=DG=AH=(10-x)(cm),

.?.y=4X*x(10-x)=-2?+20x(0<x<10).

(2)Vy=-2?+20x=-2(x-5)2+50,

???x=5時(shí)，陰影部分面積最大值為50c,“2.

4.已知函數(shù)y=-/+bx+c(6,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,-3),(-6,-3).

(1)求b,c的值.

(2)當(dāng)-4WxW0時(shí)，求y的最大值.

(3)當(dāng)”?WxW0時(shí)，若y的最大值與最小值之和為2,求m的值.

【分析】(1)將圖象經(jīng)過的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式解答即可；

(2)根據(jù)x的取值范圍，二次函數(shù)圖象的開口方向和對稱軸，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判定

y的最大值即可；

(3)根據(jù)對稱軸為x=-3,結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，分類討論得出m的取值范圍即

可.

【解答】解：(1)把(0,-3),(-6,-3)代入_y—-/+bx+Ci

得b--6,c--3.

(2)Vy=-x1-6x-3=-(x+3)2+6,

又：-4WxW0,

...當(dāng)x=-3時(shí)，y有最大值為6.

(3)①當(dāng)-3<m<0時(shí)，

當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值為-3,

當(dāng)x=m時(shí)，y有最大值為-"P-6〃i-3,

-n?-6m-3+(-3)—2,

'.m=-2或m=-4(舍去).

②當(dāng)mW-3時(shí)，

當(dāng)x=-3時(shí)y有最大值為6,

的最大值與最小值之和為2,

最小值為-4,

/.-(機(jī)+3)2+6=-4,

-3-V10或m=-3+V10(舍去).

綜上所述，機(jī)=-2或-3-JT3.

5.如圖，在RtZ\A8C中，ZB=90°,AB=6cni,BC=10a”，點(diǎn)尸從點(diǎn)A開始沿AB邊向

點(diǎn)B移動(dòng)，速度為Icro/s；點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C移動(dòng)，速度為2cmis,煎P、

。分別從點(diǎn)A、8同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

(1)幾秒時(shí)，PQ的長度為3代c力?

(2)幾秒時(shí)，△PBQ的面積為8C/?2?

(3)當(dāng)/(0</<5)為何值時(shí)，四邊形APQC的面積最??？并求這個(gè)最小值.

A

【分析】(1)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，分別用f的代數(shù)式表示出線段PB,BQ的長度，利用勾

股定理列出方程即可求解；

(2)利用(1)中的方法，利用三角形的面積公式列出方程即可求解；

(3)利用(1)中的方法求得四邊形APQC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒時(shí)，P。的長度為3遙cm,

依題意得：AP=fan,BQ=2tcm,

：.PB=(6-t)cm.

AZB=90°,

：.PB1+BQ1=PQ,

(6-t)2+(2t)2=(3V5)2>

解得：f=3或-3(負(fù)數(shù)不合題意，舍去).

5

.?.3秒時(shí)，P0的長度為3代CM2；

(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒時(shí)，△尸8。的面積為8a#,

依題意得：AP=tcm,BQ=2tcm,0W/W5,

PB—(6-/)cm.

?△尸B。的面積為8cM2,

.\Ax(6-r)X2f=8.

2

解得：f=2或4.

；.2或4秒時(shí)，△PBQ的面積為8”?.

(3)四邊形APQC的面積

=S^ABC-SAPBQ

^^XAB'BC-^XBQ'PB

=AX6X10-—X(6-力X2r

22

=F-6f+30

=(f-3)2+21,

.?.當(dāng)f=3時(shí)，四邊形AP0c的面積最小，最小值為21.

6.已知，如圖，矩形ABCD中，AD=6,￡>C=8,菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E,G,H分別

在矩形ABC。的邊48,CD,D4上，AH=2,連接CF.

(1)若。G=2,則四邊形EFG”的形狀為正方形.

(2)若。G=5,求△尸CG的面積.

(3)當(dāng)。G為何值時(shí)，△尸CG的面積最小，并求這個(gè)最小值.

