新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步3平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用練習(xí)（含解析）新人教B版必修第二冊

/05/5/平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用必備知識基礎(chǔ)練1.(多選題)若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足||=|-2|,則△ABC的形狀不可能是()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形答案AD解析設(shè)點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn),由題意可得||=||,|-2|=|2-2|=2||,據(jù)此結(jié)合題意可知CB=2AM,由三角形的性質(zhì)可知:△ABC的形狀是直角三角形.故選AD.2.已知△ABC滿足=k(其中k是非零常數(shù)),則△ABC的形狀一定是()A.正三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形答案C解析在△ABC中,=k(其中k是非零常數(shù)),∴=k(),∴+k=k,∴.又不共線,∴+k=k+=0,∴||=||,∴△ABC是等腰三角形.故選C.3.已知兩個(gè)力F1,F2的夾角為90°,它們的合力大小為10N,合力與F1的夾角為60°,則F2的大小為()A.5N B.5NC.10N D.5N答案A解析由題意可知,對應(yīng)向量如圖,∵α=60°,∴F2的大小為|F合|sin60°=10×=5(N).故選A.4.河水從東向西流,流速為2km/h,一艘船以2km/h垂直于水流方向向北橫渡,則船實(shí)際航行的速度的大小是km/h.?答案4解析由題意,如圖,表示水流速度,表示船在靜水中的速度,則表示船的實(shí)際速度,則||=2,||=2,∠AOB=90°,∴||=4.5.△ABC所在平面上一點(diǎn)P滿足=m(m>0,m為常數(shù)),若△ABP的面積為6,則△ABC的面積為.?答案12解析取AC的中點(diǎn)O,∵=m(m>0,m為常數(shù)),∴m=2,∴點(diǎn)C到直線AB的距離等于點(diǎn)P到直線AB的距離的2倍,∴S△ABC=2S△ABP=12.6.在靜水中劃船速度的大小是每分鐘40m,水流速度的大小是每分鐘20m,如果一小船從岸邊O處出發(fā),沿著垂直于水流的航線到達(dá)對岸,那么小船的行進(jìn)方向應(yīng)指向哪里?解如圖所示,設(shè)向量的長度和方向表示水流速度的大小和方向,向量的長度和方向表示船在靜水中速度的大小和方向,以為鄰邊作平行四邊形OACB,連接OC.依題意OC⊥OA,BC=OA=20,OB=40,∴∠BOC=30°.故船應(yīng)向上游(左)與河岸夾角為60°的方向行進(jìn).關(guān)鍵能力提升練7.已知O是平面上的一定點(diǎn),A,B,C是平面上共線的三個(gè)動點(diǎn),若動點(diǎn)P滿足+λ(),λ∈(0,+∞),則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的()A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心答案C解析由題意,得=λ(),即=λ(),根據(jù)平行四邊形法則,知是△ABC的中線AD(D為BC的中點(diǎn))所對應(yīng)向量的2倍,所以點(diǎn)P的軌跡必過△ABC的重心.8.已知等邊△ABC的邊長為4,P是△ABC內(nèi)(包括邊界)的一動點(diǎn),且(λ∈R),則||的最大值為()A.3 B. C.2 D.答案B解析以A為原點(diǎn),以AB所在的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.∵△ABC是邊長為4的等邊三角形,∴A(0,0),B(4,0),C(2,2).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則0≤x≤4,0≤y≤2.∵,∴(x,y)=(4,0)+λ(2,2)=,∴消去λ可得y=(x-3),①∴點(diǎn)P在直線y=(x-3)上.又由條件得直線BC的方程為:y=-(x-4),②由①②解得此時(shí)||最大,且最大值為||=,故選B.9.如圖,在長方形ABCD中,M,N分別為線段BC,CD的中點(diǎn),若=λ1+λ2,λ1,λ2∈R,則λ1+λ2的值為.?答案解析設(shè)AB=a,AD=b(a≠0,b≠0),以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立如圖所示坐標(biāo)系,則A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),M,N,則,即=λ1+λ2,則解得λ1=-,λ2=,則λ1+λ2=.10.如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E為AD的中點(diǎn),若=λ+μ,則λ=,μ=.?答案解析以D為原點(diǎn),DC邊所在直線為x軸,DA邊所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB=1,則D(0,0),C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴=(-2,2),=(-2,1),=(1,2).∵=λ+μ,∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),∴解得11.在△ABC中,點(diǎn)D和E分別在BC,AC上,且,AD與BE交于點(diǎn)R,證明:.證明由A,D,R三點(diǎn)共線,可得=λ+(1-λ)+(1-λ).由B、E、R三點(diǎn)共線,可得=μ+(1-μ)=μ(1-μ).∴,∴=.學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練12.如圖所示,O,A,B三點(diǎn)不共線,=2=3,BC,AD交于點(diǎn)E,設(shè)=a,=b.(1)試用a,b表示向量;(2)設(shè)線段AB,OE,CD的中點(diǎn)分別為L,M,N,試證明L,M,N三點(diǎn)共線.(