數學建模論文-基于EOQ模型的去庫存問題研究

基于EOQ模型的去庫存問題研究摘要庫存管理是企業(yè)運轉不可或缺的重要部分，更是實現供應鏈增值的重要環(huán)節(jié)。在供應鏈管理模式下，庫存量的高低不僅影響著單一企業(yè)的綜合成本，而且制約著整條供應鏈的性能。本文立足于樹狀供應鏈結構，在第一題中針對庫存與到貨率的關系，編寫C++程序，在系統(tǒng)的初始庫存一定的情況下，按等差數列從高到低依次分布到各級公司，商家訂單量和庫存量作為自變量，到貨率作為因變量，得到足夠的數據，并利用MATLAB二元非線性回歸分析得到到貨率與商家?guī)齑娴闹笖荡畏匠烧龋c商家訂單量的指數次方成反比的結果。針對第二題，將供應鏈抽象為數學模型，研究在源頭供應商供貨量穩(wěn)定的基礎上，通過調整各級分銷商和末端收貨商的補貨時機和補貨批量，使得在到貨率有所保障的前提下，整個供應鏈系統(tǒng)的庫存的總成本盡可能降低。首先根據經典模型：經濟訂購批量—EOQ模型，得出在理想條件下庫存管理的方法，之后基于EOQ模型，考慮上初始成本以及缺貨的情況等因素作出更適用于實際供應鏈的改進模型，利用微分方程知識尋找使庫存總成本最小的庫存批量q，并得到此時的補貨點r。第三題基于第二題建立的庫存管理模型，求解到貨率為95%時的最優(yōu)庫存。關鍵詞：供應鏈管理EOQ模型多級庫存1.問題重述：某行業(yè)貨物供應商（Supplier）通過各公司（Fac），進而向下級子公司（Fac）直至零售商發(fā)行某種專業(yè)商品，貨物的流通過程如下圖。一般地，某個發(fā)貨商有可能同時在其它訂單中也作為收貨商，所以該圖只是顯示了某批貨物可能的運輸銷售流程，但不足以表示發(fā)貨商與收獲商的上下級關系，通常它們會形成一個網狀結構，如附件。另一附件數據集“產品流轉數據”是一份銷售鏈行為記錄表。數據集的每條觀測記錄了一次訂單情況，即某個上級發(fā)貨商到下級收貨商的某貨物批次的情況，包括某上級供應商的某批次產品在某天流通到某個下級收貨商的具體信息。在平日里，各公司都有一個初始庫存，假設公司的庫存量一旦小于某個值就會立即向其某個上級下訂單補貨，訂單量為常數。而上級供應商要向多個下級供貨，因此下級發(fā)來的訂單請求未必能得到滿足，記下級收貨商實際收到的貨量占其需求量的百分比的值為到貨率。目前該商品較為緊俏，末端收貨商（實際使用部門）需求旺盛，到貨率也僅有90%。該行業(yè)供應商關心如下問題，邀請你們小組在尚未提高生產能力之前提升到貨率，降低流通庫存。（1）庫存與到貨率之間究竟有什么關系？（2）求若要滿足目前到貨率90%不變，并且使所有分銷商的庫存量總和最小，和的值應該為多少？庫存總和需要你自己定義。（3）若生產能力提高，估算能使末端收貨商的到貨率提高至95%，請重新估算供應商的最優(yōu)庫存。2.問題分析第一題要研究庫存與到貨率的關系。到貨率即供應鏈中所有公司實際收到的商品/系統(tǒng)中所有公司發(fā)出的總訂單數量，由所給數據分析可發(fā)現，共有七個等級的商家，且各商家之間的關系復雜。同一等級的供貨商，面對的收貨商數目不盡相同，同一商家由于需求共同的多種商品，因而會處在不同的等級上。同時，通過查閱資料及對數據進一步分析可知，到貨率與訂單量q，供貨商庫存A之間存在著直接的聯系，與補貨點r存在間接關系：訂單量的大小是由末端市場需求決定的，而庫存的大小除了公司管理層的人為主觀因素，在一定程度上簡間接的也是由市場決定的，并且，對于庫存確定的上一級，隨著訂單量的增大，收貨商的到貨率會相應的降低；同樣的對于訂單量固定的情況，隨著庫存的增大，在一定范圍內到貨率也將隨之增大，但對于補貨點r而言，由于補貨點主要是由訂購前置時間，使用率決定，因而，在此忽略其對到貨率的影響。第二題旨在研究供應鏈中庫存管理的問題。庫存管理要解決的主要問題是補貨時機和補貨批量。在源頭供應商供貨量穩(wěn)定的基礎上，通過調整各級分銷商和末端收貨商的補貨時機和補貨批量，使得在到貨率有所保障的前提下，整個供應鏈系統(tǒng)的庫存的總成本盡可能降低。