數(shù)學(xué)建模論文-基于EOQ模型的去庫存問題研究

基于EOQ模型的去庫存問題研究摘要庫存管理是企業(yè)運(yùn)轉(zhuǎn)不可或缺的重要部分，更是實(shí)現(xiàn)供應(yīng)鏈增值的重要環(huán)節(jié)。在供應(yīng)鏈管理模式下，庫存量的高低不僅影響著單一企業(yè)的綜合成本，而且制約著整條供應(yīng)鏈的性能。本文立足于樹狀供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)，在第一題中針對庫存與到貨率的關(guān)系，編寫C++程序，在系統(tǒng)的初始庫存一定的情況下，按等差數(shù)列從高到低依次分布到各級公司，商家訂單量和庫存量作為自變量，到貨率作為因變量，得到足夠的數(shù)據(jù)，并利用MATLAB二元非線性回歸分析得到到貨率與商家?guī)齑娴闹笖?shù)次方成正比，與商家訂單量的指數(shù)次方成反比的結(jié)果。針對第二題，將供應(yīng)鏈抽象為數(shù)學(xué)模型，研究在源頭供應(yīng)商供貨量穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，通過調(diào)整各級分銷商和末端收貨商的補(bǔ)貨時機(jī)和補(bǔ)貨批量，使得在到貨率有所保障的前提下，整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)的庫存的總成本盡可能降低。首先根據(jù)經(jīng)典模型：經(jīng)濟(jì)訂購批量—EOQ模型，得出在理想條件下庫存管理的方法，之后基于EOQ模型，考慮上初始成本以及缺貨的情況等因素作出更適用于實(shí)際供應(yīng)鏈的改進(jìn)模型，利用微分方程知識尋找使庫存總成本最小的庫存批量q，并得到此時的補(bǔ)貨點(diǎn)r。第三題基于第二題建立的庫存管理模型，求解到貨率為95%時的最優(yōu)庫存。關(guān)鍵詞：供應(yīng)鏈管理EOQ模型多級庫存1.問題重述：某行業(yè)貨物供應(yīng)商（Supplier）通過各公司（Fac），進(jìn)而向下級子公司（Fac）直至零售商發(fā)行某種專業(yè)商品，貨物的流通過程如下圖。一般地，某個發(fā)貨商有可能同時在其它訂單中也作為收貨商，所以該圖只是顯示了某批貨物可能的運(yùn)輸銷售流程，但不足以表示發(fā)貨商與收獲商的上下級關(guān)系，通常它們會形成一個網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，如附件。另一附件數(shù)據(jù)集“產(chǎn)品流轉(zhuǎn)數(shù)據(jù)”是一份銷售鏈行為記錄表。數(shù)據(jù)集的每條觀測記錄了一次訂單情況，即某個上級發(fā)貨商到下級收貨商的某貨物批次的情況，包括某上級供應(yīng)商的某批次產(chǎn)品在某天流通到某個下級收貨商的具體信息。在平日里，各公司都有一個初始庫存，假設(shè)公司的庫存量一旦小于某個值就會立即向其某個上級下訂單補(bǔ)貨，訂單量為常數(shù)。而上級供應(yīng)商要向多個下級供貨，因此下級發(fā)來的訂單請求未必能得到滿足，記下級收貨商實(shí)際收到的貨量占其需求量的百分比的值為到貨率。目前該商品較為緊俏，末端收貨商（實(shí)際使用部門）需求旺盛，到貨率也僅有90%。該行業(yè)供應(yīng)商關(guān)心如下問題，邀請你們小組在尚未提高生產(chǎn)能力之前提升到貨率，降低流通庫存。（1）庫存與到貨率之間究竟有什么關(guān)系？（2）求若要滿足目前到貨率90%不變，并且使所有分銷商的庫存量總和最小，和的值應(yīng)該為多少？庫存總和需要你自己定義。（3）若生產(chǎn)能力提高，估算能使末端收貨商的到貨率提高至95%，請重新估算供應(yīng)商的最優(yōu)庫存。2.問題分析第一題要研究庫存與到貨率的關(guān)系。到貨率即供應(yīng)鏈中所有公司實(shí)際收到的商品/系統(tǒng)中所有公司發(fā)出的總訂單數(shù)量，由所給數(shù)據(jù)分析可發(fā)現(xiàn)，共有七個等級的商家，且各商家之間的關(guān)系復(fù)雜。同一等級的供貨商，面對的收貨商數(shù)目不盡相同，同一商家由于需求共同的多種商品，因而會處在不同的等級上。