矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型

關(guān)于矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型第1頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2.1矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型一.Cayley-Hamilton定理

第二章矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型凱萊[英]A.Cayley(1821.8-1895.1)哈密爾頓[英]W.R.Hamilton(1805.8-1865.9)約當(dāng)[法]M.E.C.Jordan(1838.1-1922.1)第2頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

矩陣的多項(xiàng)式表示定義：

已知和關(guān)于變量的多項(xiàng)式那么我們稱(chēng)為的矩陣多項(xiàng)式?；愣囗?xiàng)式第3頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

定理2.1.c()=|E–Ann|則c(A)=O.注:c(A)=|AE–A|?|E–Ann|=a11a12…a1n

a21

a22…a2n…………an1an2…ann=n+an1n1+…+a1+a0

=ntr(A)n1+…+(1)n|A|.

第4頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

c()=n

+an1n1+…+a1+a0

c(A)=An

+an1An1+…+a1A+a0E

c(A)=OAn

+an1An1+…+a1A=a0E

=A(An1

+an1An2+…+a1E)當(dāng)A可逆時(shí),a0=(1)n|A|0,

于是A1=1a0

(An1

+an1An2+…+a1E)A*=|A|A1=…第5頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五則c(A)=An+an-1An-1+…+a0E=0。對(duì)于一般的n階矩陣組成的集合，需要取出n2+1個(gè)才能保證是線性相關(guān)的。但是對(duì)于矩陣序列I,A,A2,A3…，按順序取到第n+1個(gè)時(shí)，An一定可以被前面的矩陣線性表出。則An=-an-1An-1-…-a0E第6頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

例1.已知A=122103112,求A100.解:c()=|E–A|=(+1)2(1).分別將

=1,1代入上式得10099=(100)1=a+b+c,設(shè)100=c()g()+a2+b+c,1=ab+c.=[c()g()+a2+b+c]=c()g()+c()g()+2a+b

將

=1代入上式得100=2a+b.于是可得a=50,b=0,c=49.第7頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

=50A249E

故A100=c(A)g(A)+50A249E

=50即100=c()g()+50249,30821420549

0004900049=199

040010012001000201.例1.已知A=122103112,求A100.第8頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

A=011010112①c()=|E–A|=(1)3滿足c(A)=O

②f()=(1)2=22+1滿足f(A)=O.c()的次數(shù)為3f()的次數(shù)為2③

不存在更低次數(shù)的多項(xiàng)式g()使得g(A)=O.

A的化零多項(xiàng)式次數(shù)最低,首項(xiàng)系數(shù)為1

例2.第9頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

二.最小多項(xiàng)式

1.定義:A的次數(shù)最低的最高次項(xiàng)系數(shù)為1的化零多項(xiàng)式稱(chēng)為A的最小多項(xiàng)式.2.性質(zhì):(1)A的最小多項(xiàng)式|A的任一化零多項(xiàng)式.(2)A的最小多項(xiàng)式是唯一的,記為mA()或簡(jiǎn)記為m().(3)則m(0)=0c(0)=0.(4)A~B

mA()=mB().

但反之未必!第10頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

11000100001000021100010000200002例如:與的最小多項(xiàng)式都是(1)2(2),但是它們的特征多項(xiàng)式分別為因而這兩個(gè)矩陣不相似.(1)3(2)和(1)2(2)2,第11頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五定理第12頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第13頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第14頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第15頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五定理第16頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第17頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第18頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例第19頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第20頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第21頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第22頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

推論.設(shè)A,B分別為sn矩陣和nt矩陣,則r(AB)r(A)+r(B)

n.引理.設(shè)A1,A2,…,As都是n階方陣,且A1A2

As=O,

…則r(Ai)(s1)n.i=1sr(A1A2

As)r(A1)+r(A2

As)n

………r(A1)+r(A2)+r(A3

As)2n

…r(A1)+r(A2)+…+r(As)(s1)n.三.最小多項(xiàng)式與對(duì)角化的關(guān)系

第23頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

定理3.A相似于對(duì)角矩陣mA()沒(méi)有重根.②對(duì)角陣的最小多項(xiàng)式?jīng)]有重根.因而r(iEA)(s1)n,i=1s證明:()①相似的矩陣的最小多項(xiàng)式相同;()設(shè)mA()=(1)(2)…(s),則(1EA)(2EA)…(sEA)=O,故[nr(iEA)]n.i=1s第24頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第25頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第26頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五定理：階矩陣可以對(duì)角化的充分必要條件是每一個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于其幾何重?cái)?shù)。

有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。綜合第27頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

例3.若n階方陣A滿足A2

3A+2E=O,r(AE)=r,則行列式|A+3E|=____.解:A2

3A+2E=O

(AE)(A2E)=O

存在可逆矩陣P使得P1AP=|A+3E|=|P1||A+3E||P|

Enr

O

O2Er

秩(AE)=r

=|P1(A+3E)P|=|P1AP

+3E|=4Enr

O

O5Er

=4nr5r.