根據經典模型：經濟訂購批量—EOQ模型，尋找合適的補貨點和訂單量，然而EOQ模型假設條件太強，過于理想化，所以在EOQ模型的基礎上，考慮上初始成本以及缺貨的情況等因素作出更適用于實際供應鏈的改進模型，尋找使庫存總成本最小的庫存批量q，并得到此時的補貨點r。第三題即利用第二題所建立模型，對到貨率提升的情況進行研究。相較于到貨率提升前的情況，末端銷售商的到貨率雖然得到提高，但對于而言，自身的銷售能力在一定范圍內是固定的，不會因為到貨率的提高自身的需求量也隨之顯著提高，因而可假定末端銷售商的訂貨量保持不變，進而可知，每一級的訂貨量是由下一級的訂貨需求決定的，由于下一級的需求不變，因而，其自身向上一級的訂單量也不變。由此而帶來的只是實際到貨量的增加，從而影響到商家在一個周期內的的訂單數量。于是用第二題的模型可以得到相應的最優(yōu)庫存。3.模型假設（1）該供應鏈系統(tǒng)運行無限長的時間；（2）模型中涉及到的產品在運輸、存儲過程中,不會被損毀；（3）每次訂貨的訂貨費相同,與訂貨批量的大小無關（4）訂貨提前期固定；（訂貨提前期[2],又稱為前置時間,是指從提出訂貨申請直至收到訂貨的期間;或者從另一個角度看,為了自某一時刻能補充存儲,必需提前訂貨,這段時問也稱之為訂貨提前期。）（5）末端收貨商需求量的預測值，認為是直接建立在顧客歷史上購買產品的訂單數據上的。（6）每次訂貨的運輸量不受限制。（7）在整條供應鏈物流中，只考慮單一產品（8）同一商家只在一個級（9）0級表示制造商，數字越大等級越低，末端為收貨商4.變量說明η：到貨率q：訂貨量r：補貨點A：庫存：常數：常數i：商家所處的級數j：相應級數上的商家標識：第i級第j個商家的周期訂購成本：第i級第j個商家的周期存儲成本：第i級第j個商家的周期缺貨成本：第i級第j個商家的周期運輸成本5.模型建立與求解5.1針對問題一：為了獲取到貨率、訂單量、庫存三者的近似關系，做以下假設：（1）每一級的初始庫存相同，上一級的初始庫存總是大于下一級的初始庫存（2）除了0級經銷商之外，每一個經銷商都只有一個上級（3）在一個周期以內，整個總的銷售系統(tǒng)并不會有貨物的輸入，只有輸出（4）最底層每一個經銷商的銷售量（即輸出）滿足均值為100的泊松分布（5）假設從最上級經銷商到最下層經銷商數量分別為1、5、10、20、30、50、100（6）補貨點r=2005.1.1獲取數據：假設最低庫存為r，每次的訂貨量為q，所有經銷商的庫存總和為total，根據經驗，一級經銷商的總庫存為0.1*total，二級所有經銷商的總庫存為0.2*total，三級:0.15*total,四級:0.15*total，五級:0.15*total,六級:0.1*total，七級:0.15*total。首先用系統(tǒng)函數隨機給每一個下級商家分配一個上級商家，生成一個隨機銷售網絡。然后利用泊松分布給每一個最下級商家生成一個銷售量，用其初始庫存減去銷售量所得即為其目前實際庫存。利用for循環(huán)，對每一個七級經銷商進行判斷，如果實際庫存小于r，便向六級申請調貨，如果六級此時的庫存大于q便滿足下級的訂貨，如果六級庫存小于q便向下級輸送剩余的庫存量，然后向五級經銷商訂貨，五級經銷商再次重復這個過程。如果六級經銷商調貨失敗，那么他的下級剩余的訂單都將不會被滿足，此七級經銷商的調貨過程全部結束，進入下一個經銷商的調貨過程。然后在改變參數觀察到貨率的變化，由此得出各個參數與到貨率的關系。q由200—40變化幅度為20，total由100000-10000變化幅度為2000。運用C++編寫程序得到數據4005條數據(附錄1)，同時，由問題分析可設：其中，表示到貨率，表示庫存，表示訂單量，為未知參數，對上式進行線性處理得到：

