新教材人教B版必修第二冊6.1.1向量的概念學(xué)案

平面向量及其線性運(yùn)算6.向量的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解向量、零向量、向量模的意義.2.掌握向量的幾何表示，會用字母表示向量，用向量表示點的位置.3.了解平行向量、共線向量和相等向量的意義，并會判斷向量間共線(平行)、相等的關(guān)系．知識點一向量及其表示1．定義既有大小又有方向的量叫做向量．2．有向線段具有方向和長度的線段叫做有向線段．其方向是由起點指向終點，以A為起點、B為終點的有向線段記作eq\o(AB,\s\up6(→))，線段AB的長度也叫做有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))的長度，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.3．向量的長度|eq\o(AB,\s\up6(→))|(或|a|)表示向量eq\o(AB,\s\up6(→))(或a)的大小，即長度(也稱模)．4．向量的表示法(1)向量可以用有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．(2)向量也可以用加粗的斜體小寫字母如a，b，c，…來表示．知識點二向量的有關(guān)概念名稱定義表示方法零向量始點和終點相同的向量0單位向量模等于1的向量相等向量大小相等且方向相同的向量若a等于b，記作a＝b向量平行或共線兩個非零向量的方向相同或相反，則稱這兩個向量平行，兩個向量平行也稱為兩個向量共線a與b平行或共線，記作a∥b1．零向量沒有方向．(×)2．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度和向量eq\o(BA,\s\up6(→))的模相等．(√)3．單位向量都平行．(×)4．零向量與任意向量都平行．(√)一、向量的有關(guān)概念例1(1)下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1個B．2個C．3個D．4個答案D解析一個量是不是向量，就是看它是否同時具備向量的兩個要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向確定的，所以是向量；而質(zhì)量、路程、密度、功只有大小而沒有方向，所以不是向量．(2)(多選)下列命題為真命題的是()A．兩個向量，當(dāng)且僅當(dāng)它們的起點相同，終點相同時才相等B．若平面上所有單位向量的起點移到同一個點，則其終點在同一個圓上C．在菱形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))D．a(chǎn)＝b，b＝c，則a＝c答案BCD解析兩個向量相等只要模相等且方向相同即可，而與起點和終點的位置無關(guān)，故A不正確；單位向量的長度為1，當(dāng)所有單位向量的起點在同一點O時，終點都在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，故B正確；C，D顯然正確．反思感悟解決向量概念問題一定要緊扣定義，對單位向量與零向量要特別注意方向問題．跟蹤訓(xùn)練1(1)下列結(jié)論中正確的是()A．對任一向量a，|－a|>0總是成立的B．模為0的向量的方向是不確定的C．向量就是有向線段D．任意兩個單位向量的方向相同答案B解析若向量a為零向量，則|－0|＝0，故A錯誤；模為0的向量為零向量，零向量的方向是不確定的，B正確；有向線段是向量的幾何表示，是個圖形，而向量是帶方向的量，不是有向線段，C錯誤；任意兩個單位向量的長度相等，但方向不一定相同，D錯誤．(2)給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；②向量的模一定是正數(shù)；③起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；④向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點必在同一直線上．其中正確命題的序號是________．答案③解析①錯誤，由|a|＝|b|僅說明a與b模相等，但不能說明它們方向的關(guān)系；②錯誤，如|0|＝0；③正確，對于一個向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動的；④錯誤，共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))必須在同一直線上．二、向量的表示及其應(yīng)用例2在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))，使|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，點A在點O北偏東45°；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))，使|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，點B在點A正東；(3)eq\o(BC,\s\up6(→))，使|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝6，點C在點B北偏東30°.解(1)由于點A在點O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，小方格邊長為1，所以點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點A位置可以確定，畫出向量eq\o(OA,\s\up6(→))如圖所示．(2)由于點B在點A正東方向處，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，所以在坐標(biāo)紙上點B距點A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點B位置可以確定，畫出向量eq\o(AB,\s\up6(→))如圖所示．(3)由于點C在點B北偏東30°處，且|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝6，依據(jù)勾股定理可得在坐標(biāo)紙上點C距點B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為3eq\r(3)≈，于是點C位置可以確定，畫出向量eq\o(BC,\s\up6(→))如圖所示．反思感悟準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點．跟蹤訓(xùn)練2某人從A點出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點，然后改變方向按東北方向走了10eq\r(2)米到達(dá)C點，到達(dá)C點后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求eq\o(AD,\s\up6(→))的模．解(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，如圖所示．(2)由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq\r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq\r(52＋102)＝5eq\r(5)(米)，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝5eq\r(5)米．三、相等向量與共線向量例3如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c.(1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？(2)與a共線的向量有哪些？(3)請一一列出與a，b，c相等的向量．解(1)與a的長度相等、方向相反的向量有eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→)).(2)與a共線的向量有eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)).(3)與a相等的向量有eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))；與b相等的向量有eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EO,\s\up6(→))，eq\o(FA,\s\up6(→))；與c相等的向量有eq\o(FO,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→)).