偏微分方程與其他學(xué)科的聯(lián)系

偏微分方程與其他學(xué)科的聯(lián)系1引言 偏微分方程起源于18世紀(jì)，在19世紀(jì)得到了迅速發(fā)展。最初偏微分方程只是研究直接來源于物理與幾何的問題，發(fā)展至今，已經(jīng)成為了一個獨立的數(shù)學(xué)分支，討論的問題不僅包括物理、力學(xué)、生物、幾何和化學(xué)等古典問題，更深入了圖形圖像處理，天氣氣象預(yù)測等現(xiàn)代方面，并在處理問題的過程中應(yīng)用了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多工具。本文簡要介紹了在一些領(lǐng)域中偏微分方程起到的重要作用及其應(yīng)用方法。2正文（PDE在各領(lǐng)域中的應(yīng)用）2.1 物理學(xué)中的應(yīng)用偏微分方程的起源與物理密不可分，從其基本方程的形式及名稱不難看出。而偏微分方程在物理學(xué)中的應(yīng)用更是不勝枚舉，從電場中某點的電勢到熱傳導(dǎo)問題中某點在特定時刻的溫度，其精確求解的過程中，解偏微分方程組是極其重要的一部分，更是問題的關(guān)鍵所在。在此，不一一列舉偏微分方程在物理學(xué)中的應(yīng)用，僅以一例，望能見微知著。以彈性體不受外力的的微小振動（n=3）為例 設(shè)彈性體占有三維空間中區(qū)域，并且不受外力。則對的任意光滑子域，有 ，又由高斯公式 ，得 ，由的任意性，得 因為是微小振動，從而有 即得三維齊次波動方程 在給定了時刻的初始位移和初始速度后，可聯(lián)立方程組，得 利用公式，可以解得，在球面坐標(biāo)系下表示為其中，從而得到彈性振動體上質(zhì)點在時刻時的位移2.2 氣象預(yù)測中的應(yīng)用大氣的行為可以用一組以數(shù)學(xué)方程式表示的物理定理來表達(dá)，由這些物理定理可以計算大氣的量或場（如溫度、風(fēng)向、風(fēng)速及濕度等）將如何改變，接觸這組代表物理定理的數(shù)學(xué)式，就可以由目前的天氣狀態(tài)推演出對未來天氣現(xiàn)象的描述。以雷達(dá)探測云和降水為例 為定量測量降水和云中含水量，推測云和降雨的物理特性，選擇氣象雷達(dá)參數(shù)，可以利用氣象雷達(dá)方程。對于發(fā)射功率為，波長為，脈沖的空間長度為，天線增益為（表示天線定向發(fā)射的能力），以及水平和垂直波束角寬度分別為和的雷達(dá)，其基本氣象雷達(dá)方程為，式中為雷達(dá)接收到的來自無規(guī)則分布的云和降水水粒子的平均回波功率，為雷達(dá)至探測目標(biāo)的距離；為雷達(dá)反射率，是單位體積中云和降水水粒子后向散射截面的和。當(dāng)云和降水粒子為球形且直徑比雷達(dá)波長小得多的情況下,其后向散射截面,可以用瑞利公式代入，這時，氣象雷達(dá)方程可寫成：，其中，是單位體積中球形粒子直徑6次方的總和,稱為雷達(dá)反射因子,為球形粒子的直徑；，為云和降水粒子的復(fù)折射率。當(dāng)粒子直徑大到和雷達(dá)波長相近或大于雷達(dá)波長時，不能應(yīng)用瑞利公式，這時氣象雷達(dá)方程一般可寫成：，式中為雷達(dá)等效反射因子。2.3 圖形圖像處理中的應(yīng)用 以保護(hù)圖像細(xì)節(jié)為例為了在同樣的存儲空間中存儲更多的圖片，我們需要對圖片信息進(jìn)行壓縮；但是為了保持圖像的清晰程度，我們又要保持一定的細(xì)節(jié)水平。基于平衡這對矛盾的目的，我們對圖像所作處理的目標(biāo)即為提取圖像中的總趨勢特征，并準(zhǔn)確的定位“邊緣細(xì)節(jié)”等表征突變信息的曲線特征。偏微分方程方法可以很好的做到保護(hù)細(xì)節(jié)。偏微分方程方法所利用的先驗信息是圖像為分片光滑的二元函數(shù)．只是該函數(shù)在某些重要數(shù)據(jù)處不連續(xù)。根據(jù)圖像分片光滑的特性可構(gòu)造關(guān)于梯度的約束，而根據(jù)圖像處理目的的不同又可構(gòu)造圖像與原始圖像之間的相似性約束．將此兩個約束組合即得到變分方程．進(jìn)而由Euler方程得到圖像處理的拋物方程。 為避免線性模型導(dǎo)致的對圖像邊緣的模糊，用非線性方程的諸如