【分析】(1)證明RtAAHEWRtADGH(HL),推導(dǎo)出NE//G=90°,從而證明出四

邊形HEFG為正方形；

(2)過尸作FM_LOC,交OC延長線于M,連接GE,證明△入〃￡畛△例尸G(AAS),

得到△FCG的高FM=HA=2,根據(jù)三角形面積公式即可得出答案；

(3)設(shè)￡>G=x,由(2)得：SAFCG=2XBWXGC=LX2XGC=8-x,根據(jù)勾股定理

22

求出x的最大值即可得出答案.

【解答】解：(1)?四邊形A8C。為矩形，四邊形HEFG為菱形，

.\ZD=ZA=90°,HG=HE,

又：AH=￡)G=2,

RtAA/ZE^RtADGW(HL),

:"DHG=/HEA,

VZAHE+ZHEA=90°,

:./AHE+NDHG=90°,

:.NEHG=90°,

四邊形//EFG為正方形；

故答案為：正方形；

(2)過尸作FM_LQC,交OC延長線于M,連接GE,

VAB//CD,

：.NAEG=NMGE,

"：HE//GF,

：.ZHEG=ZFGE,

：.NAEH=NMGF,

在和△MFG中，

VZA=ZM=90°,NAEH=NMGF,HE=FG,

:./\AHE"/\MFG(AAS),

；.FM=HA=2,

即無論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)F到直線CD的距離始終為定值2,

因此SAFCG=—XFMXGC

2

=JLX2X(8-5)

2

=3；

(3)設(shè)￡>G=x,

由(2)得：SNCG=LXFMXGC

2

=JLX2XGC

2

=8-x,

在Rl^AHE中，

AEWAB=8,

HE2=AH2+AE2W22+82=68,

：.HG1=DH2+DG2=(6-2)2+/W68,

.?.xW2V1^,

.?.當(dāng)￡>G=2j石時(shí)，^FCG的面積最小，最小值為8-2/正.

DG

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B是一次函數(shù)y=x圖象上兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別

為a,a+3,其中“>0,過點(diǎn)A,8分別作y軸的平行線，交拋物線-4x+8于點(diǎn)C,

D.

(1)若AO=2C,求a的值；

(2)點(diǎn)E是拋物線上的一點(diǎn)，求△48E面積的最小值.

【分析】(1)將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入相應(yīng)的函數(shù)解析式，再結(jié)合AD=BC,可得關(guān)于a的

方程，解得a的值即可；

(2)設(shè)點(diǎn)￡(根，m2-4/77+8),過E作EM垂直于x軸交AB于點(diǎn)M,作B凡LEM,AG

A.EM,垂足分別為凡G,由題意可得M(小M,從而可用含機(jī)的式子表示出EM的

長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及三角形的面積公式可得答案.

【解答】解：(1”.?點(diǎn)4,B是一次函數(shù)y=x圖象上兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為“，。+3,

?\A(a,a),B(a+3,a+3).

y=x2-4x+8

=(X-2)2+4,

將x=a代入得：y—Ca-2)2+4；

將x=a+3代入得：y=(a+1)2+4.

：.D(a,(a-2)2+4),C(a+3,(a+1)2+4),

：.AD^(a-2)2+4-a,CB=(a+1)2+4-(a+3).

由AD=8C得：(a-2)2+4-(a+1)2+4-(a+3),

??〃=1.

(2)設(shè)點(diǎn)E(機(jī)，川-4〃汁8),過E作EM垂直于x軸交AB于點(diǎn)M,作BRLEM,AG

LEM,垂足分別為F,G,

111Q5、221

.".SAABE=SAA￡M+5￡MB=yEM-AG+yEM-BF=-^EM(AG+BF)=q

AmT8

由3>o,得SAABE有最小值.

2

當(dāng)立時(shí)，S&ABE的最小值為2L.

