山西省呂梁市柳林縣部分學校2021-2022學年高二下學期期中數(shù)學試題

/15/15/第二學期高中新課程模塊期中考試試題（卷）高二數(shù)學（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.答案一律寫在答題卡上）—、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的，請將正確選項的字母標號在答題卡相應(yīng)位置涂黑.1.將4名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰，短道速滑，冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，志愿者小明不去花樣滑冰項目，則不同的分配方案共有（）A.12種 B.18種 C.24種 D.48種【答案】B【解析】【分析】先分析小明的分配方法，再將另外3名志愿者全排列，由分步乘法計數(shù)原理計算可得答案．詳解】志愿者小明不去花樣滑冰項目，則小明有3種分配方法，將另外3名志愿者分配剩下的3個項目，有種分配方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同的分配方案共有種．故選：B．2.的展開式中，的系數(shù)是（）A.10 B.40 C.60 D.80【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】的展開式的通項公式為，令，解得，所以的系數(shù)是.故選：D3.某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖：由此散點圖，在10°C至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)散點圖的分布可選擇合適的函數(shù)模型.【詳解】由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數(shù)函數(shù)的圖象附近，因此，最適合作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類型的是.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點圖的分布，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)是一個離散型隨機變量，其分布列為則等于（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分布列的知識列方程來求得.【詳解】依題意，，解得（大于，舍去）或.故選：C5.某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了次試驗，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)（如表），零件數(shù)個加工時間（min）由最小二乘法求得回歸直線方程由于后期沒有保存好，導致表中有一個數(shù)據(jù)模糊不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用回歸直線恒過，將代入直線方程，求得結(jié)果.【詳解】設(shè)模糊不清的數(shù)據(jù)為根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可得：，又，可得：解得：本題正確選項：【點睛】本題考查利用回歸直線求解實際數(shù)據(jù)點的問題，解決問題的關(guān)鍵是明確回歸直線恒過.6.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)隨機變量服從正態(tài)分布，求得其圖象的對稱軸，再根據(jù)曲線的對稱性，即可求解答案．【詳解】由題意，隨機變量服從正態(tài)分布，所以，即圖象的對稱軸為，又由，.故選：A．7.某鉛筆工廠有甲，乙兩個車間，甲車間的產(chǎn)量是乙車間產(chǎn)量的1.5倍，現(xiàn)在客戶定制生產(chǎn)同一種鉛筆產(chǎn)品，由甲，乙兩個車間負責生產(chǎn)，甲車間產(chǎn)品的次品率為10%，乙車間的產(chǎn)品次品率為5%，現(xiàn)在從這種鉛筆產(chǎn)品中任取一件，則取到次品的概率為（）A.0.08 B.0.06 C.0.04 D.0.02【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)產(chǎn)量計算抽到甲車間產(chǎn)品和乙車間產(chǎn)品的概率，再由次品率分別計算抽到甲車間次品和乙車間次品的概率，最后相加即可.【詳解】從這種鉛筆中任取一件抽到甲的概率為0.6，抽到乙的概率是0.4，抽到甲車間次品的概率P1＝0.6×0.1＝0.06，抽到乙車間次品的概率P2＝0.4×0.05＝0.02，任取一件抽到次品的概率P＝P1+P2＝0.06+0.02＝0.08．故選：A．8.已知隨機變量X，Y滿足，且，則（）A.2.4 B.3.4 C.4.2 D.4.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項分布的知識求得，然后求得，從而求得正確答案.【詳解】由題意，知隨機變量X服從二項分布，，，則，方差，又∵，∴，∴，∴.故選：D二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.9.已知隨機變量滿足，，下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的知識求得正確答案.【詳解】依題意，，，所以，.故選：BC10.