-新教材高中數(shù)學(xué)第六章統(tǒng)計(jì)章末復(fù)習(xí)與總結(jié)學(xué)案北師大版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE5章末復(fù)習(xí)與總結(jié)一、數(shù)學(xué)抽象學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，能通過(guò)抽象、概括去認(rèn)識(shí)、理解、把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，能逐漸養(yǎng)成一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣．在本章中，數(shù)學(xué)抽象主要體現(xiàn)在隨機(jī)抽樣中.隨機(jī)抽樣[例1]問(wèn)題：①某小區(qū)有800戶家庭，其中高收入家庭200戶，中等收入家庭480戶，低收入家庭120戶，為了了解有關(guān)家用轎車購(gòu)買力的某個(gè)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本；②從10名學(xué)生中抽取3人參加座談會(huì)．方法：(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；(2)分層隨機(jī)抽樣．則問(wèn)題與方法配對(duì)正確的是()A．①(1)，②(2) B．①(2)，②(1)C．①(1)，②(1) D．①(2)，②(2)[解析]問(wèn)題①中的總體是由差異明顯的幾部分組成的，故可采用分層隨機(jī)抽樣方法；問(wèn)題②中總體的個(gè)數(shù)較少，故可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．故匹配正確的是B.[答案]B二、數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段，是計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的基礎(chǔ)．在本章中，數(shù)學(xué)運(yùn)算主要體現(xiàn)在計(jì)算百分位數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差中.百分位數(shù)的計(jì)算[例2]已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)(從小到大的順序排列)：甲組：27,28,39,40，m,50；乙組：24，n,34,43,48,52.若這兩組數(shù)據(jù)的30%分位數(shù)、80%分位數(shù)分別相等，則eq\f(m,n)等于()A.eq\f(12,7)B.eq\f(10,7)C.eq\f(4,3)D.eq\f(7,4)[解析]因?yàn)?0%×6＝1.8,80%×6＝4.8，所以30%分位數(shù)為n＝28,80%分位數(shù)為m＝48，所以eq\f(m,n)＝eq\f(48,28)＝eq\f(12,7).[答案]A平均數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算[例3]統(tǒng)計(jì)局就某地居民的月收入(單位：元)情況調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本頻率分布直方圖(如圖)，每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示月收入在[2500,3000)內(nèi)．(1)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再?gòu)倪@10000人中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出100人作進(jìn)一步分析，則月收入在[4000,4500)內(nèi)的應(yīng)抽取多少人？(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)．[解](1)因?yàn)?0.0002＋0.0004＋0.0003＋0.0001)×500＝0.5，所以a＝eq\f(0.5,1000)＝0.0005.又0.0005×500＝0.25，所以月收入在[4000,4500)內(nèi)的頻率為0.25，所以100人中月收入在[4000,4500)內(nèi)的人數(shù)為0.25×100＝25.(2)因?yàn)?.0002×500＝0.1,0.0004×500＝0.2，0.0005×500＝0.25,0.1＋0.2＝0.3<0.5,0.1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，所以中位數(shù)在區(qū)間[3500,4000)內(nèi)，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3500＋eq\f(0.5－0.1＋0.2,0.0005)＝3900.(3)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(2750×0.0002＋3250×0.0004＋3750×0.0005＋4250×0.0005＋4750×0.0003＋5250×0.0001)×500＝3900.三、數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象知識(shí)的素養(yǎng)．?dāng)?shù)據(jù)分析過(guò)程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進(jìn)行推斷，獲得結(jié)論．