解密數(shù)學(xué)思維的內(nèi)核

解密數(shù)學(xué)思的內(nèi)核數(shù)學(xué)解的思維過(guò)程數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程是指從理解問(wèn)題開(kāi)始，經(jīng)過(guò)探索思路，轉(zhuǎn)換問(wèn)題直至解決問(wèn)題，進(jìn)行回顧全過(guò)程的思維活動(dòng)。對(duì)于數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程G.波亞提出了四個(gè)階（見(jiàn)附錄），即弄清問(wèn)題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。這四個(gè)階段思維過(guò)程的實(shí)質(zhì)，可以用下列八個(gè)字加以概括：理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思第一階段：理解問(wèn)題是解題思維活動(dòng)的開(kāi)始。第二階段：轉(zhuǎn)換問(wèn)題是解題思維活動(dòng)的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過(guò)程，思維策略的選擇和調(diào)整過(guò)程。第三階段：計(jì)劃實(shí)施是解決問(wèn)題過(guò)程的實(shí)現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的靈活運(yùn)用思維過(guò)程的具體表達(dá)，是解題思維活動(dòng)的重要組成部分。第四階段：反思問(wèn)題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要方面，是一個(gè)思維動(dòng)過(guò)程的結(jié)束包含另一個(gè)新的思維活動(dòng)過(guò)程的開(kāi)始。數(shù)學(xué)解的技巧為了使回想、聯(lián)想、猜想的方向更明確，思路更加活潑，進(jìn)一步提高探索的成效，我們必須掌一些解題的策略。一切解題的策略的基本出發(fā)點(diǎn)在于“變換”，即把面臨的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新，以通過(guò)對(duì)新題的考察，發(fā)現(xiàn)原題的解題思路，最終達(dá)到解決原題的目的?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，常用的解題策略有：熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、接化等。一、

熟悉化略所謂熟悉化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道以前沒(méi)有接觸過(guò)的陌生題目時(shí)，要設(shè)法把它化為曾解過(guò)的或比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或解題模式，順利地解出原題。一般說(shuō)來(lái)，對(duì)于題目的熟悉程度，取決于對(duì)題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)和理解。從結(jié)構(gòu)上來(lái)分析，任一道解答題，都包含條件和結(jié)論（或問(wèn)題）兩個(gè)方面。因此，要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題，可以在換題目的條件、結(jié)論（或問(wèn)題）以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫。常用的途徑有：（一）充分聯(lián)想回基本知和題型按照波利亞的觀點(diǎn)，在解決問(wèn)題之前，我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問(wèn)題相同或相似的知識(shí)點(diǎn)題1

型，充分利用相似問(wèn)題中的方式、方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問(wèn)題。（二）、全方位、多度分析意：對(duì)于同一道數(shù)學(xué)題，常常可以不同的側(cè)面、不同的角度去認(rèn)識(shí)。因此，根據(jù)自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)適時(shí)調(diào)整分析問(wèn)題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的解題方向。（三）當(dāng)構(gòu)造輔助素：數(shù)學(xué)中，同一素材的題目，常?？梢杂胁煌谋憩F(xiàn)形式；條件與結(jié)論（或問(wèn)題）之間，也存在多種聯(lián)系方式。因此，恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論（或條件與題）的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的，常見(jiàn)的有構(gòu)造圖形（點(diǎn)、線、面、體），構(gòu)造算，構(gòu)造多項(xiàng)式，構(gòu)造方程（組），構(gòu)造坐標(biāo)系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造行列式，構(gòu)造等價(jià)性命題，構(gòu)造例，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等等。二、簡(jiǎn)化策略所謂簡(jiǎn)單化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時(shí)，要設(shè)法把轉(zhuǎn)化為一或幾道比較簡(jiǎn)單、易于解答的新題，以便通過(guò)對(duì)新題的考察，啟迪解題思路，以簡(jiǎn)馭繁，解出原。簡(jiǎn)單化是熟悉化的補(bǔ)充和發(fā)揮。一般說(shuō)來(lái)，我們對(duì)于簡(jiǎn)單問(wèn)題往往比較熟悉或容易熟悉。因此，在實(shí)際解題時(shí)，這兩種策略常常是結(jié)合在一起進(jìn)行的，只是著眼點(diǎn)有所不同而已。解題中，實(shí)施簡(jiǎn)單化策略的途徑是多方面的，常用的有:尋求中間環(huán)節(jié)，分類考察討論，簡(jiǎn)化已條件，恰當(dāng)分解結(jié)論等。1尋求中間環(huán)，挖掘含條件：在些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡(jiǎn)單的基本題，經(jīng)過(guò)適當(dāng)組合去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。因此，從題目的因果關(guān)系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系系列題，是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的一條重要途徑。2分類考察討：在些數(shù)學(xué)題，解題的復(fù)雜性，主要在于它的條件、結(jié)論（或問(wèn)題）包含多種不易識(shí)別的可能情。對(duì)于這類問(wèn)題，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，把原題分解成一組并列的簡(jiǎn)單題，有助于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題單化。3簡(jiǎn)單化已知件：有些數(shù)學(xué)題，條件比較抽象、復(fù)雜，不太容易入手。這時(shí)，不妨簡(jiǎn)化題中某些已知條件，甚至?xí)r撇開(kāi)不顧，先考慮一個(gè)簡(jiǎn)化問(wèn)題。這樣簡(jiǎn)單化了的問(wèn)題，對(duì)于解答原題，常常能起到穿針引線作用。4恰當(dāng)分解結(jié)：有些問(wèn)題，解題的主要困難，來(lái)自結(jié)論的抽象概括，難以直接和條件聯(lián)系起來(lái)，這時(shí)，不妨猜一下，能否把結(jié)論分解為幾個(gè)比較簡(jiǎn)單的部分，以便各個(gè)擊破，解出原題。2