28

8.定義：對于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)x<0時(shí)，它們對應(yīng)的函數(shù)值互

為相反數(shù)；當(dāng)x20時(shí)，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函

數(shù).例如：一次函數(shù)y=x-l,它們的相關(guān)函數(shù)為尸「x+1

-{x-1(x>0)

(1)己知點(diǎn)A(-5,8)在一次函數(shù)y=or-3的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a的值；

(2)已知二次函數(shù)y=-/+4x-微.

①當(dāng)點(diǎn)BUn,3)在這個(gè)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上時(shí)，求機(jī)的值；

2

②當(dāng)-3WxW3時(shí)，求函數(shù)y=-7+4X-2?的相關(guān)函數(shù)的最大值和最小值.

【分析】(1)寫出y=ax-3的相關(guān)函數(shù)，代入計(jì)算；

(2)①寫出二次函數(shù)產(chǎn)-7+4x-卷的相關(guān)函數(shù)，代入計(jì)算；

②根據(jù)二次根式的最大值和最小值的求法解答.

【解答】解：⑴-3的相關(guān)函數(shù)產(chǎn)［ax+3<0),

lax-3(x>0)

將A(-5,8)代入y=-or+3得：5〃+3=8,

解得4=1；

x2-4x-<-y(x<0)

-f+4龍-]■的相關(guān)函數(shù)為y=<

(2)二次函數(shù)丁=n1

-x+4x--(x^O)

①當(dāng)"?vo時(shí)，將3(“，旦)代入y=/-4x+2

22

得"

P-4m+—=—f

22

解得：m=2+遍(舍去)，或機(jī)=2-病,

當(dāng)機(jī)50時(shí)，將3Gn,—)代入y=-/+4x-1■得：

22

1Q

-in9+4m--=—,

22

解得：巾=2+&或"?=2-弧.

綜上所述：m=2-通或，〃=2+&或m=2-&；

②當(dāng)-3Wx<0時(shí)，y=/-4x+L,拋物線的對稱軸為x=2,

2

此時(shí)y隨x的增大而減小，

，此時(shí)y的最大值為爭，

當(dāng)0WxW3時(shí)，函數(shù))，=-/+4x-拋物線的對稱軸為x=2,

當(dāng)x=0有最小值，最小值為-當(dāng)x=2時(shí)，有最大值，最大值)=看，

綜上所述，當(dāng)-3WxW3時(shí)，函數(shù)y=-/+4x-*的相關(guān)函數(shù)的最大值為號(hào)，最小值為

.X

~2'

9.如圖，四邊形ABC。中，AD//BC,BD1DC,ZC=45°,8。平分N4BC.

(1)求證：ABLBC；

(2)己知A￡>=4B=4,BC=8,點(diǎn)P,。分別是線段AO,BC上的點(diǎn)，BQ=2AP,

過點(diǎn)P作PR〃AB交8。于R,記y表示△PRQ的面積，x表示線段AP的長度.如果

在一個(gè)直角三角形中，它的兩個(gè)銳角都是45°,那么它的兩條直角邊的長度相等，請你

根據(jù)題目條件，寫出表示變量y與x關(guān)系的關(guān)系式.

(3)當(dāng)3=2時(shí),y取得最大值2.

D

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求/OBC,根據(jù)角平分線的定義可求/A3。，可

得/A8C=90°,從而求解；

(2)根據(jù)三角形面積公式即可求解；

(3)利用配方法可求y的最大值.

【解答】(1)證明：；NC=45°,ZB￡)C=90°,

.,.ZDBC=180--45°-90°=45°,

：8。平分NABC,

；.NABD=NDBC=45°,

AZABC=90°；

(2)解：y——(4-x)x=-工7+2%；

22

(3)解：當(dāng)x=2時(shí)，y取得最大值2,

y=--X2+2X

2

=-—(x2-4x+4)+2

2

="—(x-2)~+2,

2

故當(dāng)x=2時(shí)，y取得最大值2.

故答案為：2,2.

10.如圖，在菱形ABC。中，AB=6,NAOC=120°,P為對角線4c上的一點(diǎn)，過P作

PE〃AB交AD與E,PF"AD交CD于F,連接BE、BF、EF.

