高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第43講立體幾何9的綜合問題

案例四棱錐ABCDE中底面BCDE為矩形側(cè)面ABC底面BCDE，BC2，CD 2ABAC設(shè)CE與平面ABE所成的角為45，求二面角CADE的證明線面垂直（CE平面ADFFBC中點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為證明線線垂直（AFCECEDF，用平幾三角法證得CEDFAFCE BC中點(diǎn)FDF交CE于點(diǎn)O∵ABAC，∴AFBCABCBCDEAF平面ABCAF平面BCDECE平面BCDEAFCE∵tanCED

,tanFDCCF1 22 2CEDFDC

OEDODE90，∴DOE90，即CEDFCE平面ADFCEAD作CHABHEHAF平面BCDEBEBCBE平面BCDECHBE（三垂線定理。又CHABABBEBCH平面ABE，則CEH為CEABECEABE所成的角為45CEH45CHCEsin45° 6 2 2在ABC中，∵BCAFABCH，即2AF 3AB∴sinABFAF

ABFABC60ABACBC22ACD內(nèi)過CAD的垂線，垂足為GCGAD,CEADAD平面CEGEGAD，則CGE為所求二面角的平面角。AF平面BCDEBCCDACCD（三垂線定理AC2AC22∴CGAC?CD2

，DG

CD2CGCD2CG6RtEGDEG

DE2DE2DGCG2GE2CE cosCGE 所以二面角CADE的余弦值為2：（）

10∵底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC底面BCDE，BC2，CD ∴如圖設(shè)置空間空間直角坐標(biāo)系OxyzB1,0,0,C1,0,0D

2,0E 2,0（）A0,0,tt0CE2,2,0

AD 2,t∵ADCE 2,t 2,0220ADCEADCE→→ ∵AB1,0,t,BE0,2,0→–––→

2,0 y00 → xtz x0,y0,z01,0,t→z01，則mt,0,1

CEABE所成的角為45m61t123

t 設(shè)平面ADE的法向量為n1x1,y1,z1，∵DE2,0,0,AE 2 3 → x,y,z ∴→ 解得 ∴取n10,3,2n1AE x1,y1,z1 2 3 2y1 3z1 設(shè)平面ACD的法向量為n2x2,y2,z2，∵DE2,0,0,AE 2 32 x,y,z 2,0 2 ∴→2

x,y,

解得x

3z∴取n23,0,1 2 3 cos→

→2222

n1n1所以二面角CADE的余弦值為

10試確定m，使直線AP與平面BDD1B1所成的角的正切值為 (2)段A1C1上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的m，D1Q 平面APD1上的射影垂直于AP，并證明你的結(jié)論 APD1Q答案：(1)m1；(2)Q在AC 1空間直角坐標(biāo) DA1,0,0,B1,1,0,C0,1,0

， P0,1,mm0,1AP1,1,m3設(shè)AP與平面BDD1B1所成的角為，則tan 3322AP∵cosAPAP

AP

sin 解得m10,13

設(shè)Qx',y',z'， 0,2 ∴x'1,y',z'11,1,0x'1∴y'z'1

∵D1QAP，∴D1QAP01,,01,1,m0解得

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2 且AB是圓O的直徑。當(dāng)點(diǎn)Cp AACCBBCC所成的角為0°90p 分析：(Ⅰ)要證面面垂直，只要證明線面垂直，只要證明線線垂直，由AA1ABCAA1BCAB是圓OBCACV三棱柱ABCAB ，p 1111

111答案：(Ⅰ)證明略；(Ⅱ)（i）；（ii） AA1ABCBCABCAA1BC∵AB是圓OBCACACAA1A所以平面A1ACC1B1BCC1。ABCAB

的體積為

Sh1ACBC2r11

∵AC2BC2AB24r2∴ACBC

AC2BC22r2211∴V三棱柱ABCABC2r3，當(dāng)且僅當(dāng)ACBC 11 V圓柱OOr22r2r3V三棱柱ABCAB

1 1∴p1

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，當(dāng)且僅當(dāng)ACBC 2r，即OCAB時(shí)等號(hào)成立1p的最大值是的空間直角坐標(biāo)系OxyzA0,r,0B0,r0,Cr0,0B10,r2rB1OC的法向量nx,yz，OC OC x,y,zr,0,0 rx由 得 x,y,z0,r,2r0,ry