由此，用MATLAB軟件將獲得的數據帶入做二元非線性回歸分析，得如下圖：圖1由此可得到貨率η與庫存和訂單量之間的關系：5.2針對問題二：整條供應鏈為供貨商—分銷商—末端收貨商我們可以將整條供應鏈有n個銷售級，每個銷售級有個5.2.1經濟補貨批量（EOQ）模型[3]（1）每當庫存余額小于訂貨點時,就發(fā)出固定批量的訂貨（2）庫存余額=現有庫存量十己訂未到量一欠付量（3）計算經濟訂貨批量的目的是為了平衡訂貨成本和持有成本之間的關系,使得庫存總成本最小。使庫存總成本最小的訂貨批量稱為經濟訂貨量。5.2.2在EOQ模型中我們假設：（1）單位時間內的需求量不變;（2）物品的購入單價為常數，到貨率為百分之90%，且不允許斷貨情況。訂貨點為訂貨提前期內的需求量。剛開始時，庫存數量為q單位。由于需求速率固定,隨后庫存數量以固定的速率降低。當庫存量降低到訂貨點時,發(fā)出一批訂貨量為q單位的訂單。經過一個固定的提前期后,有0.9q單位的物品到達并入庫,物品即將入庫時的庫存數量為零。（雖然到貨率不是百分百，但依然能保證其不斷貨）物品即將入庫時，庫存數量為零，該模型庫存量與時間的關系如下圖所示（cd為訂貨間隔期，ca為訂貨提前期）：圖2在一個周期內的總需求量一定的情況下,訂貨批量越小,平均庫存量就越小,但發(fā)生的訂貨次數越多。如果能尋找到合適的訂貨批量，使庫存總成本最小，就能加快庫存資金周轉,有利于提高企業(yè)效益。在不允許缺貨的情況下：其周期庫存總成本可分析如下:周期總庫存成本=周期購入成本+周期定購成本+周期存儲成本，即：式中：D—周期需求量；Q—訂貨批量為了確定經濟訂貨批量，求周期總成本對訂購批量的一階導數并令其為零，得：從而求得最佳經濟訂貨批量為：則最佳年訂貨次數n和兩次訂貨間的平均時間T可如下確定：平均訂貨間隔期為：補貨點由下式確定：r=D*L—訂貨提前期內的平均需求r—補貨點；l—訂貨提前期，將經濟訂貨量代入年總成本的表達式，得到最小年庫存總成本的公式：5.3EOQ改進模型針對一在第級的末端收貨商：每天的需求量隨機分布，均值為，服從泊松分布,,，。假設在一個周期內的需求量為常數則訂單量:eq\o\ac(○,1)5.3.1費用函數建立：第級供應商向第級的供應商的周期訂購成本:eq\o\ac(○,2)—第級供應商每次向第級供應商訂貨時發(fā)生的訂購費；—訂貨批次；—在一個周期內的需求量;—購入產品的單價；第級供應商的周期存儲成本eq\o\ac(○,3)—的初始庫存—單位產品的周期存儲費收貨商庫存量與時間的關系如圖所示：圖3周期缺貨成本設第級供應商的周期缺貨成本,提前期服從泊松分布：，，，則在提前期t內的平均消耗量為：，第天的實際消耗量，服從泊松分布：，提前期內的總消耗量：所以，實際缺貨為個的概率為：進而，第級供應商的周期缺貨成本：eq\o\ac(○,4)運輸成本第級供應商向第級收貨商的周期運輸成本eq\o\ac(○,5)—第級供應商的運輸單位產品發(fā)生的運輸費的總成本:s.t供應鏈有級,且第級供應鏈有個供應商,則處在末端第級的所有收貨商的總成本：針對在第級的公司，假設它要向個處于第級的公司供貨，處于第級的公司，滿足上述討論的模型，那么的庫存量與時間的關系如圖所示：圖4的初始庫存為，個跟它進貨的公司中有公司向其下訂單的時候，庫存量垂直下降減少訂單量個數量，因為第級個公司的訂貨周期是可以根據歷史數據確定的，所以公司可以預測出補貨點，在庫存量降到時又向上一級的供貨商進貨。故公司的庫存量與時間的關系如梯形折線圖所示，為了考慮計算的方便，將其擬合為類似于公司模型的直線圖。由此，整個供貨鏈的周期總成本可表示為：eq\o\ac(○,6)s.t由eq\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,2)，eq\o\ac(○,3)，eq\o\ac(○,4)，eq\o\ac(○,5)，eq\o\ac(○,6)式有,周期成本變化率與訂貨量之間的關系為：由于每個訂單量最小，則總的訂貨量最小，而第級，第個的商家的周期最小訂單量為：所以，最小的周期訂單總量為：s.t由問題一可知，周期到貨率與庫存、訂貨量之間的關系為：所以，當到貨率為90%時，周期庫存可表示為：所以，整條供應鏈的周期最小庫存和為：此時，5.4針對問題三對于問題三，假定第0級為生產商，因其每個周期能產生一定量固定的商品，同樣可類似于問題二中的公司模型。