(1)求AC的長；

(2)求證：△8EF為等邊三角形；

(3)四邊形8EP尸面積的最小值為生巨.

一2一

B

C

E

D

【分析】(1)連接BO,交AC于G,根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BD_L4C,AG=CG=—AC,

2

然后解直角三角形全等AG,即可求得AC；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)證得NCPF=NCA￡>,四邊形DEPF是平行四邊形，即可證得

FC=ED,然后證得.?.△BED絲△BFC(SAS),得至UBE=8凡NEBD=NFBC,進(jìn)一步

證得NEBF=60°,即可證得結(jié)論；

(3)由⑵可知S四邊形BEOF=SABOC=/X6X亨乂6=外行，作于H，設(shè)

FC=x,則DF=6-x,解直角三角形求得P”，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式

得到S四邊影DEPF=DF?PH=W^-X?(6-x)=-近■(x-3)2+—A/3>即可得到S四邊彩

222

BEPF—S四邊形BEDF-S四邊形DEPF=9A/^-(6-X)(X-3)2+2F，求得四

222

邊形8EPF面積的最小值.

【解答】(1)解：連接80,交AC于G,

:菱形ABC。中，AC和是對角線，

:.BDLAC,AG=CG=—AC,

2

：AB=6,ZADC=120°,

.?./54C=NBCA=30°,

在RtZ\A8G中，4G=AB?cosN8AC=6X近=3百，

2

：.AC=2AG=6yf3；

(2)證明：,在菱形ABC。中，AB=f>,ZADC=U0°,

；.NBAD=NBCD=60°,NA8O=/CBO=/AOB=/C￡>2=60°,

.?.△ABO是等邊三角形，

:.BD=AB=BC=6,

'：PE//AB,PF//AD,

：.ZCPF=ZCAD,四邊形。EPF是平行四邊形，

：.ED=PF,

"：AD=DC,

J.ZCAD^ZACD,

：.ZCPF=ZACD,

；.PF=FC,

：.ED=FC,

在ABED和48尸C中

'ED=FC

<ZEDB=ZFCB=60°

,BD=BC

.?.△BED絲△BFC(SAS),

：.BE=BF,NEBD=ZFBC,

；NFBC+NFBD=NCBD=60",

NEBD+NFBD=ZEBF=60°,

.?.△BEF是等邊三角形；

(3)解：作PH_LC￡)于H,

設(shè)FC^x,則PF=x,DF=6-x,

VZADC=\20°,PF//AD,

；.NPFD=6Q°,

：.PH=PF-sinZPFD=

2

2

?\Sa邊修D(zhuǎn)EPF=DF?PH=^-X.(6-x)=-近(x-3)+—J3,

222

,:S四邊彩BEDF=SABDC=^XX6=9V3>

".S四邊形BEPF=S四邊形BEOF-S四邊形。EPF=9。^-^^-x*(6-x)(x-3)2+2、n，

222

?.?逅>0,

2

二四邊形BEPF面積有最小值為

故答案為9M.

2

11.某企業(yè)為杭州計(jì)算機(jī)產(chǎn)業(yè)基地提供電腦配件.受美元走低的影響，從去年1至9月，該

配件的原材料價(jià)格一路攀升，每件配件的原材料價(jià)格yi（元）與月份x（lWx《9,且x

取整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系如下表：

月份X123456789

價(jià)格）“（元/件）560580600620640660680700720

隨著國家調(diào)控措施的出臺(tái)，原材料價(jià)格的漲勢趨緩，10至12月每件配件的原材料價(jià)格

心（元）與月份尤（I0WxW12,且x取整數(shù)）之間存在如圖所示的變化趨勢：

（1）請觀察題中的表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，直

接寫出）1與X之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)如圖所示的變化趨勢，直接寫出），2與X之間滿足

的一次函數(shù)關(guān)系式;

（2）若去年該配件每件的售價(jià)為1000元，生產(chǎn)每件配件的人力成本為50元，其它成本

30元，該配件在1至9月的銷售量“（萬件）與月份x滿足關(guān)系式m=0.￡+1.1（IWX

W9,且x取整數(shù)），10至12月的銷售量9（萬件）辟=-O.lx+2.9（10<xW12,且x

取整數(shù)）.求去年哪個(gè)月銷售該配件的利潤最大，并求出這個(gè)最大利潤.