卡塔爾足球世界杯比賽于2022年11月揭開戰(zhàn)幕，隨機詢問100人是否喜歡足球，得到如下的列聯(lián)表：喜歡足球不喜歡足球總計男351550女252550總計6040100參考公式（其中）常用小概率值和臨界值表：0.0500100.0053.8416.6357.879參照臨界值表，下列結(jié)論正確的是（）A.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，有95%的把握認為“喜歡足球與性別無關(guān)”B.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，有95%的把握認為“喜歡足球與性別有關(guān)”C.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為“喜歡足球與性別有關(guān)”D.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為“喜歡足球與性別無關(guān)”【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)條件求出的值，與所給的臨界值進行比較，判斷選項的正誤即可．【詳解】由題意可知，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，有95%的把握認為“喜歡足球與性別有關(guān)”，故A錯誤，B正確；，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為“喜歡足球與性別無關(guān)”，故C錯誤，D正確，故選：BD．11.已知10件產(chǎn)品中存在次品，從中抽取2件，記次品數(shù)為，，，則下列說法正確的是（）A.這10件產(chǎn)品的次品率為20% B.次品數(shù)為8件C. D.【答案】ACD【解析】【分析】假設(shè)次品為件，由求得次品及次品率，再分別求的，即可得出結(jié)果.【詳解】假設(shè)10件產(chǎn)品中存在次品為件，從中抽取2件，，則次品數(shù)為2件，B錯誤；這10件產(chǎn)品的次品率為，A正確；10件產(chǎn)品中存在2件次品，從中抽取2件，記次品數(shù)為，則的可能取值為0，1，2，；則，C正確；，D正確.故選：ACD.12.設(shè)是一個離散型隨機變量、其分布列為012若，則下列說法正確的是（）A.有最大值 B.有最大值C.無最小值 D.無最小值【答案】CD【解析】【分析】求得的表達式，結(jié)合函數(shù)的最值的知識求得正確答案.【詳解】，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，沒有最值，A選項錯誤，C選項正確.，對稱軸為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，沒有最值，B選項錯誤，D選項正確.故選：CD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)隨機變量服從二項分布，若，，則實數(shù)的值為__________.【答案】6【解析】【分析】結(jié)合二項分布的期望與方差公式，即可求解．詳解】由題意可得，，解得．故答案為：6．14.將4個1和2個0排成一行構(gòu)成整數(shù)，則2個0不相鄰的排法種數(shù)為____________（用數(shù)字作答）.【答案】6【解析】【分析】利用插空法求得正確答案.【詳解】先將個排好，得到個空位，由于不能排首位，所以在不是首位的個空位中選個排，所以個不相鄰的排法數(shù)有種.故答案為：15.設(shè)某大學的女生體重(單位：)與身高(單位：)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù),用最小二乘法建立的回歸方程為，那么針對某個體的殘差是___________．【答案】【解析】【分析】由題可計算出，殘差【詳解】由題可得，殘差，答案【點睛】本題考查殘差，解題的關(guān)鍵是用求殘差.16.將一個各面都涂了油漆的正方體切割為27個同樣大小的小正方體，經(jīng)過充分攪拌后，從中隨機取1個小正方體，記它的油漆面數(shù)為，則__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意得出的所有可能取值為，根據(jù)涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的小正方體的個數(shù)，計算取每個值時的概率，從而求出的值．【詳解】的所有可能取值為，涂3面油漆的小正方體有8個；涂2面油漆的小正方體有12個；涂1面油漆小正方體有6個；涂0面油漆的小正方體有1個；則，，，，所以．故答案為：2．四、解答題（本大題共6小題，共70分）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17已知，求：（1）；（2）；【答案】（1）-65；（2）-120.【解析】【分析】用賦值法：對于進行合理賦值，即可求解.【詳解】對于：令，則①；令，則②；令，則③；（1）②-①得：；（2）②-③得：，所以【點睛】利用賦值法求二項展開式中系數(shù)和，通常對于，令，則有；令，則有；令，則有.18.某校從學生文藝部6名成員（4男2女）中，挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動.（1）求男生甲被選中的概率；（2）在已知男生甲被選中的條件下，女生乙被選中的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應(yīng)用古典概型的概率求法，求男生甲被選中的概率；（2）利用條件概率公式求男生甲被選中的條件下女生乙被選中的概率.【詳解】記4名男生為，，，，2名女生為，，則從6名成員中挑選2名成員，有，，，，，，，，，，，，，，共15種情況.（1）記“男生甲被選中”為事件，不妨假設(shè)男生甲為，事件所包含的基本事件為，，，，，共有5個，∴.