平面向量的綜合運用(培優(yōu))-教案

全名,高數(shù)必四優(yōu)學(xué),自寒假導(dǎo)題編授課主題授課類型

同步堂

第10---平向的合用戰(zhàn)練S歸總教學(xué)目標授課日期及時段

T

通過實例，掌握向量加、減法及數(shù)乘運算，并理解其幾何意義；了解平面向量的基本定理及其意義坐表示平面向量的加數(shù)運算；③理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，能夠利用坐標進行數(shù)量積運算；④利用數(shù)量積求解兩個向量的夾角問題?！秸n（Textbook-Based）一向的關(guān)念．向：既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小叫向量的(就是用來表示向量的有向線段的長)．向的示法1OAOBOAOB全名,高數(shù)必四優(yōu)學(xué),自寒假導(dǎo)題編ab（）母表示法：如等．（）何表示法：用一條有向線段表示向量．如

AB

，

等．（）標表示法：在平面直角坐標系中，設(shè)向量OA起點為在坐標原點，終點A坐標

，則

稱為

的坐標，記為

=

．．相向：長度相等且方向相同的向量可以自由平移前后的向量相等向

a

與

b

相等為

a

．．零量長度為零的向量叫零向量．零向量只有一個，其方向是任意的．．單向：長度等于個單的向量．單位向量有無數(shù)個，每一個方向都有一個單位向量．．共向：方向相同或相反的非零向量，叫共線向量．任一組共線向量都可以移到同一直線上．規(guī)定量共線．注：共線向量又稱為平行向量．．相向：長度相等且方向相反的向量．二向的算．運定

與任一向運

算

圖形語言

符號語言

坐標語言記

=(x，)，

=(x，y)+OB=OC

則OA+x，+y)加法與減法

OBOA

=

AB

OB

=(x-x，-y)+AB=OB2aaaaaabaaaaaabccbc//ba(0)ab全名,高數(shù)必四優(yōu)學(xué),自寒假導(dǎo)題編實數(shù)與向量的乘積

記則

=(x，y)

兩個向量的數(shù)量積

b

記則

,y),)122=x+yy．運律加法：①

(交換律；②

(a)b)

(結(jié)合律實數(shù)與向量的乘積：①②

)

兩個向量的數(shù)量積：①·=·；②)·=·)=·)③(+)·=·+·．運性及要論(1)平面向量基本定理：如果

e,

是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量，有且只有一對實數(shù)

1

2

，使

a1

，稱

22

為

e,

的線性組合．①其中

ee2

叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量

ee2

的方向分解為兩個向量的和且這種分解是唯一的．③當基底

e,

是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標系，因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標表示的基礎(chǔ)．向量坐標與點坐標的關(guān)系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即若A(xy)，則OA=(x，；向量起點不在原點時向量AB坐為終點坐標減去起點坐標，即若A(x，，B(x，)，則AB=(x-x，y-y)(2)兩個向量平行的充要條件符號語言：

坐標語言為：設(shè)非零向量

a12

∥

(xy)=

(x，)，或xy-xy=0．32a2aba全名,高數(shù)必四優(yōu)學(xué),自寒假導(dǎo)題編(3)兩個向量垂直的充要條件符號語言：

ba坐標語言：設(shè)非零向量

a12

2

，則

ay2(4)兩個向量數(shù)量積的重要性質(zhì)①

|

2

即|a

(求段的長度)；②

ba

(垂直的判斷；③

cos

(求角度)．考一平向的念例1、給出下列結(jié)論兩個單位向量是相等向量；若，，；③若一個向量的模為0

，則該向量的方向不確定；若，ab；若a與b共，共，則與c共.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.1個B.2個C.3D.4個【解析】兩個單位向量的模相等，但方向不一定相同，①錯誤；若，，，量相等具有傳遞性，②正確；一個向量的模為，該向量一定是零向量，方向不確定，③正確；若，a，還要方向相才行，④錯誤；與共線,錯誤未到用。b與共線，則與共線，當b為零向量時不成立，⑤錯.選B.考二平向的算則例、圖，在

