7立體幾何-1981-2019年歷年數(shù)學(xué)聯(lián)賽50套真題WORD版分類匯編含詳細(xì)答案

1981年~2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題分類匯編—立體幾何部分第1頁共23頁1981年~2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題分類匯編立體幾何部分2019A7、如圖，正方體的一個(gè)截面經(jīng)過頂點(diǎn)及棱上一點(diǎn)，且將正方體分成體積比為的兩部分，則的值為．◆答案：★解析：作圖延長交于點(diǎn),連接交于點(diǎn)，則截面為，由于面面，知為棱臺，則.不妨設(shè)正方體棱長為，則正方體體積為，結(jié)合條件知棱臺的體積為，設(shè)，則，由于所以，解得。所以.2019B4.設(shè)三棱錐滿足，，則該三棱錐的體積的最大值為．◆答案：★解析：設(shè)三棱錐的高為．取為棱的中點(diǎn)，則，當(dāng)平面垂直于平面時(shí)，取到最大值．此時(shí)三棱錐的體積取到最大值為。2018A2、設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)在平面上，使得直線與平面所成角不小于且不大于，則這樣的點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域的面積為◆答案：★解析：設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為，由條件知，即，所以區(qū)域的面積為。2018B2、已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面半徑長為，高為．在圓錐底面上取一點(diǎn)，使得直線與底面所成角不大于，則滿足條件的點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域的面積為◆答案：★解析:記圓錐的頂點(diǎn)在底面的投影為，則為底面中心，且，即，故所以區(qū)域的面積為。2017A5、正三棱錐中，，，過的平面將其體積平分，則棱與平面所成角的余弦值為◆答案：★解析：設(shè)的中點(diǎn)分別為，則平面即平面，則中線，則。又棱與平面的射影線是直線，而，所以，即為所求。2017B5、在正四面體中，分別在棱上，滿足，且與面平行，則的面積為．◆答案：★解析：由條件知，平行于，因?yàn)檎拿骟w的各個(gè)面是全等的正三角形，故，.由余弦定理得，，同理有.作等腰底邊上的高，則，故，于是.2016A5、設(shè)為圓錐曲線的頂點(diǎn)，，，是其地面圓周上的三點(diǎn)，滿足，為線段的中點(diǎn)。若，，，則二面角的大小為◆答案：★解析：由=90°知，AC為底面圓的直徑．設(shè)底面中心為O，則平面ABC，易知，進(jìn)而．設(shè)H為M在底面上的射影，則H為AO的中點(diǎn)．在底面中作于點(diǎn)K，則由三垂線定理知，從而為二面角M—BC—A的平面角．因，結(jié)合與平行知，，即，這樣．故二面角M—BC—A的大小為．2016B7、已知正四棱錐的高等于長度的一半，是側(cè)棱的中點(diǎn)，是側(cè)棱上點(diǎn)，滿足，則異面直線,所成角的余弦值為◆答案：★解析：如圖，以底面的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正向，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)此時(shí)高從而由條件知，因此設(shè)異面直線所成的角為，則2015B4、設(shè)正四棱柱的底面是單位正方形，如果二面角的大小為，則◆答案：★解析：取BD的中點(diǎn)O，連接OA,OA1,OC1．則∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，因此∠A1OC1=,又△OA1C1是等邊三角形．故A1O=A1C1=，所以．