新教材高中數(shù)學第七章復數(shù).2.1復數(shù)的加減運算及其幾何意義課時素養(yǎng)檢測（含解析）新人教A版必修第二冊

/09/9/課時素養(yǎng)檢測十七復數(shù)的加、減運算及其幾何意義(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分,多選題全部選對得4分,選對但不全對的得2分,有選錯的得0分)1.(2020·濟寧高一檢測)已知復數(shù)z在復平面上對應的點為(-1,1),則()A.zB.z實數(shù) B.z+1是純虛數(shù)C.zD.z實數(shù) D.z+i是純虛數(shù)【解析】選B.由題意可得,z=-1+i,則z+1=i為純虛數(shù),z+i=-1+2i是虛數(shù),但不是純虛數(shù).2.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虛數(shù)單位),則a,b的值分別等于()A.3,-2 B.3,2D.-,-3 D.-1,4【解析】選A.因為(1+i)+(2-3i)=a+bi,所以3-2i=a+bi,所以a=3,b=-2.3.已知復數(shù)z1=1+2i,z2=3-4i,若z+z1=z2-z,則復數(shù)z=()A.1+3i B.1-3iC.2-6i D.3+4i【解析】選B.設z=a+bi,a,b∈R,由復數(shù)z1=1+2i,z2=3-4i,且z+z1=z2-z,得a+bi+1+2i=3-4i-(a+bi),得(a+1)+(b+2)i=(3-a)+(-4-b)i,所以a+1=3-a,b+2=-4-b,得a=1,b=-3,所以z=1-3i.【一題多解】選B.因為復數(shù)z1=1+2i,z2=3-4i,且z+z1=z2-z,所以2z=z2-z1=3-4i-(1+2i)=2-6i,所以z=1-3i.4.設z1=2+bi,z2=a+i,a,b∈R,當z1+z2=0時,復數(shù)a+bi為()D.-+i B.2+i C.3 D.-2-i【解析】選D.因為z1+z2=(2+bi)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i,且z1+z2=0,所以QUOTE解得QUOTE所以a+bi=-2-i.【補償訓練】在復平面內,復數(shù)1+i和1+3i分別對應向量和,其中O為坐標原點,則||=()A.QUOTEB.2C.QUOTED.4【解析】選B.由復數(shù)減法運算的幾何意義知,對應的復數(shù)為(1+3i)-(1+i)=2i,所以||=2.5.如圖,設向量,,所對應的復數(shù)為z1,z2,z3,那么()A.z1-z2-z3B.z B.z1+z2+z3=0C.z2-z1-z3=0 D.z1+z2-z3=0【解析】選D.由題圖可知,+=0,所以+-=0,所以z1+z2-z3=0.【補償訓練】復數(shù)z=x+yi(x,y∈R)滿足條件|z-4i|=|z+2|,則2x+4y的最小值為()A.2B.4C.4QUOTED.16【解析】選C.由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,所以2x+4y=2x+22y≥2QUOTE=2QUOTE=4QUOTE,當且僅當x=2y=QUOTE時,2x+4y取得最小值4QUOTE.6.(多選題)下列關于復數(shù)的敘述正確的是()A.兩個共軛復數(shù)的和是實數(shù)B.兩個共軛復數(shù)的差是虛數(shù)C.兩個共軛虛數(shù)的和是實數(shù)D.兩個共軛虛數(shù)的差是虛數(shù)【解析】選ACD.設復數(shù)z=a+bi,a,b∈R,則共軛復數(shù)QUOTE=a-bi,所以有z+QUOTE=2a∈R,z-QUOTE=2bi,當b=0時,z-QUOTE是實數(shù),當b≠0時,z-QUOTE是虛數(shù),A正確,B不正確.設虛數(shù)z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,則共軛虛數(shù)QUOTE=a-bi,所以有z+QUOTE=2a∈R,z-QUOTE=2bi是虛數(shù),C正確,D正確.二、填空題(每小題4分,共8分)7.計算(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)=________.?【解析】(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)=(1-2+3)+(-3+4+5)i=2+6i.答案:2+6i8.已知|z|=3,且z+3i是純虛數(shù),則z=________.?【解析】設z=a+bi,a,b∈R,由|z|=3,得a2+b2=9,且z+3i=a+(b+3)i是純虛數(shù),得a=0,b=±3,當z=-3i時,z+3i=0,不是純虛數(shù),所以z=3i.答案:3i【補償訓練】1.已知|z|=QUOTE,且z-2+4i為純虛數(shù),則z=________.?【解析】設復數(shù)z=x+yi(x,y∈R),則z-2+4i=(x-2)+(y+4)i.由題意知QUOTE所以QUOTE或QUOTE所以z=2±i.答案:2±i2.已知向量和向量對應的復數(shù)分別為3+4i和2-i,則向量對應的復數(shù)為__________.?【解析】因為=-,所以對應復數(shù)為(2-i)-(3+4i)=-1-5i.答案:-1-5i三、解答題(每小題14分,共28分)9.已知復數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i所對應的點分別為A,B,C.若=x+y,求x+y的值.【解析】由于復數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i所對應的點分別為A,B,C,所以=-1+2i,=1-i,=3-2i,因為=x+y,所以3-2i=x(-1+2i)+y(1-i),所以QUOTE解得QUOTE故x+y=5.10.已知z1=-3+i,z2=2+6i對應的向量分別為和,以OZ1,OZ2為鄰邊作平行四邊形OZ1CZ2.求向量,,對應的復數(shù).