在本章中，數(shù)據(jù)分析主要體現(xiàn)在頻率分布直方圖及總體集中趨勢(shì)的估計(jì)中.頻率分布直方圖及應(yīng)用[例4]為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽測(cè)了其中60株樹木的底部周長(zhǎng)(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，你能估計(jì)一下60株樹木底部周長(zhǎng)的50%分位數(shù)和75%分位數(shù)嗎？[解]由題意知分別落在各區(qū)間上的頻數(shù)為在[80,90)上有60×0.15＝9，在[90,100)上有60×0.25＝15，在[100,110)上有60×0.3＝18，在[110,120)上有60×0.2＝12，在[120,130]上有60×0.1＝6，從以上數(shù)據(jù)可知50%分位數(shù)一定落在區(qū)間[100,110)上，由100＋10×eq\f(0.5－0.4,0.7－0.4)＝100＋eq\f(10,3)≈103.3(cm)；75%分位數(shù)一定落在區(qū)間[110,120)上，由110＋10×eq\f(0.75－0.7,0.9－0.7)＝110＋eq\f(10,4)＝112.5(cm)；綜上可知，50%分位數(shù)和75%分位數(shù)分別估計(jì)為103.3cm，112.5cm.[例5]從高三參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生中抽取50名學(xué)生的成績(jī)，成績(jī)的分組及各組的頻數(shù)如下(單位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80，90)，12；[90,100]，8.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖；(3)估計(jì)成績(jī)?cè)赱60,90)分的學(xué)生比例；(4)估計(jì)成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生比例．[解](1)頻率分布表如下：成績(jī)分組頻數(shù)頻率[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)100.20[70,80)150.30[80,90)120.24[90,100]80.16合計(jì)501.00(2)頻率分布直方圖和頻率分布折線圖如圖所示：(3)樣本中所求學(xué)生的比例為0.20＋0.30＋0.24＝0.74＝74%.由樣本估計(jì)總體，成績(jī)?cè)赱60,90)分的學(xué)生約占74%.(4)樣本所求學(xué)生的比例為1－(0.24＋0.16)＝1－0.4＝0.6＝60%.由樣本估計(jì)總體，成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生約占60%.數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度的估計(jì)[例6]設(shè)有兩組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與y1，y2，…，yn，它們的平均數(shù)分別是eq\x\to(x)和eq\x\to(y)，則新的一組數(shù)據(jù)2x1－3y1＋1,2x2－3y2＋1，…，2xn－3yn＋1的平均數(shù)是()A．2eq\x\to(x)－3eq\x\to(y) B．2eq\x\to(x)－3eq\x\to(y)＋1C．4eq\x\to(x)－9eq\x\to(y) D．4eq\x\to(x)－9eq\x\to(y)＋1[解析]設(shè)zi＝2xi－3yi＋1(i＝1,2，…，n)，則eq\x\to(z)＝eq\f(1,n)(z1＋z2＋…＋zn)＝eq\f(2,n)(x1＋x2＋…＋xn)－eq\f(3,n)(y1＋y2＋…＋yn)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋1＋…＋1,n)))＝2eq\x\to(x)－3eq\x\to(y)＋1.[答案]B[例7]某樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則依據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)，可以估計(jì)總體的平均數(shù)與中位數(shù)分別是________，________.[解析]第1組的頻率為0.04×5＝0.2，第2組的頻率為0.1×5＝0.5，則第3組的頻率為1－0.2－0.5＝0.3，估計(jì)總體平均數(shù)為7.5×0.2＋12.5×0.5＋17.5×0.3＝13.由題意知，中位數(shù)在第2組內(nèi)，設(shè)為10＋x，則有0.1x＋0.2＝0.5，解得x＝3，從而中位數(shù)是13.[答案]1313[例8]為了迎接2022年北京冬奧會(huì)，北京某城區(qū)舉行“奧運(yùn)知識(shí)”演講比賽，中學(xué)組根據(jù)初賽成績(jī)?cè)诟咭?、高二年?jí)中分別選出10名同學(xué)參加決賽，這些選手的決賽成績(jī)?nèi)鐖D所示．團(tuán)體成績(jī)眾數(shù)極差平均數(shù)方差高一年級(jí)2239.6高二年級(jí)85.727.8(1)請(qǐng)把上邊的表格填寫完整；(2)考慮平均數(shù)與方差，你認(rèn)為哪個(gè)年級(jí)的團(tuán)體成績(jī)更好些？[解](1)高一年級(jí)的成績(jī)?yōu)?0,87,89,80,88,99,80,77,91,86；高二年級(jí)的成績(jī)?yōu)?5,97,85,87,