2014A5、正四棱錐中，側(cè)面是邊長為的正三角形，分別是邊的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離為◆答案：★解析：設(shè)底面對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作直線MN的垂線，交MN于點(diǎn)H。由于PO是底面的垂線，故PO⊥CH，又AC⊥CH，所以CH⊥平面POC，故CH⊥PC。因此CH是直線MN與PC的公垂線段，又，故異面直線MN與PC之間的距離是。2014B2、在如下圖所示的正方體中，二面角等于◆答案：（亦可以寫成等）★解析：設(shè)與的交點(diǎn)為，顯然，根據(jù)三垂線定理，與都垂直于，所以我們所求的角即為不妨設(shè)該正方體的棱長為，可以求得,,由余弦定理可得，故二面角等于。2013A4、已知正三棱錐的底面邊長為，高為，則其內(nèi)切球半徑為◆答案：★解析：如圖，設(shè)球心在面和面內(nèi)的射影分別是和，中點(diǎn)為，內(nèi)切球半徑為，則共線，共線，，且，，,,所以,解得2013B4、已知正三棱錐的底面邊長為1，高為，則其內(nèi)切球半徑是．◆答案：★解析：如圖，設(shè)球心在面和面內(nèi)的射影分別是和，中點(diǎn)為，內(nèi)切球半徑為，則共線，共線，，且，，,,所以,解得2012A5、設(shè)同底的兩個(gè)正三棱錐和內(nèi)接于同一個(gè)球.若正三棱錐的側(cè)面與底面所成角為，則正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的正切值為◆答案：★解析：如圖.連結(jié),則平面,垂足為正的中心,且過球心,連結(jié)并延長交于點(diǎn),則為的中點(diǎn),且,易知分別為正三棱錐的側(cè)面與底面所成二角的平面角,則,從而,因?yàn)樗约此?故2012B6、長方體中，,是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).若異面直線與所成的角為、距離為，則◆答案：★解析：如圖，取的中點(diǎn)，則，故為異面直線與所成的角，即。因?yàn)槊?，由三垂線定理得。又，所以，即。又面面，所以點(diǎn)到面的距離等于點(diǎn)到的距離。在中，，在點(diǎn)到的距離為，從而點(diǎn)到的距離為，所以。（本題還可以建立空間直角坐標(biāo)系來接）2011A6、在四面體中，已知,,,則在四面體的外接球的半徑為◆答案：★解析：設(shè)四面體的外接球球心為，則在過△的外心且垂直于平面的垂線上．由題設(shè)知，是正三角形，則點(diǎn)為的中心．設(shè)分別為的中點(diǎn)，則在上，且，．因?yàn)?，設(shè)與平面所成角為，可求得．在中，．由余弦定理得，故．四邊形的外接圓的直徑．故球的半徑．2010AB7、正三棱柱的條棱長相等，是的中點(diǎn)，二面角的平面角為，則◆答案：★解析：解法一：以所在直線為軸，線段中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正三棱柱的棱長為2，則，從而，.設(shè)分別與平面、平面垂直的向量是、，則，由此可設(shè)，所以，即.所以.解法二：如圖，.設(shè)與交于點(diǎn)則.從而平面.過在平面上作,垂足為.連結(jié),則為二面角的平面角.設(shè),則易求得.在直角中，,即.又..2008AB4、若三個(gè)棱長均為整數(shù)（單位：）的正方體的表面積之和為，則這三個(gè)正方體的體積之和為（）A.或B.C.或D.◆答案：A★解析：設(shè)這三個(gè)正方體的棱長分別為，則有，即。不妨設(shè)，從而，．故，只能取9、8、7、6．若，則，易知，，得一組解．若，則，．但，即，從而或5．若，則無解；若，則無解．因此c=8時(shí)無解．若，則，有唯一解，．若，則，此時(shí)，即。故，但，所以，此時(shí)無解．綜上，共有兩組解或，體積為（cm3）或（cm3）。2008AB12、一個(gè)半徑為的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長為的正四面體容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動，則該小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積為◆答案：★解析：如圖1，考慮小球擠在一個(gè)角時(shí)的情況，記小球半徑為，作平面//平面，與小球相切于點(diǎn)，則球心為正四面體的中心，，垂足為的中心．