平面向量(附例題習題答案)

向量的線性運算一．教課目的理解向量的觀點；掌握向量的線性運算；3。理解向量線性運算的幾何意義、向量共線的含義、平行向量基本定理；4。理解平面向量基本定理,掌握平面向量的正交分解及其坐標表示、平面向量的坐標運算；5。理解用坐標表示平面向量的共線條件。二．知識清單1。向量基本觀點（1）向量的定義：既有又有（2）向量的大小(或稱模）：有向線段的（3）零向量與單位向量：（4)共線向量與相等向量：

稱為向量；表示向量的大小；叫做零向量，叫做單位向量叫做共線向量（或平行向量），

;叫做相等向量。2。向量的線性運算（1）向量的加法a。向量加法的三角形法例、平行四邊形法例和多邊形法例.b.向量加法知足的運算律：互換律：a+b=b+a；聯(lián)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。(2）向量的減法a。定義:a—b=a+（—b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量

.一個向量等于終點地點向量減始點地點向量，即

AB=OB

-

OA.b。三角形法例：“共始點,連終點，指向被減"。（3）數(shù)乘向量a.定義：一般地，實數(shù)λ和向量

a的乘積是一個向量，記作λ

a。b.數(shù)乘向量知足的運算律：（λ+μ）a=λ（μa）=λ（a+b)=3。向量共線的條件與軸上向量坐標運算(1）向量共線的條件平行向量基本定理:假如則必定存在（2）軸上向量的坐標運算4.向量的分解與向量的坐標運算（1）平面向量基本定理假如是一平面內(nèi)的，使（2）平面向量的正交分解定義:把一個向量分解為

，則，使

。

；反之，假如，且。的向量,那么該平面內(nèi)的任一直量，叫做把向量正交分解。

,a，存在（3）向量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向同樣的兩個_______作為基底。對于平面內(nèi)的任一個向量，由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數(shù)x,y使得____________,這樣，平面內(nèi)的任一直量a都可由__________獨一確立,我們把有序數(shù)對________叫做向量的坐標,記作___________此式叫做向量的坐標表示，其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標.（4）向量的坐標運算向量坐標的加減與數(shù)乘若a=（a1，a2)，b=（b1，b2），則a+b=(a1+b1,a2+b2）,a-b=（a1-b1，a2—b2）,λa=(λa1，λa2).5)用平面向量坐標表示向量共線條件兩個向量a,b平行的條件：a=λb，b≠0。若a=（a1，a2），b=(b1,b2），代入上式，得(a1，a2)=λ(b1，b2）=(λb1，λb2)，即a1=λb1，a2=λb2,，整理得a1b2—a2b1=0①①式就是兩個向量平行的條件。若向量b不平行于坐標軸，即b1≠0,b2≠0，①式可化為a1:b1=a2：b2，即兩個向量平行的條件是，相應坐標成比率。三．典型例題例1。給出以下命題:①若｜a|=｜b|，則a=b；②若A、B、C、D是不共線的四點，則ABDC是四邊形為平行四邊形的充要條件；③若a=b，b=c，則a=c；④a=b的充要條件是|a｜=｜b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c,則a∥c。此中，正確命題的序號是____________例2．已知△ABC中，D為BC的中點，E為AD的中點．設＝a，＝b，求BE．例3。已知向量a=2e1－3e2,b=2e1+3e2，c=2e1－9e2，此中e1、e2不共線，務實數(shù)λ、μ，使c=λa+μb.例4。設a，b是兩個不共線向量，若a與b起點同樣,t∈R，t為什么值時,a，tb，（a＋b）三向量的終點在一條直線上？1例5.已知點A（2，3),B（－1，5），且AC＝3AB，求點C的坐標．例6。已知向量a＝(cos錯誤!，sin錯誤!)，b＝(cos錯誤!,sin錯誤!)，｜a－b|＝錯誤!,求cos(α－β）的值．例7.已知向量a＝(1，2）,b＝(x,1）,e1＝a＋2b，e2＝2a－b，且e1∥e2，求x．例8.在平行四邊形ABCD中,A（1，1)，AB＝(6，0)，點M是線段AB的中點，線段CM與BD交于點P．(1）若AD＝（3，5)，求點C的坐標；DC(2)當｜AB|＝｜AD|時，求點P的軌跡．PAMB四．穩(wěn)固練習1．ACDBCDBA等于________．2．若向量a＝（3，2），b＝（0，－1）,則向量2b－a的坐標是________．3．已知A（－1，2），B(2,4），C（4，－3），D(x，1），若AB與CD共線，則｜BD｜的值等于________．OM(3,2),ON(5,1),則1MN等于4。已知向量2（）A．(8,1)B．(8,1)(4,1)(4,1)C．2D．25．已知向量a＝（3，-1），b＝（-1，2），則—3a—2b的坐標是（)A．（7,1）B．(-7，-1）C．（—7,1）D．(7，—1）6．已知a＝（-1,3）,b＝(x,—1）,且a∥b，則x等于（）A．3B．-3C．錯誤!D．—錯誤!ABADABAD7．在平行四邊形ABCD中，若，則必有( )A．AD0B．AB0或AD0C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形8．將ysin2x按向量a=（—錯誤!,1)平移后的函數(shù)分析式是（）ysin(2x)1ysin(2x)1A．3B．3ysin(2x)1ysin(2x)1C．6D．69．已知A（3，2），AB（8，0），求線段AB的中點C的坐標。10．設平面三點A（1，0)，B（0,1）,C（2，5)試求向量2AB＋AC的模。五．作業(yè)反應1．將點A(2，4）按向量a＝（－5，－2）平移后，所獲得的對應點A′的坐標是______．2．已知AB(6,1),BC(x,y),CD(2,3),且BC∥DA,則x+2y的值為_____。3．點（-3，4）對于點B(-6，5)的對稱點是（）A．（—3，5）B．（0,4.5）C．（-9，6)D．（3，-0.5）2BCAB,BCCA,則4．已知點C在線段AB的延伸線上，且A．3B．錯誤!C．3