設整條供應鏈有級，每一級擁有個商家。從而可知整條供應鏈的周期總成本仍為：s.t從而其周期最小訂貨總量保持不變，為：又由問題一可知：所以，當到貨率為95%時，周期庫存可表示為：所以，整條供應鏈的周期最小庫存和為：6.模型評價：優(yōu)點：電腦所產生的隨機數據具有參考價值，符合客觀規(guī)律，運用Matlab軟件對庫存與到貨率進行了非線性二次回歸擬合，具有良好的擬合效果。結合概率分布、多元線性規(guī)劃和微分方程等數學方法,以整個供應鏈庫存總成本最小為目標,建立了多級供應鏈庫存控制模型，具有實際意義和可操作性。在經典的庫存管理模型的基礎上，考慮初始庫存，斷貨成本等因素，使模型更加貼近實際。不足：供應鏈中的每個企業(yè)的需求預測,我們認為是建立在直接顧客歷史上購買產品的訂單數據上的,需求預測是安排生產調度,協調生產能力,控制庫存和生產資源的基礎。采用這樣簡單的預測方法來預測向供應商訂貨的數量,其預測的結果往往與實際有所出入。模型未考慮批量訂貨的價格折扣問題，也未考慮實際情況中各公司的資金限制，倉庫的容量限制等問題，有待進一步完善。局限性：[3]在供應鏈模型中，信息的不準確性會沿著供應鏈逐級提高,逐級放大，達到供應鏈的源頭—制造商時,其預測的需求信息和實際消費市場中的顧客需求信息會發(fā)生很大的偏差,這就是需求放大效應(又稱牛鞭效應)。上游供應商訂單的變動性明顯大于下游供應商需求的變動性,為了滿足這種需求需求,上游供應商往往維持比下游供應商更高的庫存水平,從而產生更高的成本。應對措施：[3]在供應鏈上建立集中化的信息系統(tǒng)。通過集中信息處理,為供應鏈上每一級企業(yè)提供完全的及時的最終需求信息,有助于減輕需求放大效應。設法建立更加完善的預測末端收貨商消費量的模型。減小預測與實際需求的誤差,有助于降低整個供應鏈系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。改變企業(yè)經濟效益測評模式。企業(yè)采用傳統(tǒng)的單體經濟效益測評方法,很容易引向局部和孤立的評價,而忽視系統(tǒng)的反應和結果。應使用系統(tǒng)分析和系統(tǒng)測評的方法,用于分析某項策略與措施對整個系統(tǒng)的作用和影響，降低整個供應鏈的穩(wěn)定性。參考文獻：[1]趙曉波，黃四民，庫存管理，北京：清華大學出版社，2008.2.[2]張玉斌，采購與倉儲管理，北京：對外經濟貿易大學出版社，2008[3]秦海燕，供應鏈庫存控制系統(tǒng)模型研究及仿真：碩士學位論文p15-p18,p30-p33[4]原思聰，MATLAB語言與應用技術，北京：國防工業(yè)出版社，2011.8.[5]郭敏，庫存原理簡明教程，武漢：華中科技大學出版社，2013.4[6]王夏陽，供應鏈庫存管理—基于提前期不確定性的研究，北京：經濟管理出版社，2010.1.附錄：C++程序：#include<iostream>#include<time.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>#include<fstream>usingnamespacestd;#defineH100//柏松分布均值#defineA1#defineB5#defineC10#defineD20#defineE30#defineF50#defineG100//各級供貨商數量intfirst;intsecond[B];intthird[C][2];intforth[D][2];intfifth[E][2];intsixth[F][2];intseventh[G][2];doublexuqiu=0;doublehuode=0;intr;intq;doubleper;voidchecktwo(inta){inti=a;for(;second[i]<r;){xuqiu++;if(first>=q){huode=huode+q;second[i]=second[i]+q;first=first-q;}else{huode=huode+first;second[i]=second[i]+first;first=0;intb=(r-second[i])/q;if(b*q!