北師大版必修第二冊3.2刻畫空間點線面位置關系的公理優(yōu)選作業(yè)

【優(yōu)質(zhì)】3.2刻畫空間點、線、面位置關系的公理-2優(yōu)選練習一．填空題1．為邊長為的正三角形所在平面外一點且，則到的距離為_____.2．在棱長為1的正方體中，和分別為和的中點，那么直線與所成角的余弦值______________.3．如圖，在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標是根據(jù)我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的趙爽弦圖設計的，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若正方形的面積為2，則線段的最大值為______.4．兩個平面將空間分成___________個部分.5．如圖，在正四棱柱中，，，則與所成角的余弦值為______.6．下列結(jié)論中，正確的序號是_____．①如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)兩條直線平行；②如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線與另一平面平行；③如果一個平面內(nèi)的一個銳角的兩邊分別平行于另一個平面內(nèi)的一個角的兩邊，那么這兩個平面平行；④如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．7．若異面直線，所成的角為，則過空間上任一點P可做不同的直線與，所成的角都是，可做直線有______條.8．已知正方體的棱長為2，平面過正方體的一個頂點，且與正方體每條棱所在直線所成的角相等，則該正方體在平面內(nèi)的正投影面積是__________.9．若有平面與，，，，，則下列命題中真命題的序號有________.（1）過點且垂直于的直線平行于；（2）過點且垂直于的平面垂直于；（3）過點且垂直于的直線在內(nèi)；（4）過點且垂直于的直線在內(nèi).10．在棱長為1的正方體中，點分別為線段．的中點，則點到平面的距離為______.11．一個透明密閉的立方體容器，恰好盛有該容器一半容積的水任意轉(zhuǎn)動這一立方體，則水面在容器中的形狀可能是________.（從正方形，三角形，菱形，矩形，等腰梯形，正六邊形，正五邊形中選取正確的都填上）12．棱長相等的三棱錐的任意兩個面組成的二面角的余弦值是__．13．正四棱柱中,則與平面所成角的正弦值為____．14．在棱長為2的正方體中，，，分別是棱，，的中點，則過點，，的平面與底面所成的銳二面角的余弦值為________．15．如圖，在正方體中，分別是的中點，則異面直線與所成角的大小是_______.

參考答案與試題解析1．【答案】【解析】由條件可得是等邊三角形，然后可算出答案.詳解：因為，所以是等邊三角形所以到的距離為故答案為：【點睛】本題實質(zhì)上考查的是平面幾何的知識，較簡單.2．【答案】【解析】如圖，設AB,的中點分別為E,F,連接,證明為直線與所成角或補角，再利用余弦定理求解.詳解：如圖，設AB,的中點分別為E,F,連接.由題得,則為直線與所成角或補角.因為棱長為1，則，由余弦定理得，所以直線與所成角的余弦值為.故答案為：【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力．運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．3．【答案】（寫成也給分）【解析】由條件可知正方形的邊長為，且設，并表示直角三角形的直角邊長，，，再利用，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值.【詳解】正方形的面積為2，則邊長為，設，則，則，則，，當時，取得最大值.故答案為：（寫成也給分）4．【答案】3或4【解析】分兩個平面平行．兩個平面相交兩種情況討論即可得結(jié)果.【詳解】兩個平面平行時，將空間分成3部分；兩個平面相交時,將空間分成4部分，所以兩個平面將空間分成3或4部分，故答案為3或4.【點睛】本題主要考查平面的性質(zhì)，意在考查空間想象能力，屬于基礎題.5．【答案】【解析】把平移到，找出異面直線所成角，結(jié)合余弦定理可求結(jié)果.詳解：在正四棱柱中，易知，所以或其補角為與所成角，在中，，，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查異面直線所成角，平移法是常用方法，結(jié)合三角形中余弦定理是解題的關鍵，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).6．【答案】②③【解析】①中,兩個平面平行,故兩個平面內(nèi)的直線沒有公共點,可以平行或者異面;②中,兩個平面平行,則兩個平面沒有任何公共點,則一個平面內(nèi)的直線與另一個平面也沒有公共點;③中,一個平面內(nèi)的銳角由有公共頂點的射線組成,可視為兩條相交直線分別平行于另一個平面,由面面平行的判定定理可知正確;④中,如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行或相交.詳解：對于①,如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)兩條直線可以平行或異面,錯誤;對于②,如果兩個平面平行，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理,則其中一個平面內(nèi)的直線必與另一平面平行,正確;對于③,如果一個平面內(nèi)的一個銳角的兩邊分別平行于另一個平面內(nèi)的一個角的兩邊，而一個角的兩邊可以看做兩條相交直線,根據(jù)面面平行的判定定理,那么這兩個平面平行,正確;對于④,如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行或相交,錯誤;故答案為:②③【點睛】本題考查命題的真假判斷,考查立體幾何中空間點．