幾種特殊類型行列式及其計(jì)算

PAGE目錄TOC\o"1-2"\h\z\u摘要 1引言 21行列式的定義及性質(zhì) 31.1定義 31.2性質(zhì) 32行列式的分類及其計(jì)算方法 42.1箭形（爪形）行列式 42.2兩三角型行列式 42.3兩條線型行列式 72.4Hessenberg型行列式 92.5三對(duì)角型行列式 102.6各行(列)元素和相等的行列式 112.7相鄰兩行(列)對(duì)應(yīng)元素相差的行列式 122.8范德蒙德型行列式 13結(jié)束語 14參考文獻(xiàn) 15致謝 16PAGE1幾種特殊類型行列式及其計(jì)算摘要：行列式的計(jì)算是一個(gè)普遍的難題.在一些文獻(xiàn)中我們已經(jīng)了解了一些解決它的基本方法，例如:化為上下三角形法，降階法，加邊法，拆項(xiàng)法，遞推法，數(shù)學(xué)歸納法.本文是對(duì)幾種特殊類型的行列式給以歸納，再根據(jù)不同類型給出相應(yīng)的計(jì)算方法.這使得絕大多數(shù)行列式能夠被歸為這其中的某一種，從而能快速簡潔的計(jì)算出這些行列式.關(guān)鍵詞：行列式;爪形;兩三角型;兩條線型;范德蒙德型SeveralSpecialTypesofDeterminantsandItsCalculationAbstract:Then-thdeterminantcalculationisacommondifficultproblemforstudents.Wehavealreadyknewsomewaysinsomedocumentstosolveit,forexample:themakingdefinition,changingintotriangle(upperandlow),decreasingthedegree,addingthemargin,splittingsomeitems,recursivealgorithmandinduction.Thisarticleaimstoconcludesomespecialkindsofdeterminantsfirstlyandthengivestherelevantcalculationmethods.Thatmademostofthedeterminantscanbeattributedtooneofthatkinds,thenitcanbecalculatedmorequicklyandpithily.KeyWords:Determinant;Claw;“Two-triangle”type;“Two-wire”type;“Vandermonde”type引言行列式不僅是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)習(xí)其它學(xué)科的基礎(chǔ)，成為很多學(xué)科和領(lǐng)域相當(dāng)重要的工具，例如在物理學(xué)、化學(xué)、運(yùn)籌學(xué)等探討最優(yōu)化方案時(shí)，正是因?yàn)槌晒Φ膽?yīng)用了行列式來解方程組，才使得問題簡單化了，由此可見行列式的計(jì)算是一個(gè)重要的問題，但同時(shí)它也是個(gè)比較復(fù)雜的問題，特別是高階行列式，是工程計(jì)算中不可或缺的一部分，所以有必要深入研究和歸納高級(jí)行列式的計(jì)算方法.對(duì)這一重要問題，很多文獻(xiàn)資料已經(jīng)做了一些討論，并給出了相應(yīng)的結(jié)論，如文獻(xiàn)[3]討論了行列式的基本計(jì)算方法和技巧，給出了“化零”和“降階”的基本思想，即先利用行列式的性質(zhì)做恒等變形化簡，使行列式中出現(xiàn)較多零元素，文獻(xiàn)[1][10]等具體概括了一些有相同規(guī)律的行列式的計(jì)算方法，如三線型行列式、兩三角型行列式、范德蒙德行列式等.文獻(xiàn)[2][9]等通過一些實(shí)例的研究，給出了一些重要方法如化三角形法、降階法、加邊法、遞推法、數(shù)學(xué)歸納法等.大部分行列式可以通過變換化為具有某種特點(diǎn)的行列式，進(jìn)而用相對(duì)簡便的方法進(jìn)行計(jì)算.本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，首先根據(jù)行列式的形態(tài)特征對(duì)行列式進(jìn)行分類，總結(jié)出幾種有某種特點(diǎn)的特殊行列式，再根據(jù)不同類型行列式的特點(diǎn)給出相應(yīng)的計(jì)算方法.這樣使高階行列式的計(jì)算得到進(jìn)一步的歸納總結(jié).具有一定的理論意義及應(yīng)用價(jià)值.1行列式的定義及性質(zhì)1.1定義級(jí)行列式等于所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積的代數(shù)和,這里是的一個(gè)排列,每一項(xiàng)都按下列規(guī)則帶有符號(hào):當(dāng)是偶排列時(shí),帶正號(hào)，當(dāng)是奇排列時(shí),帶有負(fù)號(hào).這一定義可寫成這里表示對(duì)所有級(jí)排列求和.1.2性質(zhì)性質(zhì)1.2.1行列互換,行列式的值不變.性質(zhì)1.2.2某行(列)的公因子可以提到行列式的符號(hào)外.性質(zhì)1.2.3如果某行(列)的所有元素都可以寫成兩項(xiàng)的和,則該行列式可以寫成兩行列式的和;這兩個(gè)行列式的這一行(列)的元素分別為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)加數(shù)之一,其余各行(列)與原行列式相同.