求數(shù)列的通項(xiàng)公式方法總結(jié)

求數(shù)列的通項(xiàng)公式方法總結(jié)數(shù)列常見(jiàn)題型總結(jié)題型四：求數(shù)列的通項(xiàng)公式一.公式法：當(dāng)題中已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，在求其通項(xiàng)公式時(shí)我們就可以直接利用等差或等比數(shù)列的公式來(lái)求通項(xiàng)，只需求得首項(xiàng)及公差公比。二.當(dāng)題中告訴了數(shù)列任何前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的遞推關(guān)系即：n和aan-1的關(guān)系時(shí)我們可以根據(jù)具體情況采用下列方法

1、疊加法：一般地，對(duì)于型如an1anf(n)類的通項(xiàng)公式，且f

(1)f

(2)f(n)的和比較好求，我們可以采用此方法來(lái)求an。即：an(anan1)(an1an2)L(a2a1)a1(n2)；【例1】已知數(shù)列an11n1n1，求數(shù)列n滿足a,aan2na的通項(xiàng)公式。2解：(1)由題知：an1an1111n2nn(n1)nn1an(anan1)(an1an2)(a2-a1)a1(1111)(11131)(2n11)2n1nn22n

2、疊乘法：一般地對(duì)于形如“已知a1，且an1=f（n）（f（n）為可求積的數(shù)列）”的形式an可通過(guò)疊乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即：ananan1La2a1(n2)；an1an2a1【例2】在數(shù)列an中，a1=1,(n1)an1=na，求an的表達(dá)式。ann解：由(n1)an1=nan1n，得ann1an=a2a3a4an123n11所以an1a1an1=nnna1a2a3234

3、構(gòu)造法：當(dāng)數(shù)列前一項(xiàng)和后一項(xiàng)即an和an-1的遞推關(guān)系較為復(fù)雜時(shí)，我們往往對(duì)原數(shù)列的遞推關(guān)系進(jìn)行變形，重新構(gòu)造數(shù)列，使其變?yōu)槲覀儗W(xué)過(guò)的熟悉的數(shù)列（等比數(shù)列或等差數(shù)列）。具體有以下幾種常見(jiàn)方法。

(1)、待定系數(shù)法：、一般地對(duì)于an=kan-1m(k、m為常數(shù)）型，可化為的形式an=k(an-1.重新-1-數(shù)列常見(jiàn)題型總結(jié)構(gòu)造出一個(gè)以k為公比的等比數(shù)列，然后通過(guò)化簡(jiǎn)用待定系數(shù)法求，然后再求an。【例3】設(shè)b0,數(shù)列an滿足1=b，annban1(n2)aan12n

2.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；anban1，得nan12(n1)12n1解：2(n1)anban1an，nan1bb1設(shè)nbn，則bn2bn11(n2)，anbb當(dāng)b2時(shí)，bn是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，22即bn1(n1)11n，an2222當(dāng)b2時(shí)，設(shè)b2(b)，則b2b(2nbn1nbn1b令

(21)1，得1，bn12(bn121)(nbb2b2bbb知bn1是等比數(shù)列，bn1(b11)

(2)n1，又b12b2b2bbbn1(2)n112nbn，annbn(2b)2bb2b2bbn2nbn1)，2)，1，b、對(duì)于an1panf(n)(其中p為常數(shù))這種形式,一般我們討論兩種情況：、當(dāng)f(n)為一次多項(xiàng)式時(shí)，即數(shù)列的遞推關(guān)系為an1AanBnC型，可化為an11n2Aan1(n1)2的形式來(lái)求通項(xiàng)?！纠?】設(shè)數(shù)列an中，a11,an13an2n1，求an的通項(xiàng)公式。解：設(shè)an1A(n1)B3(anAnB)an13an2An2BA與原式比較系數(shù)得：2A2A1n1(n1)nn1)2BA1B即a13(a1令bnann1,則bn1=3bn且b1=a111=3bn是b1=3為首項(xiàng)，公比q=3的等比數(shù)列bn33n13n即:an3nn1-2-數(shù)列常見(jiàn)題型總結(jié)、當(dāng)f(n)為指數(shù)冪時(shí)，即數(shù)列遞推關(guān)系為an1AanBCn（A、B、C為常數(shù)，）型，可化為an1Cn1=A(anCn）的形式.構(gòu)造出一個(gè)新的等比數(shù)列，然后再求an當(dāng)A=C時(shí)，我們往往也會(huì)采取另一種方法，即左右兩邊同除以Cn1,重新構(gòu)造數(shù)列，來(lái)求an?！纠?】設(shè)a0為常數(shù)，且an3n12an1（nN_），證明：對(duì)任意n1，an13n

(1)2n

(1)n2na051解：證明：設(shè)ant3n2(an1t3n1)用an3n12an1代入可得t5an3n2，首項(xiàng)為a135是公比為的等比數(shù)列，5an3n(12a03)