（2）記“男生甲被選中”為事件，“女生乙被選中”為事件，不妨設(shè)男生甲為，女生乙為，則.又由（1）知：，故.19.某公司舉行了一場羽毛球比賽，現(xiàn)有甲、乙兩人進行比賽，每局比賽必須分出勝負，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿8局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立．（1）求第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率；（2）設(shè)表示比賽停止時已比賽的局數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學期望為【解析】【分析】（1）要使第二局比賽結(jié)束時比賽停止，必是甲連勝2局成乙連勝2局，根據(jù)此結(jié)果求其概率即可；（2）X的所有可能取值為2，4，6，8，求出概率得到分布列，然后求期望即可.【小問1詳解】依題意，當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結(jié)束時比賽結(jié)束，記事件A是“第二局比賽結(jié)束時比賽停止”．則；【小問2詳解】依題意知，X的所有可能取值為2，4，6，8設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為，該輪結(jié)束時比賽繼續(xù)的概率為，即，，，；則隨機變量X的分布列為：X2468P則．20.某企業(yè)投資兩個新型項目，投資新型項目A的投資額m（單位：十萬元）與純利潤n（單位：萬元）的關(guān)系式為，投資新型項目B的投資額x（單位：十萬元）與純利潤y（單位：萬元）的散點圖如圖所示．（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）根據(jù)（1）中的回歸方程，若A，B兩個項目都投資60萬元，試預測哪個項目的收益更好?附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．【答案】（1）（2）可預測B項目的收益更好【解析】【分析】（1）利用散點圖讀取數(shù)據(jù)，并代入最小二乘估計的公式計算回歸方程；（2）利用以及線性回歸方程，分別把m＝6，x＝6代入，計算收益并比較．【小問1詳解】由散點圖可知，取1，2，3，4，5時，的值分別為2，3，5，7，8，所以，，，則，故y關(guān)于x的線性回歸方程為．【小問2詳解】因為投資新型項目A的投資額m（單位：十萬元）與純利潤n（單位：萬元）的關(guān)系式為，所以若A項目投資60萬元，則該企業(yè)所得純利潤為1.7×6－0.5＝9.7萬元；因為y關(guān)于x的線性回歸方程為，所以若B項目投資60萬元，則該企業(yè)所得純利潤的估計值為1.6×6＋0.2＝9.8萬元．因為9.8＞9.7，所以可預測B項目的收益更好．21.某體育彩票站點為了預估2022年彩民購買彩票的情況，對2021年的購買情況進行隨機調(diào)查并統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：購買金額/千元人數(shù)/人101520252010（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表；不少于6千元少于6千元合計男30女12合計（2）根據(jù)（1）中的2×2列聯(lián)表，判斷是否有90%的把握認為彩民的購買金額是否少于6千元與彩民的性別有關(guān)?附：，（其中）0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）表格見解析（2）沒有【解析】【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)填入即可；（2）根據(jù)公式計算出，即可查表得出答案.【小問1詳解】由所給數(shù)據(jù)可得2×2列聯(lián)表如下：不少于6千元少于6千元合計男183048女124052合計3070100【小問2詳解】根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因此根據(jù)臨界值表可知，沒有90%的把握認為彩民的購買金額是否少于6千元與彩民的性別有關(guān).22.已知某生產(chǎn)線的生產(chǎn)設(shè)備在正常運行的情況下，生產(chǎn)的零件尺寸（單位：）服從正態(tài)分布．（1）從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機抽取個，求至少有一個尺寸小于的概率；（2）為了保證生產(chǎn)線正常運行，需要對生產(chǎn)設(shè)備進行維護，包括日常維護和故障維修，假設(shè)該生產(chǎn)設(shè)備使用期限為四年，每一年為一個維護周期，每個周期內(nèi)日常維護費為元，若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運行，則不會產(chǎn)生故障維修費；若生產(chǎn)設(shè)備不能連續(xù)運行，則除了日常維護費外，還會產(chǎn)生一次故障維修費．已知故障維修費第一次為元，此后每增加一次則故障維修費增加元．假設(shè)每個維護周期互相獨立，每個周期內(nèi)設(shè)備不能連續(xù)運行的概率為．求該生產(chǎn)設(shè)備運行的四年內(nèi)生產(chǎn)維護費用總和的分布列與數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：若，則，，，．【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望