【分析】（1）利用待定系數(shù)法，結(jié)合圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)求出一次函數(shù)解析式即可;

（2）根據(jù)生產(chǎn)每件配件的人力成本為50元，其它成本30元，以及售價(jià)銷量進(jìn)而求出最

大利潤.

【解答】解：（1）利用表格得出函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系:

設(shè)yi=fcr+6,

.fk+b=560

I2k+b=580

解得：”=20,

lb=540

.?.yi=20x+540,

利用圖象得出函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系:

設(shè)y2=ax+c,

..J10a+c=730,

"ll2a+c=750,

解得：產(chǎn)0.

lc=630

/.)2=10x+630.

(2)去年1至9月時(shí)，銷售該配件的利潤w=pi(1000-50-30-yi),

=(O.lx+1.1)(1000-50-30-20%-540)=-2x2+16x+418,

=-2(x-4)2+450,(1WXW9,且x取整數(shù))

V-2<0,1WXW9,.?.當(dāng)x=4時(shí)，w最大=450（萬元）；

去年10至12月時(shí)，銷售該配件的利潤w=p2（1000-50-30-*）

=（-O.lx+2.9）（1000-50-30-10x-630）,

=（x-29）2,（10WxW12,且x取整數(shù)），

；10<xW12時(shí)，.,.當(dāng)x=10時(shí)，w最大=361（萬元），

V45O361,A去年4月銷售該配件的利潤最大，最大利潤為450萬元.

12.對稱軸為直線x=-1的拋物線y=f+6x+c,與x軸相交于A,B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐

標(biāo)為（-3,0）.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo).

（2）點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段4c上的動(dòng)點(diǎn)，作。。工》軸交拋物線于

點(diǎn)Q,求線段。。長度的最大值.

【分析】（1）利用二次函數(shù)對稱性即可得出8點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）首先利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，進(jìn)而求出直線AC的解析式，再利用

--x-3-（f+2x-3）進(jìn)而求出最值.

【解答】解：（1）???點(diǎn)4（-3,0）與點(diǎn)B關(guān)于直線苫=-1對稱，

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,0）.

(2)*.,a=l,.,.y=x2'+bx+c.

?拋物線過點(diǎn)(-3,0),且對稱軸為直線x=-l,

9-3b+c=0

解得：,b=2

Ic=-3

2

/.<y=x+2x-3,

且點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,-3）.

設(shè)直線AC的解析式為y=tnx+n,

則―3m+n=0,

1n=_3

解得」m—,

1n=~3

工尸-x-3

如圖，設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x.y),-3Wx<0.

則有。D=-x-3-(/+2x-3)=-f-3x=-(x+&)2+9

24

?.?-3W-gwo,.?.當(dāng)x=-3時(shí)，°。有最大值目.

224

線段。。長度的最大值為日.

13.已知邊長為6的正方形ABCQ,點(diǎn)F從A點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位長度/秒順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

。從A點(diǎn)出發(fā)，以3個(gè)單位長度/秒逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，當(dāng)尸、。兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)

時(shí)間為人

(1)當(dāng)f=l秒時(shí)，求△AP。的面積；

(2)△APQ的面積等于空?時(shí)，求r的值；

4

(3)求△APQ面積的最大值.

【分析】(1).?.SAAPQ=*AP?AQ=*X2fX3八

(2)分類討論點(diǎn)P,。在各邊面積的解析式然后求值.

(3)計(jì)算(2)中各解析式面積最大值.

【解答】解：(1)r=l時(shí)，AP=2t=2,AQ=3t=3,

???&APQ=/AP.AQ=/X2X3=3-

(2)當(dāng)0<f<2時(shí)?，P在A8上，Q在AD上,

Si^PQ=—AP-AQ=—X.2rX3t=3p,

3?W12,不符合題意.