反思感悟?qū)ふ夜簿€向量或相等向量的方法(1)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量．(2)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形．(1)找出與向量eq\o(AB,\s\up6(→))共線的向量；(2)找出與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量．解(1)依據(jù)圖形可知eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同，eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))方向相反，所以與向量eq\o(AB,\s\up6(→))共線的向量為eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→)).(2)由四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形，知eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))長度相等且方向相同，所以與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量為eq\o(DC,\s\up6(→))和eq\o(ED,\s\up6(→)).1．下列結(jié)論正確的個數(shù)是()①溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；②向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；③若|a|<|b|，則a<b.A．0B．1C．2D．3答案B解析①溫度沒有方向，所以不是向量，故①錯；③向量不可以比較大小，故③錯；②若a，b中有一個為零向量，則a與b必共線，故a與b不共線，則應(yīng)均為非零向量，故②對．2．如圖所示，梯形ABCD為等腰梯形，則兩腰上的向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))的關(guān)系是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)) B．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|C.eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(DC,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))<eq\o(DC,\s\up6(→))答案B解析|eq\o(AB,\s\up6(→))|與|eq\o(DC,\s\up6(→))|表示等腰梯形兩腰的長度，故相等．3．如圖，在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則相等的向量是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→)) B.eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(DB,\s\up6(→)) D.eq\o(DO,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))答案D解析由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))知四邊形ABCD是平行四邊形．由平行四邊形的性質(zhì)知，|eq\o(DO,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|，且方向相同，所以eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).4．若向量a與任意向量b都平行，則a＝________；若|a|＝1，則向量a是________．答案0單位向量解析由于只有零向量與任意向量平行，故a＝0；由于|a|＝1，即向量a的長度為1，所以向量a是單位向量．5．如圖，△ABC和△A′B′C′是在各邊的eq\f(1,3)處相交的兩個全等的等邊三角形，設(shè)△ABC的邊長為a，圖中列出了長度均為eq\f(a,3)的若干個向量，則：(1)與向量eq\o(GH,\s\up6(→))相等的向量有____________________________________________________；(2)與向量eq\o(GH,\s\up6(→))共線，且模相等的向量有__________________________________________；(3)與向量eq\o(EA,\s\up6(→))共線，且模相等的向量有___________________________________________．答案(1)eq\o(LB′,\s\up6(→))，eq\o(HC,\s\up6(→))(2)eq\o(EC′,\s\up6(→))，eq\o(LE,\s\up6(→))，eq\o(LB′,\s\up6(→))，eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(HC,\s\up6(→))(3)eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(HA′,\s\up6(→))，eq\o(HK,\s\up6(→))，eq\o(KB′,\s\up6(→))解析向量相等?向量方向相同且模相等．向量共線?表示有向線段所在的直線平行或重合．1．知識清單：(1)向量的概念的辨析．(2)向量的相等與平行．(3)向量的表示方法．2．方法歸納：定義法、數(shù)形結(jié)合法．3．常見誤區(qū)：0的特殊性．共線向量不一定在一條直線上．1．(多選)給出下列命題，其中正確的命題為()A．若a＝b，則|a|＝|b|B．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則A，B，C，D是一個平行四邊形的四個頂點C．一個向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0D．若0∥a，0∥b，則a∥b答案AC解析對于A，a＝b說明兩向量大小相等，方向相同，故此命題正確；對于B，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，可得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，由于eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，A，B，C，D可能在同一條直線上，故此命題不正確；C正確；對于D，0與任意向量平行，故此命題不正確．2.如圖，在圓O中，向量eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))是()A．有相同起點的向量B．單位向量C．模相等的向量D．相等向量答案C解析由題圖可知三向量方向不同，但長度相等．3.如圖所示，D為平行四邊形ABPC兩條對角線的交點，則eq\f(|\o(PD,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C．1D．2答案C解析因為四邊形ABPC是平行四邊形，D為對角線BC與AP的交點，所以D為PA的中點，所以eq\f(|\o(PD,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)的值為1.4.如圖所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分別是AB，BC，AC的中點，則與向量eq\o(PQ,\s\up6(→))相等的向量是()A.eq\o(PR,\s\up6(→))與eq\o(QR,\s\up6(→)) B.eq\o(AR,\s\up6(→))與eq\o(RC,\s\up6(→))C.eq\o(RA,\s\up6(→))與eq\o(CR,\s\up6(→)) D.eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(QR,\s\up6(→))答案B解析向量相等要求模相等，方向相同，因此eq\o(AR,\s\up6(→))與eq\o(RC,\s\up6(→))都是和eq\o(PQ,\s\up6(→))相等的向量．5．