因，故，從而．記此時(shí)小球與面的切點(diǎn)為，連接，則．考慮小球與正四面體的一個(gè)面(不妨取為)相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，記為，如圖2．記正四面體的棱長為，過作于．因，有，故小三角形的邊長．小球與面不能接觸到的部分的面積為（如圖2中陰影部分）．又，，所以．由對稱性，且正四面體共4個(gè)面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為．2007*1、如圖，在正四棱錐中，，則二面角的平面角的余弦值為A.B.C.D.◆答案：B★解析：如圖，在側(cè)面PAB內(nèi)，作AM⊥PB，垂足為M。連結(jié)CM、AC，則∠AMC為二面角A?PB?C的平面角。不妨設(shè)AB=2，則，斜高為，故，由此得。在△AMC中，由余弦定理得。2007*9、已知正方體的棱長為，以頂點(diǎn)為球心，為半徑作一個(gè)球，則球面與正方體表面相交所得到的曲線的長等于◆答案：★解析：球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)所在的三個(gè)面上，即面、面和面上；另一類在不過頂點(diǎn)的三個(gè)面上，即面、面和面上。在面上，交線為弧且在過球心的大圓上，因?yàn)?，，則。同理，所以，故弧的長為，而這樣的弧共有三條。在面上，交線為弧且在距球心為的平面與球面相交所得的小圓上，此時(shí)，小圓的圓心為，半徑為，，所以弧的長為。這樣的弧也有三條。于是，所得的曲線長為。2006*4、在直三棱柱，，。已知與分別為和的中點(diǎn)，和分別為線段和上的動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）。若，則線段的長度的取值范圍為A.B.C.D.◆答案：A★解析：建立直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，則（），，，（）。所以，。因?yàn)?，所以，由此推出。又，，從而有?006*10、底面半徑為的圓柱形容器里放有四個(gè)半徑為的實(shí)心鐵球，四個(gè)球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切.現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注水◆答案：★解析：設(shè)四個(gè)實(shí)心鐵球的球心為，其中為下層兩球的球心，分別為四個(gè)球心在底面的射影。則ABCD是一個(gè)邊長為的正方形。所以注水高為。故應(yīng)注水＝。2005*4、如圖，正方體，任作平面與對角線，使得平面與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為，周長為，則A.為定值，不為定值B.不為定值，為定值C.為定值，為定值D.不為定值，不為定值◆答案：B★解析：將正方體切去兩個(gè)正三棱錐和后，得到一個(gè)以平行平面與為上下底面的幾何體，的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一邊平行，將的側(cè)面沿棱剪開，展平在一張平面上，得到一個(gè)平行四邊形,而多邊形的周界展開后便成為一條與平行的線段（如圖中）,顯然，故為定值。當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí)，多邊形為正六邊形，當(dāng)位于時(shí)，多邊形為正三角形，可以求得周長為定值時(shí)，它們的面積分別為與，即不為定值。2005*10、如圖，四面體的體積為，且滿足，，則◆答案：★解析：即又等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，這時(shí)面，.2004*6、頂點(diǎn)為的圓錐的軸截面是等腰三角形，為底面圓周上的點(diǎn)，是底面圓周內(nèi)的點(diǎn)，為底面圓心，，垂足為，，垂足為，且，為的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，的長為A.B.C.D.