同時，通過查閱資料及對數(shù)據(jù)進(jìn)一步分析可知，到貨率與訂單量q，供貨商庫存A之間存在著直接的聯(lián)系，與補(bǔ)貨點(diǎn)r存在間接關(guān)系：訂單量的大小是由末端市場需求決定的，而庫存的大小除了公司管理層的人為主觀因素，在一定程度上簡間接的也是由市場決定的，并且，對于庫存確定的上一級，隨著訂單量的增大，收貨商的到貨率會相應(yīng)的降低；同樣的對于訂單量固定的情況，隨著庫存的增大，在一定范圍內(nèi)到貨率也將隨之增大，但對于補(bǔ)貨點(diǎn)r而言，由于補(bǔ)貨點(diǎn)主要是由訂購前置時間，使用率決定，因而，在此忽略其對到貨率的影響。第二題旨在研究供應(yīng)鏈中庫存管理的問題。庫存管理要解決的主要問題是補(bǔ)貨時機(jī)和補(bǔ)貨批量。在源頭供應(yīng)商供貨量穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，通過調(diào)整各級分銷商和末端收貨商的補(bǔ)貨時機(jī)和補(bǔ)貨批量，使得在到貨率有所保障的前提下，整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)的庫存的總成本盡可能降低。根據(jù)經(jīng)典模型：經(jīng)濟(jì)訂購批量—EOQ模型，尋找合適的補(bǔ)貨點(diǎn)和訂單量，然而EOQ模型假設(shè)條件太強(qiáng)，過于理想化，所以在EOQ模型的基礎(chǔ)上，考慮上初始成本以及缺貨的情況等因素作出更適用于實(shí)際供應(yīng)鏈的改進(jìn)模型，尋找使庫存總成本最小的庫存批量q，并得到此時的補(bǔ)貨點(diǎn)r。第三題即利用第二題所建立模型，對到貨率提升的情況進(jìn)行研究。相較于到貨率提升前的情況，末端銷售商的到貨率雖然得到提高，但對于而言，自身的銷售能力在一定范圍內(nèi)是固定的，不會因?yàn)榈截浡实奶岣咦陨淼男枨罅恳搽S之顯著提高，因而可假定末端銷售商的訂貨量保持不變，進(jìn)而可知，每一級的訂貨量是由下一級的訂貨需求決定的，由于下一級的需求不變，因而，其自身向上一級的訂單量也不變。由此而帶來的只是實(shí)際到貨量的增加，從而影響到商家在一個周期內(nèi)的的訂單數(shù)量。于是用第二題的模型可以得到相應(yīng)的最優(yōu)庫存。3.模型假設(shè)（1）該供應(yīng)鏈系統(tǒng)運(yùn)行無限長的時間；（2）模型中涉及到的產(chǎn)品在運(yùn)輸、存儲過程中,不會被損毀；（3）每次訂貨的訂貨費(fèi)相同,與訂貨批量的大小無關(guān)（4）訂貨提前期固定；（訂貨提前期[2],又稱為前置時間,是指從提出訂貨申請直至收到訂貨的期間;或者從另一個角度看,為了自某一時刻能補(bǔ)充存儲,必需提前訂貨,這段時問也稱之為訂貨提前期。）（5）末端收貨商需求量的預(yù)測值，認(rèn)為是直接建立在顧客歷史上購買產(chǎn)品的訂單數(shù)據(jù)上的。（6）每次訂貨的運(yùn)輸量不受限制。（7）在整條供應(yīng)鏈物流中，只考慮單一產(chǎn)品（8）同一商家只在一個級（9）0級表示制造商，數(shù)字越大等級越低，末端為收貨商4.變量說明η：到貨率q：訂貨量r：補(bǔ)貨點(diǎn)A：庫存：常數(shù)：常數(shù)i：商家所處的級數(shù)j：相應(yīng)級數(shù)上的商家標(biāo)識：第i級第j個商家的周期訂購成本：第i級第j個商家的周期存儲成本：第i級第j個商家的周期缺貨成本：第i級第j個商家的周期運(yùn)輸成本5.模型建立與求解5.1針對問題一：為了獲取到貨率、訂單量、庫存三者的近似關(guān)系，做以下假設(shè)：（1）每一級的初始庫存相同，上一級的初始庫存總是大于下一級的初始庫存（2）除了0級經(jīng)銷商之外，每一個經(jīng)銷商都只有一個上級（3）在一個周期以內(nèi)，整個總的銷售系統(tǒng)并不會有貨物的輸入，只有輸出（4）最底層每一個經(jīng)銷商的銷售量（即輸出）滿足均值為100的泊松分布（5）假設(shè)從最上級經(jīng)銷商到最下層經(jīng)銷商數(shù)量分別為1、5、10、20、30、50、100（6）補(bǔ)貨點(diǎn)r=2005.1.1獲取數(shù)據(jù)：假設(shè)最低庫存為r，每次的訂貨量為q，所有經(jīng)銷商的庫存總和為total，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，一級經(jīng)銷商的總庫存為0.1*total，二級所有經(jīng)銷商的總庫存為0.2*total，三級:0.15*total,四級:0.15*total，五級:0.15*total,六級:0.1*total，七級:0.15*total。