第28頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

例4.求解矩陣方程X2

5X+6E=O,n階方陣X令r(A3E)=r,解:f(x)=x2

5x+6=(x3)(x2)為X的零化多項(xiàng)式存在可逆矩陣P使得P1XP=2ErO

O

3Enr由

X2

5X+6E=O

(A2E)(A3E)=O

f(x)=(x3)(x2)無(wú)重因式，故為最小多項(xiàng)式m(x)矩陣X的特征值為3和2，且X可以相似對(duì)角化2ErO

O

3EnrX=P

P1

第29頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

例5.設(shè)m階方陣J0為證明:J0特征多項(xiàng)式為

c()=(-a)m

a

a

a

…11a

…mm

…O

Em-1O

O證明:J0必不可以對(duì)角化。J0-aE

==NNk

不等于O，

Nm=O

第30頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

四.Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

0

0

0

…110

…mm

…m階Jordan塊:例如:(0)0100

010001000

注:0100

0110011010010

=一階Jordan塊是一階矩陣

第31頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

J1

J2

Js

…Jordan形矩陣:若當(dāng)塊例如:100020003010001000210020003110020003但不是Jordan形矩陣.第32頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五Jordan標(biāo)準(zhǔn)型定理5：設(shè)A是n階復(fù)矩陣，則必存在可逆矩陣S，使得其中l(wèi)1,…,ls是A的互不相同的特征值，而且這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型在除去對(duì)角塊順序后是唯一的。且第33頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

若A與Jordan形矩陣J相似,則稱(chēng)J為A的Jordan當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.注:J1

O

O

J2

O

E

E

O

O

E

E

O

1J2

O

O

J1

=推論.兩個(gè)復(fù)方陣相似它們具有相同的

Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.推論.兩個(gè)復(fù)方陣相似，特征值、秩？第34頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五Jordan矩陣的結(jié)構(gòu)與幾個(gè)結(jié)論:Jordan塊的個(gè)數(shù)k是線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù);矩陣可對(duì)角化,當(dāng)且僅當(dāng)s=n;(3)相應(yīng)于一個(gè)已知特征值

的Jordan塊的個(gè)數(shù)是該特征值的幾何重?cái)?shù)

,它是相應(yīng)的特征子空間的維數(shù),相應(yīng)于一個(gè)的所有Jordan塊的階數(shù)之和是該特征值的代數(shù)重?cái)?shù)

.特征值的幾何重?cái)?shù)<代數(shù)重?cái)?shù)(4)矩陣不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān).J的對(duì)角元素給出了特征值的信息。第35頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第36頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五推論：則下列命題等價(jià)：(3)A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中的Jordan塊都是一階的。第37頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五推論：階矩陣可以對(duì)角化的充分必要條件是每一個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于其幾何重?cái)?shù)。

有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。綜合：第38頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五1,2,…,s

A11,…,1q

,1線性無(wú)關(guān)11,…,1q

,21,…,2q

,

…,

s1,…,sq

線性無(wú)關(guān)12

s

2

線性無(wú)關(guān)21,…,2q

,

…,

s

線性無(wú)關(guān)s1,…,sq

相似矩陣P的求法第39頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五定理5：

l1,…,ls是n階復(fù)矩陣A的互不相同的特征值，且(1)則必存在可逆矩陣S，使得則下面是等價(jià)的第40頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

則V上必然存在一個(gè)線性變換T，使得亦即中必然存在一組基(個(gè))，使得T在這組基下的矩陣為第41頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五1,2,…,s

A11,…,1q

,1線性無(wú)關(guān)11,…,1q

,21,…,2q

,

…,

s1,…,sq

線性無(wú)關(guān)12

s

2

線性無(wú)關(guān)21,…,2q

,

…,

s

線性無(wú)關(guān)s1,…,sq

相似矩陣S的求法第42頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五五.Jordan標(biāo)準(zhǔn)型與最小多項(xiàng)式的關(guān)系設(shè)A是n階復(fù)矩陣，則必存在可逆矩陣S，使得其中l(wèi)1,…,ls是A的互不相同的特征值，且則A的最小多項(xiàng)式為：第43頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第44頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五六.Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的確定Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的兩個(gè)關(guān)鍵要素：Jordan塊的階數(shù)與塊數(shù)波爾曼定理:Jordan標(biāo)準(zhǔn)型唯一性原理第45頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例P82例2.3.6,2.3.7第46頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例已知矩陣A的特征多項(xiàng)式為求矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形第47頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五七、方陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的求法求可逆矩陣S和Jordan矩陣JA，使AS=SJA分析方法：在定理5的基礎(chǔ)上逆向分析矩陣JA

和S的構(gòu)成。求法與步驟：矩陣A和JA的特征值相等細(xì)分矩陣Pi和Ji，在Jordan塊上，有Jordan塊的確定按照波爾曼定理第48頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五Jordan鏈{，y2，…，ynj}特征向量廣義特征向量鏈條中的向量合起來(lái)構(gòu)成可逆矩陣S，Jordan塊構(gòu)成JA可逆矩陣S不唯一，JA不考慮次序是唯一的第49頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例6p772.3.3第50頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第51頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第52頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第53頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例9證明：若A的所有特征值是l1,…,ln，則Am的所有特征值是l1m,…,lnm。第54頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第55頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

例10.設(shè)A=.1a

a0a1+a

b

001(1)求A的特征值和所有可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.解:|E

A|=(1)3.由此可得A的特征值為1=2=3=1.因此A的所有可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形如下:100010001J1=,110010001J2=,110011001J3=.第56頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

例1