◆答案：D★解析：，得，得面，所以,面面．，得面，所以，，又，，所以面．即是三棱錐的高．．而的面積在時(shí)取得最大值．此時(shí)，，，得,又解：連線如圖，由C為PA中點(diǎn)，故，而()．記，，則，．又．所以．令知，當(dāng)，即時(shí)，取得最大，即三棱錐的體積取得最大時(shí)，所以。2004*9、如圖，正方體中，二面角的度數(shù)是◆答案：★解析：解：不妨設(shè)，作，，則，可得．所以．所以,代入數(shù)據(jù)可得，得2003*6、在四面體中，設(shè)，，直線與的距離為，夾角為，則四面體的體積等于A.B.C.D.◆答案：B★解析：如圖，把四面體補(bǔ)成平行六面體，則此平行六面體的體積為，而四面體的體積為．故選B．2003*11、將八個(gè)半徑都為的球分兩層放置在一個(gè)圓柱內(nèi)，并使得每個(gè)球和其相鄰的四個(gè)球相切，且與圓柱的一個(gè)底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于為◆答案：★解析：如圖，記是下層四個(gè)球的球心，是上層的四個(gè)球心．每個(gè)球心與其相切的球的球心距離為．在平面上的射影是一個(gè)正方形．是把正方形繞其中心旋轉(zhuǎn)而得．設(shè)的射影為，則,.故．所求圓柱的高為．2002*9、如圖，點(diǎn)分別是四面體頂點(diǎn)或棱的中點(diǎn)，那么在同一平面上的四點(diǎn)組（）有個(gè)?！舸鸢福骸锝馕觯菏紫?，在每個(gè)側(cè)面上除點(diǎn)外尚有五個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)組添加點(diǎn)后組成的四點(diǎn)組都在同一個(gè)平面，這樣三點(diǎn)組有個(gè)，三個(gè)側(cè)面共有個(gè)。其次，含的每條棱上三點(diǎn)組添加底面與它異面的那條棱上的中點(diǎn)組成的四點(diǎn)組也在一個(gè)平面上，這樣的四點(diǎn)組有個(gè)，∴共有個(gè)。2001*2、命題1：長方體中，必存在到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn);命題2：長方體中，必存在到各棱距離相等的點(diǎn);命題3：長方體中，必存在到各面距離相等的點(diǎn).以上三個(gè)命題中正確的有A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)◆答案：B★解析：可以借助長方體的外接球、與棱相切的球、與面相切球的存在與否判斷可得只有命題1對．2001*9、正方體的棱長為，則直線與的距離是◆答案：★解析：作正方體的截面，則面．設(shè)與交于點(diǎn)，在面內(nèi)作，為垂足，則為與的公垂線．顯然等于直角三角形斜邊上高的一半，即．2000*11、一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為，則這個(gè)球的體積是________.◆答案：★解析：取球心與任一棱的距離即為所求球的半徑．如圖，，，，，由．得，可得.1999*4、給定下列兩個(gè)關(guān)于異面直線的命題：

命題Ⅰ：若平面上的直線與平面上的直線為異面直線，直線是與的交線，那么，至多與,中的一條相交；命題Ⅱ：不存在這樣的無窮多條直線，它們中的任意兩條都是異面直線。那么，()A.命題Ⅰ正確，命題Ⅱ不正確B.命題Ⅱ正確，命題Ⅰ不正確

C.兩個(gè)命題都正確D.兩個(gè)命題都不正確◆答案：D★解析：作一個(gè)長方體，選定好直線和平面，即可判斷命題Ⅰ、命題Ⅱ均不正確。1999*12、已知三棱錐的底面是正三角形，點(diǎn)在側(cè)面上的射影是的垂心，二面角的平面角等于,。那么三棱錐的體積為__________．◆答案：★解析：由題設(shè)，⊥面.作⊥于.由三垂線定理可知，.故面.設(shè)在面內(nèi)射影為，則面.由三垂線定理之逆定理，可知于.同理，.故為的垂心.

又因?yàn)槭堑冗吶切?，故為的中心，從?

