2021-2022年中考數(shù)學專題復習將軍飲馬模型最值問題

將軍飲馬模型最值問題

【模型引入】

什么是將軍飲馬？

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頑《古從軍行》里的一句詩。而由此卻引申出一

系列非常有趣的數(shù)學問題，通常稱為“將軍飲馬”。

【模型描述】

如圖，將軍在圖中點1處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營，問：將軍怎么走能使

得路程最短？

將軍A

【模型抽象】

如圖，在直線上找一點—使得以+如最??？

這個問題的難點在于必+如是一段折線段，通過觀察圖形很難得出結(jié)果，關(guān)于最小值，我們

知道“兩點之間，線段最短”、“點到直線的連線中，垂線段最短”等，所以此處，需轉(zhuǎn)化問

題，將折線段變?yōu)橹本€段.

【模型解析】

作點】關(guān)于直線的對稱點"，連接用'，貝1」為'=PA,所以處+吩必'+PB

當/、P、6三點共線的時候，PA'+PB=A'B,此時為最小值（兩點之間線段最短）

A端點

/0折點

/

1

這類問題的解法主要是通過軸對稱，將與定點相關(guān)的線段進行變化，將問題轉(zhuǎn)化為定點

到定點的距離問題或定點到定直線的距離問題，然后通過兩點之間線段最短或點到直線

之間垂線段最短，解決此類最值問題。

【模型展示】

【模型一】兩定一動之點點（兩定點一動點，轉(zhuǎn)化成點與點距離最值問題）

如圖，在直線上找一點a使得PA+PB最小

作點/關(guān)于直線的對稱點4,連接必'，則處'=PA,所以P4+PB=PA'+PB

當"、P、6三點共線的時候，PA'+如=4B,此時為最小值（兩點之間線段最短）

B

/

A端點/

卜、,/'

___I_-----------------

!/P折點

?/

【經(jīng)典例題】

例1、如圖，ZXABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=6,CD平分NACB交AB于點D,點E是

AC的中點，點P是CD上一動點，則PA+PE的最小值是為.

2

例2、如圖，在曜酬中，烝鷺=葡,通魏廖是盛緘?的兩條中線，孽是，融上一個動

點，則下列線段的長度等于解也翻?最小值的是（）

C.屈I）.瑾

例3、如圖，龐的邊防與“軸正半軸重合，點夕是如上的一動點，點N（3,0）是如

上的一定點，點M是面，的中點，N/g30°,要使q最小，則點/的坐標為_____.

例4、如圖，在Rt△力龍'中，N4?90°,AO&.4M2,/〃平分N06,點尸是4。的中點,

點E是加上的動點，則上出■的最小值為（）

A.3B.4C.3垂＞D.2&

例5、如圖，在AABC中A3=AC,BC=4,面積是20,AC的垂直平分線EE分別交

AC.A8邊于E、F點,若點。為BC邊的中點，點M為線段上一動點，則VC0M周

長的最小值為（）.

C.1()D.12

3

例6、如圖，AABC三個頂點的坐標分別為4（1,1）,B（4,2）,C（3,4）.

（i）畫AABC關(guān)于y軸成軸對稱的AAAG，并直接寫出頂點A的坐標.

（2）在X軸上找一點P，使AE48的周長最小，在X軸上標明點P,并直接寫出AR4B最

小周長.

【模型二】一定兩動之點點（一定點兩動點，轉(zhuǎn)化成點與點距離最值問題）

在的、加上分別取點材、N,使得△局邠周長最小.

此處以N均為折點，分別作點P關(guān)于以（折點"所在直線）、加（折點N所在直線）的對

稱點，化折線段門附加4Ap為/恥MN^NP',當一'、M、MP''共線時，肺周長最小.

【經(jīng)典例題】

例1、如圖，點戶是4如內(nèi)任意一點，46!廬30°,附8,點〃和點力分別是射線力和射

線緲上的動點，則周長的最小值為.