三、直化策略：所謂直觀化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道內(nèi)容抽象，不易捉摸的題目時(shí)，要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為象鮮明、直觀具體的問(wèn)題，以便憑借事物的形象把握題中所及的各對(duì)象之間的聯(lián)系，找到原題的題思路。（一）圖表直觀：有些數(shù)學(xué)題，內(nèi)容抽象，關(guān)系復(fù)雜，給理解題意增添了困難，常常會(huì)由于題目的抽象性和復(fù)雜，使正常的思維難以進(jìn)行到底。對(duì)于這類題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題意，有助于抽象內(nèi)容形象化，復(fù)雜關(guān)條理化，使思維有相對(duì)具體的依托，便于深入思考，發(fā)現(xiàn)解題線索。（二）圖形直觀：有些涉及數(shù)量關(guān)系的題目，用代數(shù)方法求解，道路崎嶇曲折，計(jì)算量偏大。這時(shí)，不妨借助圖直觀，給題中有關(guān)數(shù)量以恰當(dāng)?shù)膸缀畏治?，拓寬解題思路，找出簡(jiǎn)捷、合理的解題途徑。（三）圖象直觀：不少涉及數(shù)量關(guān)系的題目，與函數(shù)的圖象密切相關(guān)，靈活運(yùn)用圖象的直觀性，常常能以簡(jiǎn)馭繁獲取簡(jiǎn)便，巧妙的解法。四、特化策略所謂特殊化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道難以入手的一般性題目時(shí)，要注意從一般退到特殊先考察包含在一般情形里的某些比較簡(jiǎn)單的特殊問(wèn)題，以便從特殊問(wèn)題的研究中，拓寬解題思路發(fā)現(xiàn)解答原題的方向或途徑。五、一化策略所謂一般化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一個(gè)計(jì)算比較復(fù)雜或內(nèi)在聯(lián)系不甚明顯的特殊問(wèn)題時(shí)，設(shè)法把特殊問(wèn)題一般化，找出一個(gè)能夠揭示事物本質(zhì)屬性的一般情形的方法、技巧或結(jié)果，順利出原題。六、整化策略所謂整體化策略是我們面的是一道按常規(guī)思路進(jìn)行局部處理難以奏效或計(jì)算冗繁的題目時(shí)，要適時(shí)調(diào)整視角，把問(wèn)題作為一個(gè)有機(jī)整體，從整體入手，對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面、深刻的分析改造，以便從整體特性的研究中，找到解決問(wèn)題的途徑和辦法。七、間化策略所謂間接化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道從正面入手復(fù)雜繁難，或在特定場(chǎng)合甚至找不到解依據(jù)的題目時(shí)，要隨時(shí)改變思維方向，從結(jié)論（或問(wèn)題）的反面進(jìn)行思考，以便化難為易解出原。3