因?yàn)?，是在面上的射影，由三垂線定理，.所以，是二面角的平面角.故，又，.又，故.所以，.1998*5、設(shè)分別是正四面體的棱的中點(diǎn)，則的大小是()A.B.C.D.◆答案：D★解析：取中點(diǎn)，則，于是在平面上．設(shè)，，則分別為中點(diǎn)，且∵，得，,所以是二面角的平面角．設(shè)，則，．故選D．1998*12、在中，,,，是的中點(diǎn)，將沿折起，使兩點(diǎn)間的距離為，此時(shí)三棱錐的體積等于________.◆答案：★解析：由已知，得，，，由為等邊三角形，取中點(diǎn)，則，交于，則，，．折起后，由，知，.∴,于是．．又，得平面，即是三棱錐的高，,所以，。1997*2、如圖，正四面體中，在棱上，在棱上，使得，，記其中表示與所成的角，表示與所成的角，則（）A.在上單調(diào)增加B.在上單調(diào)減少C.在上單調(diào)增加，而在上單調(diào)減少D.在上為常數(shù)◆答案：D★解析：作交于，連，則，故．故，但，故．故為常數(shù)．選D．1997*6、如果空間三條直線兩兩成異面直線，那么與都相交的直線有（）A.條B.條C.多于的有限條D.無窮多條◆答案：D★解析：在上取三條線段，作一個(gè)平行六面體，在上取線段上一點(diǎn)，過作一個(gè)平面，與交于、與交于，則，于是不與平行，但與共面．故與相交．由于可以取無窮多個(gè)點(diǎn)．故選D．1997*10、已知三棱錐的底面是以為斜邊的等腰三角形，，，設(shè)四點(diǎn)均在以為球心的某個(gè)球面上，則點(diǎn)到平面的距離為．◆答案：★解析：，可得在面上的射影為中點(diǎn)，所以平面．所以上任意一點(diǎn)到的距離相等．又，在面內(nèi)作的垂直平分線與交于，則為的外接球球心．，∴，∴，即為與平面的距離．1996*6、高為的圓臺內(nèi)有一個(gè)半徑為的球,球心在圓臺的軸上.球與圓臺上底面、側(cè)面都相切.圓臺內(nèi)可再放入一個(gè)半徑為的球,使得球與球、圓臺的下底面及側(cè)面都只有一個(gè)公共點(diǎn),除球,圓臺內(nèi)最多還能放入半徑為的球的個(gè)數(shù)是_____________.A.B.C.D.◆答案：B★解析：與下底距離為，與距離為，與軸距離為，問題轉(zhuǎn)化為在以為半徑的圓周上，能放幾個(gè)距離為的點(diǎn)？右圖中，由，即，即此圓上還可再放下個(gè)滿足要求的點(diǎn)．故選B．1996*10、已知將給定的兩個(gè)全等的三棱錐的底面粘在一起,恰得到一個(gè)所有二面角都相等的六面體,并且該六面體的最短棱的長為,則最遠(yuǎn)的兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離是__________．◆答案：★解析：該六面體的棱只有兩種，設(shè)原正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱為．取中點(diǎn)，則，E，故是二面角的平面角．由，作平面棱交于，則為二面角的平面角．，，．由，得．∴，即，從而，．即最遠(yuǎn)的兩個(gè)頂點(diǎn)距離為．1995*6、設(shè)是正三棱錐底面三角形的中心，過的動平面與交于，與，的延長線分別交于，，則和式（）A.有最大值而無最小值B.有最小值而無最大值C.既有最大值又有最小值，兩者不等D.是一個(gè)與面無關(guān)的常數(shù)◆答案：D★解析：到面的距離相等．設(shè)，則．(其中為與各側(cè)面的距離)．又．(其中為與面的夾角)∴．∴為定值．故選D．1995*8、一個(gè)球的內(nèi)接圓錐的最大體積與這個(gè)球的體積之比為_______．◆答案：★解析：設(shè)球半徑為，其內(nèi)接圓錐的底半徑為，高為，作軸截面，則．，即所求比為．1994*5、在正棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是（）A.B.C.D.