首先用系統(tǒng)函數(shù)隨機(jī)給每一個下級商家分配一個上級商家，生成一個隨機(jī)銷售網(wǎng)絡(luò)。然后利用泊松分布給每一個最下級商家生成一個銷售量，用其初始庫存減去銷售量所得即為其目前實(shí)際庫存。利用for循環(huán)，對每一個七級經(jīng)銷商進(jìn)行判斷，如果實(shí)際庫存小于r，便向六級申請調(diào)貨，如果六級此時的庫存大于q便滿足下級的訂貨，如果六級庫存小于q便向下級輸送剩余的庫存量，然后向五級經(jīng)銷商訂貨，五級經(jīng)銷商再次重復(fù)這個過程。如果六級經(jīng)銷商調(diào)貨失敗，那么他的下級剩余的訂單都將不會被滿足，此七級經(jīng)銷商的調(diào)貨過程全部結(jié)束，進(jìn)入下一個經(jīng)銷商的調(diào)貨過程。然后在改變參數(shù)觀察到貨率的變化，由此得出各個參數(shù)與到貨率的關(guān)系。q由200—40變化幅度為20，total由100000-10000變化幅度為2000。運(yùn)用C++編寫程序得到數(shù)據(jù)4005條數(shù)據(jù)(附錄1)，同時，由問題分析可設(shè)：其中，表示到貨率，表示庫存，表示訂單量，為未知參數(shù)，對上式進(jìn)行線性處理得到：

由此，用MATLAB軟件將獲得的數(shù)據(jù)帶入做二元非線性回歸分析，得如下圖：圖1由此可得到貨率η與庫存和訂單量之間的關(guān)系：5.2針對問題二：整條供應(yīng)鏈為供貨商—分銷商—末端收貨商我們可以將整條供應(yīng)鏈有n個銷售級，每個銷售級有個5.2.1經(jīng)濟(jì)補(bǔ)貨批量（EOQ）模型[3]（1）每當(dāng)庫存余額小于訂貨點(diǎn)時,就發(fā)出固定批量的訂貨（2）庫存余額=現(xiàn)有庫存量十己訂未到量一欠付量（3）計(jì)算經(jīng)濟(jì)訂貨批量的目的是為了平衡訂貨成本和持有成本之間的關(guān)系,使得庫存總成本最小。使庫存總成本最小的訂貨批量稱為經(jīng)濟(jì)訂貨量。5.2.2在EOQ模型中我們假設(shè)：（1）單位時間內(nèi)的需求量不變;（2）物品的購入單價為常數(shù)，到貨率為百分之90%，且不允許斷貨情況。訂貨點(diǎn)為訂貨提前期內(nèi)的需求量。剛開始時，庫存數(shù)量為q單位。由于需求速率固定,隨后庫存數(shù)量以固定的速率降低。當(dāng)庫存量降低到訂貨點(diǎn)時,發(fā)出一批訂貨量為q單位的訂單。經(jīng)過一個固定的提前期后,有0.9q單位的物品到達(dá)并入庫,物品即將入庫時的庫存數(shù)量為零。（雖然到貨率不是百分百，但依然能保證其不斷貨）物品即將入庫時，庫存數(shù)量為零，該模型庫存量與時間的關(guān)系如下圖所示（cd為訂貨間隔期，ca為訂貨提前期）：圖2在一個周期內(nèi)的總需求量一定的情況下,訂貨批量越小,平均庫存量就越小,但發(fā)生的訂貨次數(shù)越多。如果能尋找到合適的訂貨批量，使庫存總成本最小，就能加快庫存資金周轉(zhuǎn),有利于提高企業(yè)效益。在不允許缺貨的情況下：其周期庫存總成本可分析如下:周期總庫存成本=周期購入成本+周期定購成本+周期存儲成本，即：式中：D—周期需求量；Q—訂貨批量為了確定經(jīng)濟(jì)訂貨批量，求周期總成本對訂購批量的一階導(dǎo)數(shù)并令其為零，得：從而求得最佳經(jīng)濟(jì)訂貨批量為：則最佳年訂貨次數(shù)n和兩次訂貨間的平均時間T可如下確定：平均訂貨間隔期為：補(bǔ)貨點(diǎn)由下式確定：r=D*L—訂貨提前期內(nèi)的平均需求r—補(bǔ)貨點(diǎn)；l—訂貨提前期，將經(jīng)濟(jì)訂貨量代入年總成本的表達(dá)式，得到最小年庫存總成本的公式：5.3EOQ改進(jìn)模型針對一在第級的末端收貨商：每天的需求量隨機(jī)分布，均值為，服從泊松分布,,，。