角的平分線的性質(zhì)(提高)知識(shí)講解

角的平分線性質(zhì)（提高【習(xí)標(biāo)1．掌握角平分線的性質(zhì)，理解角形的三條角平分線的性質(zhì)．2．掌握角平分線的判定及角平線的畫(huà)法．3.熟運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題．【點(diǎn)理【清堂388612角平分的質(zhì)知要】要一角平線性角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相.要詮：用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的性質(zhì)定理：若CD平∠ADB，P是CD上點(diǎn)，且PE⊥AD于PF⊥于F，則＝PF.要二角平線判角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線.要詮：用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的判定：若PE⊥于點(diǎn)E，PF⊥于，PE＝PF則PD平∠ADB要三角平線尺作角平分線的尺規(guī)作圖（）O為心，適當(dāng)長(zhǎng)為半畫(huà)弧，交OA于，交OB于E.（）別以D、為心，大于（）射線OC.射線OC即所.要四三形平線性

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DE的長(zhǎng)半徑畫(huà)弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)叫三角形的內(nèi)心且這一點(diǎn)到三角形三第頁(yè)共頁(yè)

邊的距離相.三角形的一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一.這叫做三角形的旁.三角形有三個(gè)旁.所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共有4個(gè)如所示eq\o\ac(△,：)ABC的內(nèi)心為，旁心為1

,P,P24

，這四個(gè)點(diǎn)eq\o\ac(△,到)ABC三邊在直線距離相.【典例】類一角平線性及定1秋新區(qū)期末）如圖，在△中，∠ABC的平線與∠的角的平分線相交于點(diǎn)P，連接AP．（）證PA平∠的角∠CAM（）點(diǎn)C作CE⊥AP，是垂，并延長(zhǎng)CE交BM于點(diǎn)D．求證CE=ED．【路撥1過(guò)作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S⊥BA于Q，據(jù)角平線性質(zhì)求出，據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；（）據(jù)求△AED≌△AEC即．【案解】證明）P作PT⊥BC于T⊥AC于S，PQ于，如圖，∵在△ABC中，∠ABC的分線與∠ACB外角的平分線相交于點(diǎn)P，∴PQ=PT，PS=PT，∴PQ=PS，∴AP平分DAC，即PA平∠的角∠CAM；第頁(yè)共頁(yè)

（）平∠BAC的外角∠CAM，∴∠DAE=∠CAE，∵CE⊥AP，∴∠AED=∠AEC=90°，在△和AEC中∴△AED≌△AEC，∴CE=ED．【結(jié)華本題考查了角平分線性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線并進(jìn)一步求出PQ=PS和AED≌△AEC意角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．舉反：【變式】如圖，AD是∠的分線DE⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且DB＝求證：＝【案證明：∵⊥，⊥，AD是的平分線，∴DE＝，∠＝DFC＝90°在eq\o\ac(△,Rt)與eq\o\ac(△,Rt)CDF中，∴eq\o\ac(△,Rt)BDE≌Rt△CDF（）∴BE＝

DBDEDF

，第頁(yè)共頁(yè)

△△2、如圖，AD是ABC的平分線DF⊥AB垂足為F，DEDG，△和△的積分別為50和39，△的積為）A.11B.5.5C.7D.3.5【案B【析解：過(guò)D點(diǎn)DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的平分線，DF⊥，DH⊥AC∴DF＝在eq\o\ac(△,Rt)EDF和eq\o\ac(△,Rt)GDH中DE＝DG，＝∴Rt△EDF≌eq\o\ac(△,Rt)同理可證eq\o\ac(△,Rt)和ADH∴

eq\o\ac(△,S)

eq\o\ac(△,S)EDF

=

eq\o\ac(△,S)ADG

eq\o\ac(△,S)GDH∴

eq\o\ac(△,S)EDF

=

ADG

eq\o\ac(△,S)

＝50－＝，∴△的積為5.5【結(jié)華本題求△EDF面積不方便找底和高用等三角形可用已和△AED的面積來(lái)表示△EDF面.【清堂388612

角分的質(zhì)例63、如圖，，△PAC與的面積相等．求證OP平分AOB．【路撥觀察已知條件中提到的三角形與△，顯然與全等無(wú)關(guān)，而面積相等、底邊相等，于是自然想到可得兩三角形的高線相等，聯(lián)系到角平分線判定定理可.【案解】證明：作PM⊥于，⊥于N∵△

1ACPM，S2

，且

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)∴

1ACPM2第頁(yè)共頁(yè)

又∵AC＝∴PM＝又∵PM⊥，⊥∴OP平分AOB【結(jié)華跟三角形的高結(jié)合的題目有時(shí)候用面積會(huì)取得意想不到的效.類二角平線性綜應(yīng)4、如圖，P為△的角平分上任一求證PB＋PCAB＋AC.【路撥在BA的長(zhǎng)線上AD＝AC，證PADPAC從而將四條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)△PBD中，用三角形兩邊之和大于第三邊解決問(wèn).【案解】證明：①當(dāng)點(diǎn)P與A不合時(shí)，在延長(zhǎng)上取一點(diǎn)，使AD＝，接PD.∵為△的角平分線上一點(diǎn)，∴＝∠2∵在△PAD和△PAC中

∴△PAD≌△PAC（SASPD＝∵在△PBD中，PB＋＞，＝AB＋AD∴PB＋＞＋②當(dāng)點(diǎn)P與A重時(shí)，PB＋＝AB＋AC.綜上，＋≥＋【結(jié)華利用角平分線的對(duì)稱性，角兩邊取相同的線段，通過(guò)SAS）構(gòu)造全等三角形，從而把分散的線段集中到同一個(gè)三角形.舉反：【變式秋啟市校級(jí)期中）如圖，四邊形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，點(diǎn)D為BD的中點(diǎn)，且OA平分BAC．（）證OC平∠ACD；（）證：OA⊥OC；（）證AB+CD=AC．第頁(yè)共頁(yè)

【案證明）點(diǎn)O作OE⊥AC于E∵∠ABD=90゜OA平分BAC，∴OB=OE，∵點(diǎn)O為BD的點(diǎn)，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分ACD；（）Rt△ABO和eq\o\ac(△,Rt)AEO中，∴Rt△ABO