(2)n1（nN_），55即：an3n

(1)n12n

(1)n2na05

(2)、倒數(shù)法：一般地形如anan

1、anan1an1an等形式的遞推數(shù)列可以用kan1b倒數(shù)法將其變形為我們熟悉的形式來(lái)求通項(xiàng)公式。【例6】.已知數(shù)列n1nan1，求an的通項(xiàng)公式。a滿足：a1,a3a11n解：原式兩邊取倒數(shù)得：13an1131設(shè)bn=1anan1an1則bn-bn-1=3,且b1=n是11為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列,1bb=d=2an13bn1(n1)33n2即an3n2pq

(3)、對(duì)數(shù)法：當(dāng)數(shù)列an和an-1的遞推關(guān)系涉及到高次時(shí)，形如：an=man-1（其中m、p、q為常數(shù)）等，我們一般采用對(duì)數(shù)法，等式兩邊分別取對(duì)數(shù)，進(jìn)行降次，再重新構(gòu)造數(shù)列進(jìn)行求解。-3-數(shù)列常見(jiàn)題型總結(jié)【例7】若數(shù)列an中，a1=3且an1an2（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是an=解由題意知an0，將an1an2兩邊取對(duì)數(shù)得lgan12lgan，即lgan12，所lgan以數(shù)列l(wèi)gan是以lga1=lg3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，lganlga2n1lg32n1，1即an32n

1.(4)、特征方程法、一般地對(duì)于形如已知a1m1,a2m2,n2=Aan1Ban(A、B是常數(shù)）的二a階遞推數(shù)列，我們可以采取兩種方法來(lái)求通項(xiàng)。法一：可用特征方程的方法求解：我們稱方程：_2-A_-B=0為數(shù)列的特征方程nn當(dāng)方程有兩個(gè)相異的實(shí)根（或虛根）p、q時(shí)，有：anc1pc212q，其中c與c由已知a1m1,a2m2,確定。當(dāng)方程有唯一的實(shí)根p時(shí)，有an(c1nc2)pn，其中c1與c2由已知a1m1,a2m2,確定。法二：可構(gòu)造成an2_an1_2(an1_an)，則an1_1an為等比數(shù)列，進(jìn)而求11通項(xiàng)公式，這種方法過(guò)程較為繁雜?！纠?】已知a1=2，a2=3，a22an1an，求通項(xiàng)公式。n解法一：特征方程的根為n12n1，所以a=(cnc)1c1c22得c1=c2=1，所以an=n1。由：32c1c2解法二：設(shè)an2_a1_2(an1_an)，可得_1=_2=1，于是an1an是公1n1比為1的等比數(shù)列，an1an=1，所以an=n1。、一般地形如：an1aanb（a、b、c、d為常數(shù)）cand可得到相應(yīng)的特征方程：_a_b，再將其變?yōu)閏_2(da)_b0，通過(guò)該方程的根c_d的情況來(lái)重新構(gòu)造數(shù)列。如果方程c_2(da)_b0有兩個(gè)相異的實(shí)根，則有數(shù)列anp是以a1p為anqa1q首項(xiàng)，acp為公比的等比數(shù)列；acq如果方程c_2(da)_b0有兩個(gè)相同的實(shí)根，則數(shù)列1是以1為首anpa1p-4-數(shù)列常見(jiàn)題型總結(jié)2c項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。【例9】已知數(shù)列an滿足a12,anan12(n2)，求數(shù)列an的通項(xiàng)an2an11解：其特征方程為2，化簡(jiǎn)得2_220得_11,_21，令2_1an11can1an11an1由a12,得a24，可得c1，53數(shù)列an1是以a111為首項(xiàng)，以1為公比的等比數(shù)列，an1a1133an111n13n

(1)n，anan1333n

(1)n

三、當(dāng)題中給出的是Sn和an的關(guān)系時(shí)，我們一般通過(guò)作差法結(jié)合nnn1這個(gè)通用a=SS公式對(duì)原等式進(jìn)行變形，消掉Sn得到an和an1的遞推關(guān)系，或消掉an得到Sn和Sn1的遞推關(guān)系，然后重新構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)公式?！纠?0】已知數(shù)列nn1n1n(nN_，a的前n項(xiàng)和為S，且滿足：aa(a0)，arSrR,r1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解：由已知an1rSn,可得an2rSn1，兩式相減可得an2an1r(Sn1Sn)ran1,即an2(r1)an1,又a2ra1ra,所以r=0時(shí)，數(shù)列an為：a，0，0，；當(dāng)r0,r1時(shí)，由已知a0,所以an0（nN_），于是由an2(ran2r1(nN)，1)an1,可得an1a2,a3,L,anL成等比數(shù)列，當(dāng)n2時(shí)，anr(r1)n2a.綜上，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anann1,r(r1)n2a,n2-5-數(shù)列常見(jiàn)題型總結(jié)【例11】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和滿足Sn1，且6Sn(an1)(an2),nN_求an的通項(xiàng)公式；解：由a1S11(a11)(a12)1111