假設(shè)在一個周期內(nèi)的需求量為常數(shù)則訂單量:eq\o\ac(○,1)5.3.1費(fèi)用函數(shù)建立：第級供應(yīng)商向第級的供應(yīng)商的周期訂購成本:eq\o\ac(○,2)—第級供應(yīng)商每次向第級供應(yīng)商訂貨時發(fā)生的訂購費(fèi)；—訂貨批次；—在一個周期內(nèi)的需求量;—購入產(chǎn)品的單價；第級供應(yīng)商的周期存儲成本eq\o\ac(○,3)—的初始庫存—單位產(chǎn)品的周期存儲費(fèi)收貨商庫存量與時間的關(guān)系如圖所示：圖3周期缺貨成本設(shè)第級供應(yīng)商的周期缺貨成本,提前期服從泊松分布：，，，則在提前期t內(nèi)的平均消耗量為：，第天的實(shí)際消耗量，服從泊松分布：，提前期內(nèi)的總消耗量：所以，實(shí)際缺貨為個的概率為：進(jìn)而，第級供應(yīng)商的周期缺貨成本：eq\o\ac(○,4)運(yùn)輸成本第級供應(yīng)商向第級收貨商的周期運(yùn)輸成本eq\o\ac(○,5)—第級供應(yīng)商的運(yùn)輸單位產(chǎn)品發(fā)生的運(yùn)輸費(fèi)的總成本:s.t供應(yīng)鏈有級,且第級供應(yīng)鏈有個供應(yīng)商,則處在末端第級的所有收貨商的總成本：針對在第級的公司，假設(shè)它要向個處于第級的公司供貨，處于第級的公司，滿足上述討論的模型，那么的庫存量與時間的關(guān)系如圖所示：圖4的初始庫存為，個跟它進(jìn)貨的公司中有公司向其下訂單的時候，庫存量垂直下降減少訂單量個數(shù)量，因?yàn)榈诩墏€公司的訂貨周期是可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)確定的，所以公司可以預(yù)測出補(bǔ)貨點(diǎn)，在庫存量降到時又向上一級的供貨商進(jìn)貨。故公司的庫存量與時間的關(guān)系如梯形折線圖所示，為了考慮計(jì)算的方便，將其擬合為類似于公司模型的直線圖。由此，整個供貨鏈的周期總成本可表示為：eq\o\ac(○,6)s.t由eq\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,2)，eq\o\ac(○,3)，eq\o\ac(○,4)，eq\o\ac(○,5)，eq\o\ac(○,6)式有,周期成本變化率與訂貨量之間的關(guān)系為：由于每個訂單量最小，則總的訂貨量最小，而第級，第個的商家的周期最小訂單量為：所以，最小的周期訂單總量為：s.t由問題一可知，周期到貨率與庫存、訂貨量之間的關(guān)系為：所以，當(dāng)?shù)截浡蕿?0%時，周期庫存可表示為：所以，整條供應(yīng)鏈的周期最小庫存和為：此時，5.4針對問題三對于問題三，假定第0級為生產(chǎn)商，因其每個周期能產(chǎn)生一定量固定的商品，同樣可類似于問題二中的公司模型。設(shè)整條供應(yīng)鏈有級，每一級擁有個商家。從而可知整條供應(yīng)鏈的周期總成本仍為：s.t從而其周期最小訂貨總量保持不變，為：又由問題一可知：所以，當(dāng)?shù)截浡蕿?5%時，周期庫存可表示為：所以，整條供應(yīng)鏈的周期最小庫存和為：6.模型評價：優(yōu)點(diǎn)：電腦所產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)據(jù)具有參考價值，符合客觀規(guī)律，運(yùn)用Matlab軟件對庫存與到貨率進(jìn)行了非線性二次回歸擬合，具有良好的擬合效果。結(jié)合概率分布、多元線性規(guī)劃和微分方程等數(shù)學(xué)方法,以整個供應(yīng)鏈庫存總成本最小為目標(biāo),建立了多級供應(yīng)鏈庫存控制模型，具有實(shí)際意義和可操作性。在經(jīng)典的庫存管理模型的基礎(chǔ)上，考慮初始庫存，斷貨成本等因素，使模型更加貼近實(shí)際。不足：供應(yīng)鏈中的每個企業(yè)的需求預(yù)測,我們認(rèn)為是建立在直接顧客歷史上購買產(chǎn)品的訂單數(shù)據(jù)上的,需求預(yù)測是安排生產(chǎn)調(diào)度,協(xié)調(diào)生產(chǎn)能力,控制庫存和生產(chǎn)資源的基礎(chǔ)。采用這樣簡單的預(yù)測方法來預(yù)測向供應(yīng)商訂貨的數(shù)量,其預(yù)測的結(jié)果往往與實(shí)際有所出入。模型未考慮批量訂貨的價格折扣問題，也未考慮實(shí)際情況中各公司的資金限制，倉庫的容量限制等問題，有待進(jìn)一步完善。