【解析】由復數(shù)加減法的幾何意義知,向量對應的復數(shù)為z1+z2=(-3+i)+(2+6i)=-1+7i,向量對應的復數(shù)z2-z1=(2+6i)-(-3+i)=5+5i;向量對應的復數(shù)z1-z2=-5-5i.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題4分,共16分,多選題全部選對得4分,選對但不全對的得2分,有選錯的得0分)1.已知復數(shù)z1=1+3i,z2=2-ai,(a∈R),若z1+z2的和所對應的點在實軸上,則a的值為()A.1 B.2 C.3 D.-3【解析】選C.由復數(shù)z1=1+3i,z2=2-ai,得z1+z2=3+(3-a)i,由于對應的點在實軸上,則a=3.2.在復平面上復數(shù)-3-2i,-4+5i,2+i所對應的點分別是A,B,C,則平行四邊形ABCD的對角線BD所對應的復數(shù)是()A.5-9i B.-5-3iC.7-11i D.-7+11i【解析】選C.在復平面上復數(shù)-3-2i,-4+5i,2+i所對應的點分別是A,B,C,則=(-3,-2),=(-4,5),=(2,1),所以平行四邊形ABCD的對角線BD滿足=+=(-)+(-)=(7,-11),所對應的復數(shù)是7-11i.3.(多選題)設z1,z2∈C,則下列關系正確的是()A.|z1+z2|>|z1|B.|z1-z2|<|z1|C.|z1+z2|≤|z1|+|z2|D.|z1-z2|≤|z1|+|z2|【解析】選CD.若z2=0時,|z1+z2|=|z1|,|z1-z2|=|z1|,故A,B不正確.設復數(shù)z1,z2對應平面向量,,當與不共線時,|+|<||+||,當與方向相同時,|+|=||+||,故|+|≤||+||,即|z1+z2|≤|z1|+|z2|,C正確.當與不共線時,|-|<||+||,當與方向相反時,|-|=||+||,故|-|≤||+||,即|z1-z2|≤|z1|+|z2|,D正確.4.復數(shù)z1=1+icosθ,z2=sinθ-i,則|z1-z2|的最大值為()A.3-2QUOTE B.QUOTE-1C.3+2QUOTE D.QUOTE+1【解析】選D.|z1-z2|=|(1+icosθ)-(sinθ-i)|=QUOTE=QUOTE=QUOTE≤QUOTE=QUOTE+1.二、填空題(每小題4分,共16分)5.復平面內三點A,B,C,點A對應的復數(shù)為3-4i,向量對應的復數(shù)為1+2i,向量對應的復數(shù)為3-2i,則點C對應的復數(shù)為________.?【解析】由點A對應的復數(shù)為3-4i,向量對應的復數(shù)為1+2i,向量對應復數(shù)為3-2i,得=+=+-=(3-4i)+(3-2i)-(1+2i)=5-8i,所以點C對應的復數(shù)為5-8i.答案:5-8i6.如果復數(shù)z滿足z+|z|=2-4i,則QUOTE=________.?【解析】設z=a+bi,a,b∈R,由z+|z|=2-4i,得a+bi+QUOTE=2-4i,得b=-4,a+QUOTE=2,所以a+QUOTE=2,QUOTE=2-a,兩邊平方,得a2+16=4-4a+a2,解得a=-3,所以z=-3-4i,QUOTE=-3+4i.答案:-3+4i7.已知復平面上△AOB的頂點A所對應的復數(shù)為1+2i,其重心G所對應的復數(shù)為1+i,則|+|=________.?【解析】復平面上△AOB的頂點A所對應的復數(shù)為1+2i,其重心G所對應的復數(shù)為1+i,設AB的中點為D,則=QUOTE,由向量加法的平行四邊形法則,得+=2=3=3+3i,故|+|=3QUOTE.答案:3QUOTE8.復平面內有A,B,C三點,點A對應的復數(shù)是3+i,向量對應的復數(shù)是-2-4i,向量對應的復數(shù)是-4-i,則B點對應的復數(shù)為________.?【解析】因為表示的復數(shù)是2+4i,表示的復數(shù)是4+i,所以=-=(4+i)-(2+4i)=2-3i,故=+=(3+i)+(2-3i)=5-2i,所以B點對應的復數(shù)為zB=5-2i.答案:5-2i三、解答題(共38分)9.(12分)已知復數(shù)z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i,(x,y∈R),設z=z1-z2=14-11i,求z1+z2.【解析】由z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),z=z1-z2=14-11i,得(5x-3y)+(x+4y)i=14-11i,所以QUOTE解得QUOTE所以z1=(3x+y)+(y-4x)i=-7i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i=-14+4i,z1+z2=-14-3i.10.(12分)已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=QUOTE,求|z1-z2|.【解析】方法一:設z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,d∈R,則z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,由|z1|2=|z2|2=1,|z1+z2|2=3,得a2+b2=1,①c2+d2=1,②(a+c)2+(b+d)2=3,③將①②代入③,得ac+bd=QUOTE.所以|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=1,所以|z1-z2|=1.方法二:由z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=QUOTE,根據(jù)復數(shù)與向量的對應關系以及平行四邊形法則可知,z1,z2,z1+z2所對應的點圍成菱形ABCD,如圖,在△ABC中,由余弦定理,得cos∠ABC=QUOTE=-QUOTE,所以∠ABC=120°,∠BAD=60°,所以△ABD是等邊三角形,所以=1,即QUOTE=1.11.(14分)在平行四邊形ABCD中,已知,對應的復數(shù)分別為z1=3+5i,z2=-1+2i.(1)求對應的復數(shù);(2)求對應的復數(shù);(3)求平