數(shù)學(xué)解題思過(guò)程數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程是指從理解問(wèn)題開(kāi)始，從經(jīng)過(guò)探索思路，轉(zhuǎn)換問(wèn)題直至解決問(wèn)題，進(jìn)行回顧的全過(guò)程的思維活動(dòng)。在數(shù)學(xué)，通?？蓪㈩}過(guò)程為四個(gè)階段第一階段是審題。包括認(rèn)清習(xí)題的條件和要求，深入分析條件中的各個(gè)元素，在復(fù)雜的記憶系中找出需要的知識(shí)信息，建立習(xí)題的條件、結(jié)論與知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，為解題作好知識(shí)上的備。第二階段是尋解途。有目的地進(jìn)行各種組合的試驗(yàn)，盡可能將習(xí)題化為已知類型，選擇最優(yōu)法，選擇解題方案，經(jīng)檢驗(yàn)后作修正，最后確定解題計(jì)劃。第三階段是實(shí)計(jì)。計(jì)劃的所有節(jié)實(shí)際地付諸實(shí)現(xiàn)，通過(guò)與已知條件所選擇的根據(jù)作對(duì)比后修正計(jì)劃，然后著手?jǐn)⑹鼋獯疬^(guò)程的方法，并且書寫解答與結(jié)果。第四階段是檢與結(jié)求得最終結(jié)果以后，檢查并分析結(jié)果。討實(shí)現(xiàn)解題的各種方法，研究特殊情況與局部情況，找出最重要的知識(shí)。將新知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)加以整理使之系統(tǒng)化。所以：第一階段的理解問(wèn)題是解題思維活動(dòng)的開(kāi)始。第二階段的轉(zhuǎn)換問(wèn)題是解題思維活動(dòng)的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過(guò)程，思維策略的選擇和調(diào)整過(guò)程。第三階段的計(jì)劃實(shí)施是解決問(wèn)題過(guò)程的實(shí)現(xiàn)包含著一系列基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過(guò)程的具體表達(dá)，是解題思維活動(dòng)的重要組成部分。第四階段的反思問(wèn)題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要方面，是一個(gè)思維動(dòng)過(guò)程的結(jié)束包含另一個(gè)新的思維活動(dòng)過(guò)程的開(kāi)始。通過(guò)以探索途徑來(lái)高解題力：（）研究問(wèn)題的條件時(shí)，在需與可能的情況下，可畫出相應(yīng)圖形或思路圖幫助思考。因?yàn)檫@意味著你對(duì)題的整個(gè)情境有了清晰的具體的了解。（）清晰地理解情境中的各個(gè)素定要弄清楚其中哪些元素是給定了的已知的哪些所求的，即未知的。（）深入地分析并思考習(xí)題敘中的每一個(gè)符號(hào)、術(shù)語(yǔ)的含義，從中找出習(xí)題的重要元素，要圖中標(biāo)出（用直觀符號(hào)）已知元素和未知元素，并試著改變一下題目中（或圖中）各元素的位置，看看否有重要發(fā)現(xiàn)。（）盡可能從整體上理解題目條件，找出它的特點(diǎn)，聯(lián)想以前是否遇到過(guò)類似題目。（）仔細(xì)考慮題意是否有其他同理解。題目的條件有無(wú)多余的、互相矛盾的內(nèi)容？是否還缺少條件？（）認(rèn)真研究題目提出的目標(biāo)通過(guò)目標(biāo)找出哪些理論的法則同題目或其他元素有聯(lián)系。4

（）如果在解題中發(fā)現(xiàn)有你熟的一般數(shù)學(xué)方法，就盡可能用這種方法的語(yǔ)言表示題的元素，以利于解題思路的展開(kāi)。以上途特別有利于始解題能迅速“登入室”找到解題的步點(diǎn)。制定計(jì)劃尋求解階段，最好用下面套探索方法（1）設(shè)法將題目與你會(huì)解的某一類題聯(lián)系起來(lái)或者盡可能找出你熟悉的最符合已知條件的解題方法。（2）記住題的目標(biāo)是尋求解答的主要方向在仔細(xì)分析目標(biāo)時(shí)即可嘗試能否用你熟悉的方法去解題。（3）解了幾步后可將所得的局部結(jié)果與問(wèn)題的條件結(jié)論作比較用這種辦法檢查解題途徑是否合理，以便及時(shí)進(jìn)行修正或調(diào)整。（4）嘗試能否局部地改變題目，換種方法敘述條件，故意簡(jiǎn)化題的條件（也就是編擬條件簡(jiǎn)化了的同類題）再求其解。再試試能否擴(kuò)大題目條件（編一個(gè)更一般的題目），并將與題有關(guān)的概念用它的定義加以替代。（5）分解條件，盡可能將分成部分重新組合，擴(kuò)大騍條件的理解。（6）嘗試將題分解成一串輔助問(wèn)題，依次解答這些輔助問(wèn)題即可構(gòu)成所給題目的解。（7）研究題的某些部分的極限情況，考察這樣會(huì)對(duì)基本目標(biāo)產(chǎn)生什么影響。（8）改變題的一部分，看對(duì)其他部分有何影響；依據(jù)上面的“影響”改變題的某些部分所出現(xiàn)的結(jié)果，嘗試能否對(duì)題的目標(biāo)作出一個(gè)“展望”。（9）萬(wàn)一用盡方法還是解不出來(lái)你就從課本中或科普數(shù)學(xué)小冊(cè)子中找一個(gè)同類題研究分析其現(xiàn)成答案，從中找出解題的有益啟示。*************************************************************附錄：波利亞給出了詳細(xì)的“怎樣解題”表，在這張表中啟發(fā)你找到解題途徑的一連串問(wèn)句與建議，來(lái)表示思維過(guò)程的正確搜索程序其解題思想的核心在于不斷地變換問(wèn)題連續(xù)地簡(jiǎn)化問(wèn)題，把數(shù)學(xué)解題看成為問(wèn)題化歸的過(guò)程，即最終歸結(jié)為熟悉的基本問(wèn)題加以解決。5

怎樣題G.波利

亞第：必弄問(wèn)弄問(wèn)：未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)件否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？把條件的各部分分開(kāi)。你能否把它們寫下來(lái)？第：出知與知之的系如找出接聯(lián)，你能得考輔問(wèn)，應(yīng)最終出個(gè)解計(jì)。擬計(jì)：你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？看著未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的問(wèn)題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了利用它，你是否應(yīng)該引入某輔助元素？你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的關(guān)問(wèn)題？一個(gè)更普遍的問(wèn)題？一個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類比的問(wèn)題？你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一分？?jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度？它會(huì)怎樣變化？你