局限性：[3]在供應(yīng)鏈模型中，信息的不準(zhǔn)確性會沿著供應(yīng)鏈逐級提高,逐級放大，達(dá)到供應(yīng)鏈的源頭—制造商時,其預(yù)測的需求信息和實(shí)際消費(fèi)市場中的顧客需求信息會發(fā)生很大的偏差,這就是需求放大效應(yīng)(又稱牛鞭效應(yīng))。上游供應(yīng)商訂單的變動性明顯大于下游供應(yīng)商需求的變動性,為了滿足這種需求需求,上游供應(yīng)商往往維持比下游供應(yīng)商更高的庫存水平,從而產(chǎn)生更高的成本。應(yīng)對措施：[3]在供應(yīng)鏈上建立集中化的信息系統(tǒng)。通過集中信息處理,為供應(yīng)鏈上每一級企業(yè)提供完全的及時的最終需求信息,有助于減輕需求放大效應(yīng)。設(shè)法建立更加完善的預(yù)測末端收貨商消費(fèi)量的模型。減小預(yù)測與實(shí)際需求的誤差,有助于降低整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。改變企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益測評模式。企業(yè)采用傳統(tǒng)的單體經(jīng)濟(jì)效益測評方法,很容易引向局部和孤立的評價,而忽視系統(tǒng)的反應(yīng)和結(jié)果。應(yīng)使用系統(tǒng)分析和系統(tǒng)測評的方法,用于分析某項(xiàng)策略與措施對整個系統(tǒng)的作用和影響，降低整個供應(yīng)鏈的穩(wěn)定性。參考文獻(xiàn)：[1]趙曉波，黃四民，庫存管理，北京：清華大學(xué)出版社，2008.2.[2]張玉斌，采購與倉儲管理，北京：對外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)出版社，2008[3]秦海燕，供應(yīng)鏈庫存控制系統(tǒng)模型研究及仿真：碩士學(xué)位論文p15-p18,p30-p33[4]原思聰，MATLAB語言與應(yīng)用技術(shù)，北京：國防工業(yè)出版社，2011.8.[5]郭敏，庫存原理簡明教程，武漢：華中科技大學(xué)出版社，2013.4[6]王夏陽，供應(yīng)鏈庫存管理—基于提前期不確定性的研究，北京：經(jīng)濟(jì)管理出版社，2010.1.附錄：C++程序：#include<iostream>#include<time.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>#include<fstream>usingnamespacestd;#defineH100//柏松分布均值#defineA1#defineB5#defineC10#defineD20#defineE30#defineF50#defineG100//各級供貨商數(shù)量intfirst;intsecond[B];intthird[C][2];intforth[D][2];intfifth[E][2];intsixth[F][2];intseventh[G][2];doublexuqiu=0;doublehuode=0;intr;intq;doubleper;voidchecktwo(inta){inti=a;for(;second[i]<r;){xuqiu++;if(first>=q){huode=huode+q;second[i]=second[i]+q;first=first-q;}else{huode=huode+first;second[i]=second[i]+first;first=0;intb=(r-second[i])/q;if(b*q!=r-second[i])b=b+1;if(second[i]<r){xuqiu=xuqiu+b;}break;}}}voidcheckthree(inta){inti=a;for(;third[i][0]<r;){xuqiu++;if(second[third[i][1]]>=q){huode=huode+q;third[i][0]=third[i][0]+q;second[third[i][1]]=second[third[i][1]]-q;}else{huode=huode+second[third[i][1]];third[i][0]=third[i][0]+second[third[i][1]];second[third[i][1]]=0;}if(second[third[i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