中，設(shè)

，

，

的中點為

，

的中點為R

，

的中點為

，若

nb，mn對的值為（）111A，B．，C，D．，26

4全名,高數(shù)必四優(yōu)學(xué),自寒假導(dǎo)題編課狙

P

(Practice-Oriented)

實演．ABC是邊長為1的等三角形，已向量a,滿，ACa（）

，則下列結(jié)論正確的是A．

|b|

B．

C．

a

D．

1(ab4【解析】由已知，ABC的長為1，2,b因為，故選D.3

，以

，ACABBC，則

b

，．已知向量a，滿

，

b3)

，且

()，與b的夾角為（）A．

B．

．

120

D．

150【解析】設(shè)a與的角為，

1801,3,b，a

，a，

，解得cos

，故選C.．如果

1

，

e

2

是平面

內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的()①

12

面

內(nèi)的所有向量；②對于平面內(nèi)任一向量a，a=1

2

的實數(shù)對

有無窮多個；③若向量

112

與

212

共線，則有且只有一個實數(shù)

，使得

11122

；④若存在實數(shù)

，1

.A．①②B．②③C③④．②【解析】由平面向量基本定理可知，①④是正確的．對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下實數(shù)對是唯一的．對于③，當兩向量的系數(shù)均為零，即

112

時，這樣的有數(shù)個，故選B.5ABACabABACab全名,高數(shù)必四優(yōu)學(xué),自寒假導(dǎo)題編．如圖所示是ABC的邊AB上中點，則向量)A

B

1BC2C．

BC

D．

1BC2【解析】

CDBD

；故選A．已知非零向量與AC滿

AB

AB1，且，則ABC的狀為（）ABA.等邊三角形三邊均不相等的三角形C.等腰非等邊三角形D.角三角形【解析意

||

表示與

AB

AC同向的單位向量，|AC

表示與

同向的單位向量以

|

AC|AC|表示以與AB同的單位向量和與同向的單位向量為鄰邊的行四邊形的對角線，因為(

|

AC|AC|

)

,所以

AC

；由

1||2

可以得出

AB

與

夾角為

，所以

ABC

為等腰非等邊三角形故選C。．已知向量

ab(5,若|

不超過，則k取值范圍是_______．【解析】

)|a9

∴

k2

．故答案[-6，。．已ABC中，-1)，B(32)C(-3，，BC邊的為，求點D和向量AD坐標．【解析】用解方程組思想設(shè)，，則

AD

=(x-2，∵

BC

=(-6，-3)

，∴-6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0

①∵

BD

=(x-3，，

BC

，∴-6(y-2)=-3(x-3)，即

②由①②得：

，∴D(1，，AD=(-1，2)．求與向量

=

(3

，-1)

，

)夾角相等，且模為

的向量

的坐標．【解析】法一：設(shè)

c

b6a22yya22yy∵|a|=|b|=2；ab=0全名,高數(shù)必四優(yōu)學(xué),自寒假導(dǎo)題編∵

，∴

|a||c

|∴

3xyx3即又

2

3)，∴+y=2

①

②32由①②得

2或3

(舍)∴

3,)2

．法二：從分析形的特征著手∴△AOB為腰直角三角形，如圖∵||=，AOC=；∴C為AB中平面直角坐標中為標原點向

(

點

(8,0),B(,t(sin)(0

2

)(1)若

AB

且

|AB

5|OA|

，求向量

OB

；(2)若向量

AC

與向量

共線，當

時，且

取最大值為時，求

．【解析】

(1)AB(t),

ABt又

5|OB|5n3)2t2

，得

t

．或(2)sint)ACa向量共線，

tsin

tsin

16)sin

k32)24k

kk32，當時tsin最大值為47全名,高數(shù)必四優(yōu)學(xué),自寒假導(dǎo)題編由

32，k，時OCk6課反

．已知平行四邊形ABCD，

，

AB

=(-23)角線ACBD交于點

的坐標為()A(-

111，5)B(-，C．，D．(222

，【解析】

，7)，

AB

=(-2，，

ACABAD(1,10)