當(dāng)2<fW3時(shí)，。在CD上，P在AB上,

S&APQ=^AP-AD=^X6X2t=6t,

6t=更時(shí)，f=H.

48

當(dāng)3WfW4時(shí)，P在8c上，。在CD上，

SAAPQ=S正方影ABCD-Si,ABP-S&PCQ-SMDQ-AD2——ABBP-工PC?CQ-工AO?DQ=

222

-3?+15f.

-3p+15f=至?時(shí)，解得z=工或f=3（舍）.

422

CD

當(dāng)絲，5A4PG=—Ax6(24-5f)=72-\5t,

522

72-15f<12,不符合題意.

綜上所訴，/=旦或/=工.

82

(3)由(2)得，當(dāng)20W3時(shí)S=6f,f=3時(shí)S取最大值為18,

當(dāng)3W/W4時(shí)-3尸+15￡=-3(L2+匹，當(dāng)f=3時(shí)S取最大值為18.

24

；./=3時(shí)，△AP。面積的最大值為18.

14.定義：對于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)x<0時(shí)，它們對應(yīng)的函數(shù)值

互為相反數(shù)，當(dāng)龍》0時(shí)，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函

數(shù).例如：一次函數(shù)y=x-l,它的相關(guān)函數(shù)為>=>

x-1(x>0)

已知二次函數(shù)y=-x2+6x

x2-6x—(x<0)

直接寫出已知二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為)，=_，

-X2+6X+^"(x>0)

(2)當(dāng)點(diǎn)8(m,星)在這個(gè)二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上時(shí)，求山的值;

2

(3)當(dāng)-3WxW7時(shí)，求函數(shù)y=的相關(guān)函數(shù)的最大值和最小值.

【分析】(1)根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義即可找出二次函數(shù)y=-/+6x+*的相關(guān)函數(shù)，將點(diǎn)4

(-5,8)代入y=-ax+3中即可求出a值；

(2)分根<0及機(jī)20兩種情況考慮，代入點(diǎn)B(m,3)的坐標(biāo)求出加值即可；

2

(3)分-3Wx<0及0WxW7兩種情況，找出函數(shù)y=-/+6x+/的相關(guān)函數(shù)的最大值和

最小值，綜上即可得出結(jié)論.

x2-6x-~(x<0)

【解答】解:(1)二次函數(shù)》=-的相關(guān)函數(shù)為y=<

2-X2+6X+--(X>0)

x^-6x—(x<0)

故答案為：?

-X2+6X+^(x>0)

(2)當(dāng),w<0時(shí)，把8(m,W)代入y=--6x-工得：〃72-6?7-2=3,

2222

解得：，〃=3+jn(舍去)或〃?=3-m

當(dāng)"?》0時(shí)，把B(7??,—)代入y=-7+6X+2?得：-,#+6%+」=3,

2222

解得：，"=3±2&,

綜合上述：相=3-近！或,“=3-2&或3+2&；

(3)當(dāng)-3?0時(shí)，y=/-6x-』=(x-3)2-烏

22

???拋物線的對稱軸為直線x=3,在-3WxVO上，y隨x的增大而減小,

，當(dāng)x=-3時(shí)，y取最大值，最大值為.；

當(dāng)OWxW7時(shí)，y--X2+6X+——-(x-3)2+-i^-,

22

...拋物線的對稱軸為直線x=3,

...當(dāng)x=3時(shí)，)，取最大值，最大值為"，當(dāng)x=7時(shí)，y取最小值，最小值為-專

綜上所述：當(dāng)-3WxW7時(shí)，所求函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的最大值為里，最小值為-尤

22

15.定義：對于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)x<0時(shí)，它們對應(yīng)的函數(shù)值

互為相反數(shù)；當(dāng)x2O時(shí)，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函

-x+1(x<0)

數(shù).例如：一次函數(shù)y=x-