高數(shù)D綜合測試題2參考答案

高數(shù)D綜合測試題3參考答案一、填空題（每題2分，共20分）1.函數(shù)(解：的定義域?yàn)?)2.=.(解：)3.已知=，則a=.(解：)4.分段函數(shù)(解：是連續(xù)函數(shù)，則.)5．為函數(shù)的第一類（可去型）間斷點(diǎn).(解：)6.的水平漸近線是，垂直漸近線是．(解：)7．設(shè)，則.8．.(解：)9.廣義積分.(解：)10.根據(jù)自由落體運(yùn)動公式（位移單位：米，時(shí)間單位：秒），物體在秒時(shí)的瞬時(shí)速度等于到之間的平均速度．(解：到之間的平均速度為，瞬時(shí)速度由此可知)二、計(jì)算題（每題6分，共48分）1、求．解：＝＝．2.求不定積分.解：令，則，=3.求定積分.解：4.設(shè)，求解：方程兩邊分別對求導(dǎo)，得故由原方程可得，時(shí)，，將代入上式，即得5.已知，其中且二階可導(dǎo)，求，.解：，6．求的通解.解：7．求微分方程的通解.解：特征方程為特征根，齊次方程的通解為.8..解：三、證明題（每題5分，共10分）1.證明方程有且僅有一個(gè)實(shí)根．證明：設(shè)個(gè)，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理至少存在一只有一個(gè)實(shí)根．，使得．再由，知函數(shù)單增．故方程2.證明：當(dāng)時(shí)，有.證明：（法一）單調(diào)遞增，（法二）上利用拉格朗日中值定理可知至少使得即.四、應(yīng)用題1．（6分）對某工廠的上午班工人的工作效率的研究表明，一個(gè)中等水平的工人早上8時(shí)開始工作，在小時(shí)之后，生產(chǎn)出個(gè)產(chǎn)品．問：在早上幾點(diǎn)鐘這個(gè)工人工作效率最高？解：因?yàn)?,令,得．在又當(dāng)時(shí)，．函數(shù)在上單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)上單調(diào)減少．故當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大,即上午11時(shí)這個(gè)工人的工作效率最高．2.（9分）已知溫度為T的物體，在溫度為的環(huán)境中冷卻的速率與溫差成正比.某同學(xué)習(xí)慣喝50o的溫水,他將一杯100o的開水,放在20o的教室里,(1)求這杯水溫度的變化規(guī)律；(2)問過多長時(shí)間后水就可以喝了?解：(1)溫度變化滿足方程經(jīng)過分離變量,解得，由此得到溫度變化規(guī)律為.代入初值得到因此溫度變化規(guī)律是(2)令,則3.（7分）設(shè)曲線方程是，(1)求該曲線過點(diǎn)(1,2)的切線方程；(2)求上述切線與曲線及軸圍成的平面圖形的面積；(3