=r-second[i])b=b+1;if(second[i]<r){xuqiu=xuqiu+b;}break;}}}voidcheckthree(inta){inti=a;for(;third[i][0]<r;){xuqiu++;if(second[third[i][1]]>=q){huode=huode+q;third[i][0]=third[i][0]+q;second[third[i][1]]=second[third[i][1]]-q;}else{huode=huode+second[third[i][1]];third[i][0]=third[i][0]+second[third[i][1]];second[third[i][1]]=0;}if(second[third[i][1]]==0)//二級廠家調貨{inta=third[i][1];checktwo(a);}if(second[third[i][1]]==0)//二級廠家調貨失敗{intb=(r-third[i][0])/q;if(b*q!=r-third[i][0])b=b+1;if(third[i][0]<r){xuqiu=xuqiu+b;}break;}}if(second[third[i][1]]<0)//二級廠家調貨{inta=third[i][1];checktwo(a);}}voidcheckfour(inta){inti=a;for(;forth[i][0]<r;){xuqiu++;if(third[forth[i][1]][0]>=q){huode=huode+q;forth[i][0]=forth[i][0]+q;third[forth[i][1]][0]=third[forth[i][1]][0]-q;}else{huode=huode+third[forth[i][1]][0];forth[i][0]=forth[i][0]+third[forth[i][1]][0];third[forth[i][1]][0]=0;}if(third[forth[i][1]][0]==0)//三級廠家調貨{inta=forth[i][1];checkthree(a);}if(third[forth[i][1]][0]==0)//三級廠家調貨失敗{intb=(r-forth[i][0])/q;if(b*q!=r-forth[i][0])b=b+1;if(forth[i][0]<r){xuqiu=xuqiu+b;}break;}}if(third[forth[i][1]][0]<r)//三級廠家調貨{inta=forth[i][1];checkthree(a);}}voidcheckfive(inta){inti=a;for(;fifth[i][0]<r;){xuqiu++;if(forth[fifth[i][1]][0]>=q){huode=huode+q;fifth[i][0]=fifth[i][0]+q;forth[fifth[i][1]][0]=forth[fifth[i][1]][0]-q;}else{huode=huode+forth[fifth[i][1]][0];fifth[i][0]=fifth[i][0]+forth[fifth[i][1]][0];forth[fifth[i][1]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