，則

11CO22

；故選B．已知向量ab

若(a)

，則

a

與

c

的夾角()AB．C．D【解析】

設(shè)與的夾

，∵

a(

，∴

(a)55

52

120

．故選。．ABC中∠C=90°，

k,1),

則k值是)A5B．

．

33D．22【解析】∠，

ABkAC

則

BC(2,2)

∵∠C=90°∴

AC)0k5

；故選A．已知

a

、

均為單位何量，它們的夾角為，那么

a

+3

)A

B

．

D．4【解析】已知、均單位何，它們的夾角為，那么

a

∴+3b=

aa

．故選C．已知向量≠，e|=1對任意t∈R，恒有-te|≥|a-，則(Aa⊥e

B⊥ae)．⊥(a-e)D．a(chǎn)＋)⊥(a-)8全名,高數(shù)必四優(yōu)學(xué),自寒假導(dǎo)題編【解析】已知向量

a

≠

，

|=1，對任意∈恒有

a

-t

|≥|

a

-

即|-t|≥|ae|

∴

t

a即

(24(20即（

a0a

故選。如圖所示，點P

在正六邊形

上按

B

的路徑運動，其中AB4，取值區(qū)間為____________【解析】設(shè)

BAP

，則APAP|||

|AP

而APcos

為線段AP在AB邊上的射影點P在段上運時|cos

的取值范圍為[0,4]在線段

上運動時，||cos

的取值范圍為[

；在線段

CD

上運動時，|cos

的取值范圍為[4,6]

；在線段DE

上運動時，AP|

的取值范圍為[0,4]

；在線段

上運動時，APcos

的取值范圍為[2,0]；線段F運動時，||cos

的取值范圍為[，以的取值區(qū)間為

．已知向量a，(x

，且

//

，則

．【解析】∵//，∴xx，2，x．121．如圖所示，在△OAB

中，OC

OA，ODOB

，

與

交于點M，OA，OB，以a、b

為基底表示.【解析】設(shè)

OMmab

，則

AMOMOA

，ADOD

.m因為，M，點共線，所以，即mn，而m

，9n40n40全名,高數(shù)必四優(yōu)學(xué),自寒假導(dǎo)題編CBOBa=a+

，因為C，，B三共線，以

1m114

，即

.由

mm

1m,7解得3n7所以O(shè)M

3b

.質(zhì)試題新標2文數(shù)】已知向量m,4)，=(3,-2)，且∥b則．【解析】因為a∥b所以解得

；試題天文數(shù)是長為等邊三角形DE分是邊,BC的點接

DE并延長到點，得EF

，則

的值為（）A

B

C．D．8【解析】設(shè)，，DEAC()，DFDE()

，53331AFADDFab，4444848

，故選．質(zhì)試題山文數(shù)】已知向量

ta，則實數(shù)t的值為________．【解析】

質(zhì)試題新標Ⅲ文數(shù)】已知向量

BA,

),

則

ABC

（）A．30

0

B

0

C．

0

D12010BM2BM2全名,高數(shù)必四優(yōu)學(xué),自寒假導(dǎo)題編【解析】由題意，得

ABC

12

，所以

，故選A質(zhì)試題四文科】已知正三角形ABC的長為rrPM，BM的最大值是()

23

，平面ABC內(nèi)動P，M滿

rAP

，49AB．【解析】甴已知易得

32C．D4ADC120DADC

．以

D

為原點，直線為x軸建平面直角坐標系，則

0

由已知AP得

，PMMCM,

BM,

4

它示圓

上

，max

14

4

，故選B質(zhì)題浙文數(shù)】已知平面向量，b，|=2a．若e為平面單位向量，ebe的大值是_____．【解析】由已知得

rr,

，不妨取

r(1,0)

，

r(1,

，設(shè)

re

，則rrrrabcossin

cos

sin

cossin

，取等號時cos

與同．所以

2co