◆答案：A★解析：設(shè)相鄰兩側(cè)面所成的二面角為，易得大于正n邊形的一個(gè)內(nèi)角，當(dāng)棱錐的高趨于0時(shí)，趨于π，故選A．1994*11、已知一平面與一正方體的條棱的夾角都等于，則______◆答案：★解析：12條棱只有三個(gè)方向，故只要取如圖中與平面所成角即可．設(shè)，則，平面，被平面、三等分．于是．1993*13、（本題滿分20分）三棱錐中，側(cè)棱兩兩互相垂直，為三角形的重心，為的中點(diǎn)，作與平行的直線．證明：(1)與相交；(2)設(shè)與的交點(diǎn)為，則為三棱錐的外接球球心．★證明：⑴證明：∵，故共面．∴面，∵，即面，面．∵在面內(nèi)與相交，故直線與相交．⑵∵兩兩互相垂直，∴面，．∵，∴．，∵為的重心，∴．∴．取中點(diǎn)，連．則，所以平面四邊形是矩形．∴，由三線合一定理，知．同理，．即以為球心為半徑作球．則均在此球上．即為三棱錐的外接球球心．1992*3、設(shè)四面體四個(gè)面的面積分別為，它們的最大值為，記，則一定滿足()A.B.C.D.◆答案：A★解析：，故，又當(dāng)與最大面相對的頂點(diǎn)向此面無限接近時(shí)，接近，故選A．1992*9、從正方體的棱和各個(gè)面上的對角線中選出條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則的最大值是_____．◆答案：★解析：正方體共有8個(gè)頂點(diǎn)，若選出的條線兩兩異面，則不能共頂點(diǎn)，即至多可選出4條，又可以選出4條兩兩異面的線(如圖)，故所求的最大值為4．1992*14、(本題滿分20分)設(shè)是兩條異面直線，在上有三點(diǎn)，且，過分別作的垂線，垂足依次是，已知，，求與的距離．★解析：過作平面，作于，與確定平面，，．作，，垂足為，則，且與的距離．連，則由三垂線定理之逆，知都．，，．當(dāng)在同側(cè)時(shí):，所以，得．當(dāng)不全在同側(cè)時(shí)，所以．無實(shí)解．綜上，與距離為．1991*1．由一個(gè)正方體的三個(gè)頂點(diǎn)所能構(gòu)成的正三角形的個(gè)數(shù)為()A．B．C．D．◆答案：B★解析：每個(gè)正方形的頂點(diǎn)對應(yīng)著一個(gè)正三角形．故選B1991*13．設(shè)正三棱錐的高為，為的中點(diǎn)，過作與棱平行的平面，將三棱錐截為上、下兩部分，試求此兩部分的體積比．★解析：是中點(diǎn)，延長與交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，連，由于在平面內(nèi)，故延長與相交，設(shè)交點(diǎn)為．題中截面與面交于過的直線，分別在上．由于截面，∴．在面中，被直線截，故，但，，∴．∴，∴,所以．而截面分此三棱錐所成兩部分可看成是有頂點(diǎn)的兩個(gè)棱錐及．故二者體積比為．1990*15、設(shè)棱錐的底面為正方形，且，，如果的面積為，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑?！锝馕觯喝≈悬c(diǎn)，則，，，所以平面，∴平面⊥平面．∴平面．∴平面平面．∵，故平面，∴平面⊥平面．∵，，∴平面，∴平面⊥平面．設(shè)，則，．取的內(nèi)切圓圓心，作、，，由于平面與平面、、均垂直，則分別與平面、、垂直．從而以此內(nèi)切圓半徑為半徑的球與平面、、都相切，設(shè)此球的半徑為，則∴．等號當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立．作，由于，故平面，故球心與平面的距離為，當(dāng)，，，．∵，∴，．即與平面的距離，同理與平面的距離．故球是放入此棱錐的最大球．∴所求的最大球半徑為．1989*4.以長方體個(gè)頂點(diǎn)中任意個(gè)為頂點(diǎn)的所有三角形中，銳角三角形的個(gè)數(shù)為（）A.B.C.D.