4

例2、如圖，點尸是/加?內(nèi)任意一點，//加=30°點"和點"分別是射線的和射線加上

的動點，△用￡￥周長的最小值是6CR,則利的長是

例3、如圖，在四邊形ABCD中，ZC=50°,NB=ND=90°,E,F分別是BC,DC上的點,

當/AEF周長最小時，/EAF的度數(shù)為（）

A.500B.60°C.70°D.80°

例4、如圖，NA0B=45°,點P是NA0B內(nèi)的定點且0P=四，若點M、N分別是射線0A、

OB上異于點0的動點，則△PMN周長的最小值是.

【模型三】一定兩動之點線（一定點兩動點，轉(zhuǎn)化成點與直線距離最值問題）

在力、加上分別取"、N使得月"物V最小。

此處也點為折點，作點—關(guān)于OA對稱的點P,將折線段燈/U那轉(zhuǎn)化為P'MyMN,即過點P

作仍垂線分別交的、仍于點收M得A例肺最小值（點到直線的連線中，垂線段最短）

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【經(jīng)典例題】

例1、如圖，4ABC為等邊三角形，邊長為6,AD±BC,垂足為點D,點E和點F分別是線段

AD和AB上的兩個動點，連接CE,EF,則CE+EF的最小值為.

例2、如圖，在矩形ABCD中，BC=10,/ABD=30°,若點M、N分別是線段DB、AB上的兩

個動點，則AM+MN的最小值為.

例3、如圖，在銳角三角形力比中，於4,N4B俏60°,BD平■用4ABC,交〃1于點〃，機

“分別是弧況上的動點，則OhZV的最小值是（）

A.V3B.2C.2GD.4

例4、如圖，等邊4ABC的邊長為2,CD為AB邊上的中線，E為線段CD上的動點，以BE為

邊，在BE左側(cè)作等邊ABEF,連接DF,則DF的最小值為

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【模型四】兩定兩動之點點(兩定點兩動點，轉(zhuǎn)化成點與點距離最值問題)

在的、加上分別取點M、A，使得四邊形月柄管的周長最小。

考慮圖是條定線段，故只需考慮丹什版許AQ最小值即可，類似，分別作點只。關(guān)于力、0B

對稱，化折線段A佛加斗八能為〃曲肱的NQ',當P、M、N、。'共線時，四邊形AM惚的周長

最小。

【經(jīng)典例題】

例1、如圖，已知A(-6,2),B(-2,4),點M是y軸正半軸上一點，點N是x軸負半軸

上一點，連接AB,BM,MN,NA.則四邊形ABMN周長的最小值為.

例2、如圖，在矩形4BCO中，AB=4，BC=7,￡為CO的中點，若P、Q為BC

邊上的兩個動點，且PQ=2,若想使得四邊形APQE的周長最小，則6P的長度應為

課后作業(yè)：

1、如圖，點"是/力郎平分線上一點，NA0B=6Q°,心0A于E,。1/=3,如果夕是神上

一動點，則線段，山的取值范圍是.

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E.

M

0PB

2、如圖，OB平分ZMON,A為。8的中點，AELON于點E，A￡=4，。為OM上

一點，BCUOM^DA^^C,則CO的最小值為.

3、如圖，4AOB=30：C是80上的一點，%=4,點P為10上的一動點，點〃為Q7上的

一動點，則尸創(chuàng)外的最小值為,當用外的值取最小值時，則△。尸C的面積為.

4、如圖，在AABC中，AB=AC,BC=5,S^ABC=20,A。，于點REF垂直平

分AB，交AC于點尸，在痔上確定一點尸，使。B+P￡＞最小，則這個最小值為

5、如圖，在等腰三角形49C中，6c=3cm,玄的面積是9cm2,腰月6的垂直平分線總產(chǎn)

交/1C于點凡若點〃為比邊上的中點，M為項上的動點，則8m〃(/的最小值為一.

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6、如圖，AABC中，AD垂直BC于點D,且AD=BC,BC上方有一動點P滿足S^PBC=gS^ABC,

則點P到B、C兩點距離之和最小時，/PBC的度數(shù)為.

7、已知邊長為6的等邊AA5C中，E是高所在直線上的一個動點，連接BE,將線段

跖繞點3順時針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接。尸，則在點E運動的過程中，當線段DE長度

的最小值時，DE的長度為.

8、如圖，己知N為仁65°,〃為N物C內(nèi)部一點，過〃作〃員于6,