性質(zhì)1.2.4兩行(列)對(duì)應(yīng)元素相同,行列式的值為零.性質(zhì)1.2.5兩行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例,行列式的值為零.性質(zhì)1.2.6某行(列)的倍數(shù)加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上,行列式的值不變.性質(zhì)1.2.7交換兩行(列)的位置,行列式的值變號(hào).2行列式的分類及其計(jì)算方法2.1箭形（爪形）行列式這類行列式的特征是除了第行(列)或第行(列)及主(次)對(duì)角線上元素外的其他元素均為零，對(duì)這類行列式可以直接利用行列式性質(zhì)將其化為上(下)三角形行列式來計(jì)算.即利用對(duì)角元素或次對(duì)角元素將一條邊消為零.計(jì)算階行列式.解將第一列減去第二列的倍，第三列的倍第n列的倍，得.2.2兩三角型行列式這類行列式的特征是對(duì)角線上方的元素都是,對(duì)角線下方的元素都是的行列式，初看，這一類型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由這類行列式變換而來，對(duì)這類行列式，當(dāng)時(shí)可以化為上面列舉的爪形來計(jì)算，當(dāng)時(shí)則用拆行(列)法來計(jì)算.例2計(jì)算行列式.解當(dāng)時(shí).將第行到第行都減去第行，則化為以上所述的爪形，即.用上述特征的方法，則有.當(dāng)時(shí)，用拆行(列)法，則.化簡得.而若一開始將拆為，則得.由，得.有一些行列式雖然不是兩三角型的行列式，但是可以通過適當(dāng)變換轉(zhuǎn)化成兩三角型行列式進(jìn)行計(jì)算.例3計(jì)算行列式.解將第一行，第一列，得.即化為上情形，計(jì)算得.而對(duì)于一些每行(列)上有公共因子但不能像上面一樣在保持行列式不變的基礎(chǔ)上提出公共因子的，則用升階法來簡化.例4計(jì)算行列式.解將行列式升階，得.將第行減去第一行的倍，得.這就化為了爪形，按上述特征的方法計(jì)算可得.2.3兩條線型行列式這類行列式的特征是除了主(次)對(duì)角線或與其相鄰的一條斜線所組成的任兩條線加四個(gè)頂點(diǎn)中的某個(gè)點(diǎn)外，其他元素都為零，這類行列式可直接展開降階，對(duì)兩條線中某一條線元素全為的，自然也直接展開降階計(jì)算.例5計(jì)算行列式.解按第一行展開可得.例6計(jì)算行列式.解方法1直接展開可得.則.方法2(拉普拉斯定理法)按第一行和第行展開得.其余的同法.2.4Hessenberg型行列式這類行列式的特征是除主(次)對(duì)角線及與其相鄰的斜線，再加上第或第行外，其他元素均為零，這類行列式都用累加消點(diǎn)法，即通常將第一行(列)元素化簡到只有一個(gè)非零元素，以便于這一行或列的展開降階計(jì)算.例7計(jì)算行列式.解將各列加到第一列得.按第一列展開得.2.5三對(duì)角型行列式形如的行列式，這類行列式的特征是除這三條斜線上元素外，其他元素均為零，這是一遞推結(jié)構(gòu)的行列式，所有主子式都有同樣的結(jié)構(gòu)，從而以最后一列展開，將所得的階行列式再展開即得遞推公式.對(duì)這類行列式用遞推法.例8計(jì)算行列式.解按第一列展開有解特征方程得.則.例9計(jì)算行列式.解按第一行展開得.解特征方程得.則.分別使得則.2.6各行(列)元素和相等的行列式這類行列式的特征是其所有行(列)對(duì)應(yīng)元素相加后相等，對(duì)這類行列式，將其所有行(列)加到第一行(列)或第行(列)，提取公因式后，再把每一行都減去第一行(列)，即可使行列式中出現(xiàn)大量的零元素.例10計(jì)算行列式.解將第行到第行都加到第行，得.2.7相鄰兩行(列)對(duì)應(yīng)元素相差的行列式這類行列式的特征是大部分以數(shù)字為元素且相鄰兩行(列)元素相差的行列式，對(duì)這類行列式，自第一行(列)開始，前行(列)減去后行(列)，或自第行(列)開始，后行(列)減去前行(列)，即可出現(xiàn)大量元素為或的行列式，再進(jìn)一步化簡即出現(xiàn)大量的零元素.若相鄰兩行(列)元素相差倍數(shù)，則前(后)行(列)減去后(前)行(列)的倍，可使行列式出現(xiàn)大量的零元素.例11計(jì)算行列式.解依次用前行減去后行，可得.現(xiàn)將第列加到第列至第列，得.例11計(jì)算階行列式.解這是相鄰兩行(列)相差倍數(shù)，可采用前行減去后行的倍的方法化簡得.2.8范德蒙德型行列式這類行列式的特征是有逐行(列)元素按方冪遞增或遞減，對(duì)這類行列式可以轉(zhuǎn)化為范德蒙德行列式來計(jì)算.例12計(jì)算行列式.解將第行提出，得.結(jié)束語實(shí)際上在行列式的計(jì)算中，不同題目可以有相同解法，相同題目可以有不同的方法，特別指出的是還有很多其他不宜歸納為某種特征的行列式，即可能是以上幾種的綜合變形，可能需要多種方法相結(jié)合來計(jì)算，這就需要在掌握以上基本行列式的基礎(chǔ)上認(rèn)真觀察，一步一步簡化所要計(jì)算的行列式，這里就不一一列舉了.參考文獻(xiàn)[1]胡適耕,劉先忠.高等代數(shù).定理.問題.方法[M].北京：科學(xué)出版社,2007,23-48.[2]張禾瑞,郝炳新.高等代數(shù)[M].高等教育出版社,1999,38-48.[3]王萼芳,石生明.高等代數(shù)（第三版）[M].高等教育出版社,2003,50-89.[4]徐仲,陸全等.高等代數(shù)考研教案[M].西北工業(yè)大學(xué)出版社,2007,45-86.[5]李曉琴