◆答案：C★解析：以不相鄰的4個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的8個(gè)面都是銳角三角形．其余的三角形都不是銳角三角形．選C．1989*14．(本題滿分20分)已知正三棱錐的高，底面邊長為，過點(diǎn)向其所對側(cè)面作垂線，垂足為O，在上取一點(diǎn)，使，求經(jīng)過點(diǎn)且平行于底面的截面的面積．★解析：正三棱錐S—ABC的高為SO，故AO⊥BC，設(shè)AO交BC于E，連SE．則可證BC⊥面AES．故面AES⊥面SBC．由AO⊥面SBC于O，則AO在面AES內(nèi)，O在SE上．AO與SO相交于點(diǎn)F．∵ABC為正三角形，AB=6，故AE=3eq\r(3)，OE=eq\r(3)．∵SO=3，∴tan∠OES=eq\r(3)，∠E=60°．∴OE=AEcos60°=eq\f(3,2)eq\r(3)．作OG⊥平面ABC，則垂足G在AE上．OG=OEsin60°=eq\f(9,4)．∵eq\f(AP,PO)=8，∴eq\f(PH,OG)=eq\f(8,9)，PH=2．設(shè)過P與底面平行的截面面積為s，截面與頂點(diǎn)S的距離=3－2=1．∴S△ABC=eq\f(\r(3),4)·62=9eq\r(3)．∴eq\f(s,SABC)=(eq\f(1,3))2，故s=eq\r(3)．1988*10、（本題滿分15分）長為，寬為的矩形，以它的一條對角線所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，求得到的旋轉(zhuǎn)體的體積?！锝馕觯哼^軸所在對角線中點(diǎn)作交邊、于，作于，則旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)有公共底面的圓錐，底面半徑．其體積．同樣，旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為．其重疊部分也是兩個(gè)圓錐，由，，．∴其體積為．∴所求體積為．1987*8.現(xiàn)有邊長為的三角形兩個(gè)，邊長為的三角形四個(gè)，邊長為的三角形六個(gè)，用上述三角形為面，可以拼成個(gè)四面體．(江西供題)[來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)]◆答案：★解析：用四個(gè)三角形拼成四面體，每種邊長至少要在兩個(gè)三角形中出現(xiàn)．因此以上三種三角形如果要用，就用偶數(shù)個(gè)．由于第①類邊長為的三角形與第②類邊長為的三角形都是直角三角形，而第③類邊長為的三角形為鈍角三角形．因此，用個(gè)后兩種三角形都不能單獨(dú)拼成四面體(四個(gè)面全等的四面體是等腰四面體，其各面都是銳角三角形)．情況⑴：4個(gè)三角形中有兩個(gè)②類三角形，如圖，取兩個(gè)②類三角形，，則斜邊上的高．且，則．于是(*)若再取兩個(gè)①類三角形時(shí)，由于，滿足(*)式，故可以構(gòu)成四面體．若再取兩個(gè)③類三角形時(shí)，由于，不滿足(*)式，故不可以構(gòu)成四面體．情況⑵：兩個(gè)①類，兩個(gè)③類．此時(shí)取，，于是斜邊上的高．且，則．于是．由于，不滿足(*)式，故不可以構(gòu)成四面體．∴只能構(gòu)成1個(gè)四面體．1986*4、如果四面體的每一個(gè)免都不是等腰三角形，那么其長度不等的棱的條數(shù)最少為（）A.B.C.D.◆答案：A★解析：不妨取等腰四面體，其棱長至多2種長度．棱長少于3時(shí)，必出現(xiàn)等腰三角形．選A．1986*7、在底面半徑為的圓柱內(nèi)，有兩個(gè)半徑也為的球面，其球心距為，若作一平面與這二球面相切，且與圓柱面交成一個(gè)橢圓，則這個(gè)橢圓的長軸長與短軸長之和是．◆答案：★解析：易得，于是橢圓長軸為13，短軸為12．所求和為25．1985*2、為