等于（)D．-錯誤!5．設兩個非零向量a，b不共線,且ka+b與a+kb共線，則k的值為（)A．1B．—1C．1D．06．已知向量a=（sin,cos）（R），b=(3,3)1）當為什么值時，向量a、b不可以作為平面向量的一組基底;(2）求|a－b｜的取值范圍。答案例1：②③；例2：解：BE＝AE－AB＝錯誤!(AB＋AC）－AB＝－錯誤!a＋錯誤!b例3：解：c＝λa＋μb2e1－9e2＝（2λ＋2μ）e1＋(－3λ＋3μ)e22λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9λ＝2，且μ＝－1atb[a1(ab)](21)a(t1)b0例4:解:設3（∈R）化簡整理得：33203123∵a與b不共線，∴t0t132t1a,tb,1(ab)故2時，3三向量的向量的終點在向來線上．121111例5：解AC＝3AB＝（－1，3），OC＝OAAC＝(1,3)，即C（1,3）22522cos252537525例6:解：|a－b｜＝cos2＝5cos（α－β)＝255552＝55例7：解:e1＝(1＋2x，4)，e2＝(2－x,3），e1∥e23（1＋2x）＝4（2－x）x＝錯誤!例8：解：（1）設點C的坐標為(x0，y0），ACADDB(3,5)(6,0)(9,5)(x01,y05)得x0＝10y0＝6即點C(10，6）ABAD≠1）(2)∵∴點D的軌跡為(x－1)2＋(y－1)2＝36(y1∵M為AB的中點∴P分BD的比為2設P（x,y)，由B（7，1)則D(3x－14，3y－2)∴點P的軌跡方程為(x5)2(y1)24(y1)穩(wěn)固練習：1.0；2。(—3,4）；3.錯誤!；4。D；5。B；6。C;7。C；8。A；9。解：設B(x,y),AB(x,y)(3,2)(8,0).x38x5B(5,2),xC1,yC2C(1,2)y20y210。解：∵AB＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC＝（2－1，5－0)＝（1，5）．∴2AB＋AC＝2(－1，1）＋(1，5）＝（－1，7）．∴|2AB＋AC|＝(1)272＝50．作業(yè)反應