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|且eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形狀為()A．正方形B．矩形C．菱形D．等腰梯形答案C解析由eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，知AB＝CD且AB∥CD，即四邊形ABCD為平行四邊形．又因為|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，所以四邊形ABCD為菱形．6．把同一平面內(nèi)所有模不小于1，不大于2的向量的始點移到同一點O，則這些向量的終點構(gòu)成的圖形的面積等于________．答案3π解析這些向量的終點構(gòu)成的圖形是一個圓環(huán)，其面積為π·22－π·12＝3π.7.設(shè)O為正六邊形ABCDEF的中心，在如圖所示標(biāo)出的向量中，與eq\o(FE,\s\up6(→))共線的向量有________．答案eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))解析根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，F(xiàn)E∥AO∥BC且共線向量可以同向也可以異向，故圖中與eq\o(FE,\s\up6(→))共線的向量為eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→)).8．已知在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，則|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝________.答案2eq\r(3)解析由題意知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，設(shè)AC與BD的交點為O，∴在Rt△ABO中，|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos30°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).9．一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100km到達(dá)B點，然后又改變方向，向北偏西40°的方向走了200km到達(dá)C點，最后又改變方向，向東行駛了100km到達(dá)D點．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up6(→))|.解(1)向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))如圖所示．(2)由題意，可知eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，∴在四邊形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝200km.10.如圖所示，已知四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))且eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))，求證：eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→)).證明因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且AB∥DC，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|且DA∥CB.又因為eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))的方向相同，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).同理可證，四邊形CNAM是平行四邊形，所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(NA,\s\up6(→)).因為|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|，|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝|eq\o(NA,\s\up6(→))|，所以|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DN,\s\up6(→))|.又eq\o(DN,\s\up6(→))與eq\o(MB,\s\up6(→))的方向相同，所以eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→)).11．下列結(jié)論中，正確的是()A．2021cm長的線段不可能表示單位向量B．若O是直線l上的一點，單位長度選定，則l上有且只有兩點A，B，使得eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))是單位向量C．方向為北偏西50°的向量與東偏南40°的向量不可能是平行向量D．一個人從點A向東走500米到達(dá)B點，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))不可能表示這個人從點A到點B的位移答案B解析一個單位長度取2021cm時，2021cm長的有向線段剛好表示單位向量，故A錯誤；方向為北偏西50°的向量與東偏南40°的向量是平行向量，故C錯誤；位移既有大小又有方向，可以用向量表示，故D錯誤．12.(多選)如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，則以下說法正確的是()A．與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有一個(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))B．與eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有9個(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))C．eq\o(BD,\s\up6(→))的模恰好為eq\o(DA,\s\up6(→))的模的eq\r(3)倍D．eq\o(CB,\s\up6(→))與eq\o(DA,\s\up6(→))不共線答案ABC解析與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有eq\o(DC,\s\up6(→))，故A說法正確；在菱形ABCD中，AC＝AB＝BC＝CD＝DA，每一條線段可得方向相反的兩個向量，它們的模都相等，故有5×2－1＝9(個)，故B說法正確；計算得DO＝eq\f(\r(3),2)DA，所以BD＝eq\r(3)DA，即|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(DA,\s\up6(→))|，故C說法正確；由AD∥BC知eq\o(CB,\s\up6(→))與eq\o(DA,\s\up6(→))共線，故D說法錯誤．13．給出下列四個條件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a與b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的條件是________．(填序號)答案①③④解析若a＝b，則a與b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，則a與b的大小相等，而方向不確定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a與b方向相反，則有a∥b；零向量與任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，則a∥b.14.如圖，O是正三角形ABC的中心，四邊形AOCD和AOBE均為平行四邊形，則與向量eq\o(AD,\s\up6(→))相等的向量為________；與向量eq\o(OA,\s\up6(→))共線的向量為________；與向量eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等的向量為________．(填圖中所畫出的向量)答案eq\o(OC,\s\up6(→))eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6