線．面的位置關系,以及學生的空間想象能力,熟記公式和定理是解題的關鍵.7．【答案】3【解析】將異面直線，平移過點，此時確定一個平面，當時，有1條直線，當時，有2條直線滿足，得到答案.詳解：將異面直線，平移過點，此時確定一個平面，當時，有1條直線滿足所成的角為.當時，根據(jù)對稱性知有2條直線滿足所成的角為.故共有3條直線滿足條件.故答案為：.【點睛】本題考查了異面直線夾角，意在考查學生的空間想象能力.8．【答案】【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面角的定義，判斷出平面的位置情況，最后根據(jù)正投影的定義．菱形的面積公式進行求解即可.詳解：正方體中所有的棱是三組平行的棱，如圖所示：圖中的正三角形所在的平面或者與該平面平行的平面為平面，滿足與正方體每條棱所在直線所成的角相等，正三角形是平面截正方體所形成三角形截面中，截面面積最大者，正方體的棱長為2，所以正三角形的邊長為：，正方體中，三個面在平面的內(nèi)的正投影是三個全等的菱形，如下圖所示：可以看成兩個邊長為的等邊三角形，所以正方體在平面內(nèi)的正投影面積是：.故答案為；【點睛】本題考查了直線與平面所成的角的定義，考查了空間想象能力和數(shù)學運算能力.9．【答案】（1）（2）（3）【解析】由線面平行的判定定理判斷（1），由面面垂直的判定定理判斷（2），由面面垂直的性質(zhì)定理判斷（3），由線線的位置關系判斷（4）．詳解：（1）過點且垂直于的直線為，設在平面內(nèi)與交線垂直的直線為，因為，所以，所以，又，所以，所以，而，所以，（1）正確；（2）過點且垂直于的平面為，設，則，又，所以，所以，（2）正確；（3）過點且垂直于的直線為，在平面內(nèi)過作直線，因為，所以，又，且都過點，所以重合，所以．（3）正確；（4）（2）中平面內(nèi)過點的所有直線都與垂直，這些直線中只有一條在平面內(nèi)，其余直線都不在內(nèi)，（4）錯誤．故答案為：（1）（2）（3）．【點睛】本題考查空間線線垂直．線面垂直．面面垂直關系的判定，掌握面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理．線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理是解題基礎．10．【答案】【解析】先求出，再利用求出點A到平面EFC的距離得解.詳解：由題得所以,所以.設點到平面的距離為，則,所以，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查空間點到平面距離的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.11．【答案】正方形．菱形．矩形．正六邊形【解析】根據(jù)已知，任意轉(zhuǎn)動這個正方體，水面總是過正方體的中心，分別討論水面過一條棱，過對角線上的兩個頂點，過六條棱的中點，水面與底面平行等情況，即可得到答案.詳解：∵正方體容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉(zhuǎn)動，其水面總是過正方體的中心.故：正方體一面上相對兩邊的中點以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正方形，如圖；過正方體一面上一邊的中點和此邊外的頂點以及正方體的中心作一截面，其截面形狀為菱形，如圖；過正方體的一條棱和中心可作一截面，截面形狀為矩形，如圖；過正方體一面上相鄰兩邊的中點以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正六邊形，如圖；至于截面三角形，過正方體的中心不可能作出截面為三角形的圖形，故答案為：正方形．菱形．矩形．正六邊形【點睛】本題考查的知識點是棱柱的結(jié)構(gòu)特征，本題是一道以截面的概念．性質(zhì)和截面圖形的作法等基礎知識為依托，反映現(xiàn)實生活的一道綜合能力題.解答本題須具備較強的空間想圖．識圖．作圖能力.屬于中檔題.12．【答案】【解析】取中點，連結(jié)．，可得是二面角的平面角，再由余弦定理求解．詳解：如圖，三棱錐的棱長都相等，取中點，連結(jié)．，三棱錐各棱長均相等，即．均為等邊三角形，，，是二面角的平面角，設棱長，則，．即棱長相等的三棱錐的任意兩個面組成的二面角的余弦值是．故答案為：．【點睛】本題考查二面角的平面角的求法，熟練掌握正四面體的性質(zhì)．二面角的定義．余弦定理的應用是解答此題的關鍵，屬于中檔題．13．【答案】【解析】連接,則為與平面所成角，在中，考點：本小題主要考查直線與平面所成角的求法，考查學生的空間想象能力與運算求解能力.點評：求直線與平面所成的角，一般分為兩大步：（1）找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；（2）計算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解.14．【答案】.【解析】設正方體上．下底面的中心分別為，，連接，與交于點，連接，與交于點，連接，得到為平面與底面所成二面角的平面角，即可求解．詳解：過，，的平面與，，分別交于點，，，且，，分別為所在棱的中點，如圖所示，則平面與底面所成角的余弦值，即所求角的余弦值，設正方體上．下底面的中心分別為，，連接，與交于點，連接，與交